成考专升本数学串讲

成人高 专升 知识和往年常考的知识，要多练基本题型和往年常考的题型，只有经过一而再，再而三的复习，练习，才能逐步加深对基本概念的理解，才能熟记计算时所用的基本公式和运算法则，才能掌握解题的思路方法与关键步骤，才能使学习的效果达到举一反三，触类旁通，以至无师自通的地步，可以说，学习任何一门文化课所涉及的知识以及掌握的程度，通俗地讲，由浅入深可分为四个阶段，第一个阶段是经过看，听以及笔录等肤浅的学习，可由不认知到任知了，这人人都能做到，第二个阶段是经过动脑筋琢磨，并动手动笔较次的学习，可由不到了，不理解到理解了，这得肯于付出一定的努力才能做到的，第三个阶段是继续动脑动手动笔，更次的复习练习，就能由不熟练达到熟练的程度了，这就得付出更大的努力了，没有意志的人是做不到的，第四个阶段是精雕细刻的学习练习，就能由不灵巧到非常灵巧了，这就更难上加难了，俗话说，熟中生巧，不熟就提不上巧，如此学到的知识不会忘，是自己的。不然，本来已认知学会的知识还会生疏淡忘的，甚至忘的一干二净，就跟从来没学过似的，猜题考好的侥幸心一试卷的题型，题量，分值选择题：是客观性的试题，有选项，其答案的对与错明确具体，起点低，比较容易入手，考查比较低的理解能力和运算能力，得分率偏高。有10道小题，每小题4分，共40分，填空题：也是客观性的试题，但没有选项的提示作用，也起点低，比较容易入手，考查比较低的理解能力和运算能力，得分率偏高。解答题：是性的试题，考查所学知识的综合运用能力和分析解决实际问题的容易题占30%45满分的几率可为较容易题占50%75得满分的几率至多分析9～1近三年成考专升本高等数学的试题，所涉及的知识内容，理工类有八部分，经管类有五部分，其中有四部分是相同的，即一元函数的极限与连续，一元函数微分学，一元函数积分学以及多元函数微分学，在经管类的试卷中有26题，合138分，在理工类的试卷中有21道题，合106分第一章极限与连续(3～5题，合12～24分题型一：考查是否会确定n时，数列的极限设数列an，即a1a2a3,an若an随着项数n的无限增大，可愈来愈接近一个常数AA为数列a的极限，记作lima n若an随着项数n的无限增大，不能愈来愈接近一个常数A(或无限增大则数列a的极限不存在(或记作liman

n数列1,即1,111,1,，当n时10，记作lim1n 23 n常数列c,即c,c,c,,c,，当ncc，记作limcn注:数列n,即1,2,3,n,，当n时，其极限不存在，可记作limn若limanAlimbnB n减limanbnlimanlimbn=A n乘lim(anbn)limanlimbnA 特别的lim(cbn)climbn

limam(lima)mn n除lim

n

(B0 n 确定n时，数列(通项为分式的)应先将分子分母约分,化limn为lim10，即可求极限 n作填空题和选择题a

a

x

nmlim n0nm代表性试题如下

xb0

bm1

bbn1.求n2n

(2001年高数二 答:n2n2例2.limn1 )(2007年高数二 选n2n B. 2题型二：考查是否会确定x时，函数的极限若函数f(x)x的无限增大，可愈来愈接近一个常数A为函数f(x的极限，记作

f(x)若f(x随着x的无限增大，不能愈来愈接近一个常数A(或无限增大则函数f(x的极限不存在(或记作limf(x)常函

yc,x时cc，记作limcxyx,x时，其极限不存在，可记作limxxy1,x时10，记作lim1 xx时sinx无极限但有 ycosx，cos01， 2x0cosx1，记作limcosxx时cosx0，记作limcosx 2x时cosx无极若limf(x)Alimg(x 则加减lim(f(xg(x))limf(x)limg(x)=A x 乘lim(f(x).g(x))limf(x)limg(x)A lim(cg(x))climlimf 除 x

(B0

f(x)A，limg(x)减limf(xg(xlimf(x)limg(x=A乘lim(f(x).g(x))limf(x)limg(x)A lim(cf(x))clim

f

limf

A

除 (B0xx lim x应将分子分母约分，化limx为lim10，即可求极限x xa

a

ax

nlim n nxbxmbxm1 n代表性试题如下 1.求lim2x2x

(2004年高数一 答:x4xx 例2.lim2x1 )(2008年高数二 选x3xA.4

C. 3例3. (2010年高数二 填xx2题型三：考查是否会xx0时，函数的极限，是否会利用函数在一点的若函数f(xx愈来愈接x0，可愈来愈接近一个常数A为函数f(x的极限，记limf(x若f(x随着x愈来愈接近于x0，不能愈来愈接近一个A(或无限增大f(x的极限不存在(或记作limf(x)f(x在点x0处的极限与函数值均存在且相等，即limf(xf(xf(x在点x0处若f(x)x0处的极限不存在或函数值不存在或均存在但不limf(x不存在，或f(x0不存在

f(x)f(x0则函数f(xx0处初等函数f(x在点x0连续时，求极限

f(x)，只要求函数值求连续函数fg(x)在点x0处的极限，可先求g(x)在点x0处的极限g(x0再求函数值fg(x0)，即limfg(x)flimg(x)fg(x0

常函幂函

yc,xx0时cc，记作limcyx,xx0时，可记作limxy1,x0时1，记作lim1 x0指数函数yex,e01,x0时ex1，记作limex对数函数ylnxln10，当x1时lnx0，记作limlnx三角函数 ysinx，sin0 sin2 ycosx，cos01， 2x0cosx1，记作limcosxx时cosx0，记作limcosx2

2limf(x)Alimg(x)减limf(xg(xlimf(x)limg(x=A乘lim(f(x).g(x))limf(x)limg(x)A lim(cf(x))clim

f

limf

A

除 (B0xx lim xx0lim(cxacxb)c(limx)ac(lim 还可据函数在一点连续的充要条件:

f(x)ff(x0

f代表性试题如下f(xx0

f(x1.lim1x2）(2010年高数一选A.B.C.D.x2x2.23x3 )(2011年高数一选x1 fg(x)xg(xxg fg(x0)

fg(x)flimg(x)fg(x03limex

）(2008年高数一 选A. B. C. D.例4.limtan(x1) 选 xA. B. C.4

D.例5.limln(x1) ）(2010年高数二 选 x1A.ln2

C.ln D.ln题型四：考查是否会确定xx时0型未定式的极 先用乘法公式或十字相乘或提取公因式，将分子或分母分解因式并约去极限为零的因子，才可求极限先用共轭根式和平方差公式，将分子或分母并约去极限为零的因子，再0属0

型未定式，也可用洛必达法代表性试题如下 例1.limx24x3 (2009年高数二 填: x 例2.limx21 )(2011年高数二 选x1x x2x21

(2007年高数一 答:题型五：考查是否会确定分段函数在分段点处的极限x的取x0的左(或右)侧趋于x0时，f(x趋于则称Axx0时，函数f的左(或右)极限记作limf(x)Alim(x)（2）若x的取值在数轴上向左(或右)趋于f(x趋于则称Ax趋于时，函数f的左(或右)极限limf(xAlimf

limf(xAlimf(xA均存在且相等limf(xlimf(xAlimf(xA均存在且相等limf(x 指数函数limex0，而limex，进而limex不存 limarctanx，而

arctanx，进而limarctanx不存 反余切函数： xarccotx，而xarccotx0，进limarccotx不存x代表性试题如下xx1．设函f(x

x

则f(0) )(2003年高数二 选x2

xsin1

xx

则f(0) (2011年高数二 填2x3.设函f(x

xx

f(x) (2003年高数二 填334.函数f(x)

xx

在点x 处 )(2007年高数一 选A.无定 B.极限不存 C.极限存在但不连 D.连2x3x例5．设函数f(x)

xx

则f(limf(x)) (2009年高数二 填16．f(xx2

xx

在x0处的极限存在，则常数a (2010年高二填题型六：考查是否会利用两个重要极限确定极限x0时，三角函数f(xsinx的极限为1，即limsinx其变

sin

x0当x时，三角函数f(x) x的极限为1，即limxsin1 x注：1.做计算题，用换元法，化为limsinu1，用拼凑法，化为limsin(x)u0 (x)0sin 做填空题或选择题，可用 ，确定极0属0

x0 型未定式，也可用洛必达法1x0时，幂指函数f(x1xx的极e，1

1lim(1x)x其变

1 xf(x1

的极e，即limx

)xx注：1.做计算题，可利用指数乘法法则anman 1 1用换元法，化为lim1uuec，或用拼凑法，化为lim(1(x))(x blim(1ax)x

，

b)ax 代表性试题如下例1.设limsinx2，则常数k (2008年高数一 填:x0 例2.limsin2x (2008年高数二 填 例3.求limsin(x1)(2010年高数二 答: x2 4limsin(x2 x

(2011年高数二 填1例5.lim(1x)x ）(2006年高数一 选 B.e C. D.-2

(2011年高数二 答:

1)

(2009年高数二 填:e例8.lim(14)x (2011年高数一 填: 题型七：考查是否会判定无穷小量，会利用无穷小的运算性质，会比较阶常数0是特殊的无穷小(量)运算性质:1.两个以至有限个无穷小的代数和仍是

xx0时,变量f(xg(x均为无穷小,

f(x)0,limg(x)⑴若limf(x)0，则f(xg(x的高阶xx⑵若limf(x)，则f(xg(x的低阶无穷小xx⑶若limf(x)c，则f(xg(x是同xx（特别的limf(x)1，则f(xg(x是同阶等价的无穷小量xx代表性试题如下例1.当x0时下列 )是无穷小量(2001年高数一 选sin x2sinx3

ln(1 D.2x13例2.求lim x3x4sin

(2003年高数一 答:3例3.limsin2x )(2009年高数一 选xA B.

C D. 例4.当x0时,x2sinx与x相比较是 )的无穷小量(2000年高数二 选A.高 C.等 D.低例5.当x0时，ln(1x)与x相比较是 )的无穷小量(2002年 选 B.B.同阶 C.等价 例6.若x0时,函数f(x)与sin2x是等价的无穷小量，则limf(x)x0sin(2010年高数二 填x2 x例1.函数f(x) x0x1 )(1994年 选2 x在x0与x1处均间 x2例2.函数f(x) 的间断点是x （2008年高数一 填x 3.设函f(x

2ax2x1sin 在x0处连续，求常数a(2010年高数一 答1 x 14.f(x

x 在x0处连续，则常数a (2011年高数一 填2axx 第二章一元函数微分1节导(函)数与题型一：考查是否熟记基本初等函数的导(函)

c(xa) x (x) (1)2 2基本指数函数 (ax)axln (ex)基本对数函数的(log

x) xln

(lnx)x基本三角函数的(sinx)cos (tanx)sec2 (secx)secxtan1(cosx)sin (cotx)csc2 (cscx)secx1基本反三角函数

(arccosx)代表性试题如下

(arctanx)

111

(arccotx)

1x2例1.设yx，则y )（2007年高数二 选B. C.1x2

D.x例2.yx4，则y )（2011年高数一 选A.15

x4

C. D.x4ln3.y

，则y )（2011年高数二 选A.-x

B.2.基本指数函数的导

C.x

D.x例4.设y3x,则y （2005年高数一 填:3xln例5.设y5x,则y )（2010年高数一 选A. B.

C.5x D.6.ylnx,y)（2008）选A.B.C.lnD.exx例7.设ycosx，则y )（2008年高数一 选A.sin B.sin C.cos 例8.设ycosx，则y （2010年高数一 填:sin题型二：考查是否能熟练用导数的公式及四则运算法则求简单函数的导数求简单初等函数的导(函)数，即基本初等函数的和,差,积,商的导(函)数，要用如下的运算法则设uu(x和vv(x都是基本函数，显然都可导则(uv)uv(uv)uv 特别的cuu uv

u c 特别的 vv c c v

代表性试题如下由f(x表达式,确定fg(x)的表达式，可用代入由fg(x)表达式,确定f(x的表达式，可f(xfg(x)

，则f

x) (2004年高数一) 填:2例2.设f(x)x21，则f(x2) )(2005年文同理 选A.x24x B.x24x C.x22x D.x22x由fg(x)f(x3.f1)xx

1，则f(xx

(2001年高数一) 填:1x2例4.设f(x)sinx，则f(x) (2001年高数二 填:sin例5.设f(2x)lnx，则f(x) (2002年高数二 填:ln2例6.设函数f(ex)1ex，则f(x) (2003年高数二 填:1例7.设f(cosx)1cos3x，则f(x) (2004年高数二 填:1xx例8.设f(x1)x2 ，则f(x) (2000年理 填:xxx例9.设f(2t1)t22t2，则f(x) (2001年理 填:1x21x 10.f(2x)

4x10，则f(1) )(2002年文 选3log2

2

D.例11.设f(t1)t22t2则f(x) (2003年文同理 填:x2例12.设f(x2)x1，则f(x) (2004年理 填:x例13.设ye2arcsinx则y （2003年高数一 填 例14.设f(cosx)1cos3x，求f(x)（2004年高数二 答:例15.设yx2sinxln2，则y )(2009年高数二 选A.2xsin B.2xcos C.2xcosx2

D.16.y

,则y (2004年高数二 填:x例17..设yx2e2,则y )(2009年高数一 选A.2x B.2x C.2x D.例18.yu(x)v(x),且u(x)与v(x)均可导，则y )(2002年高数二 选A.u(x)v(x) B.u(x)v(x)C.u(x)v(x) D.例19.设yexlnx,则y(1) )(2009年高数二 选 例20.设yxsinx，求y(2009年高数一 答:sinxxcos例21.设yx2ex,则 (2010年高数一 填:(2xx222.yln

,则y (2007年高数二) 填:lnx1ln2x23.

yex

,则 (2009年高数一 填

exxex例24设yx36x，则y (2007年高数一) 例25.设yx1求y（2011年高数二 答:sinx(x1)cossin题型三：考查是否会求复合函数的导(函)乘方的结构，记作yn开方结构的，记作y ，常用的是开平方nyag(x)，常用的是y

sin2ysing(xycosg(xytanyarcsing(xyarccosg(x)yarctang(x先用基本初等函数的导数公式，求外层函数的导数，再用导数公式以及导数的则运算法则，求里层函数的导数，再将两个导数相乘即可，链式法则即由此得对乘方结构的复合函数yg(x)a，求导的链yag(x)a1n对开方结构的复合函数y n

1g(x)n1n12对开平方结构的复合函数y ，求导的链式法则是y 12对指数结构的复合函数yag(x)yag(x)lna对指数结构的复合函数yeg(xye对对数结构的复合函数ylng(x)，求导的链式法则是y

ysing(x，求导的链式法则是ycosg(x)g(x)ycosg(x)，求导的链式法则是ysing(xg(x)ytang(x，求导ysec2g(xg(x)11g2对反三角结构的复合函数yarcsing(x)，求导的链式法则是y g(x)对反三角结构的yarctang(x)，求导的链式法则是y

1g2

代表性试题如下yg(x)a的导数，用链式法则ag(x)a1例1.设ycos2x，则y (2000年高数二 填:2cosx(sin21对复合函数yg(x)求导，用链式法则y 21例2.设y ，求y(2003年高数二 答 yag(x)ag(x)lna例3.设y3x，则y 选3xln

3ln

3 ln33

3xlnyeg(xeg(x)例4.设yex，则y ）(2003年高数一 选A.B.C.2eD.2xe例5.设ye2x，则y (2011年高数一 填:lng(x的导数，用链式法则

例6.设ylnsinx，求y(2006年高数一) 答:1

cosxcotysing(x)cosg(x例7.设f(x)sinx，则f(x) (2001年高数二 填:2xcos例8.设f(x)sin2x，则f(0) ）(2005年高数一 选A. B. C. D.求复合函数ycosg(x)sing(x例9.设f(x)cos2x，则f(0) ）(2005年高数二 选A. B. C. D.例10.设f(x)cos2x，则f(x) ）(2010年高数二 选A.2sin C.sin D.sinytang(xsec2g(x例11.设yx2tan2x求y(2003年高数一 答:2x2sec266arcsing(x 例12.设函数f(x)arcsinx2，则f(x) )(2012年 选:1A. B C D11111求复合函数arccosg(x)的导数，用链式法 例13.设f(x)arccosx2，则f(x) )(2011年 选:1A. B. C. D.11111求复合函数arctang(x)的导数，用链式法 1g2

例14.设yarctan1x求y(1996年高数二 答1题型四：考查是否会求初等函数的微微分:yf(x的微分,即导(函)yf(x乘以自x的微分记作dyydx或df(xf

1函数的微分dy或df(x，即函数的导(函)yf(x乘以自变量的微分dx，即dyydx或df(xf axa1dx dx 1dxd 基本指数函数 axlnadx exdx基本对数函数 xln

dxd

1dxdlnx基本三角函数的cosxdxdsin

sec2xdxdtan secxtanxdxdsecsinxdxdcos csc2xdxdcot secxcotxdcsc基本反三角函数 dxdarcsin dxdarccos11

dxdarctanx 1

dxdarccotdyd dy 1212

dy=ag(x)a1dg(x) 1dg(x)g2(x)

=ag(x)a1 g2

12dy dy12=ag(x)lna ==ag(x)lna =eg(x)(4)dydln (5)dydsin =g=

=cos =cos

yfg(x)dydf=fg(x)=fg(x)22六类复合函数的两步凑微分(1)ag(x)a1 g2

122=ag(x)a1 =1dg 122g=d d (3)ag(x)lna eg(x) 1

=ag(x)lna = 1dgdag deg( dlncos =cos = dsin =darcsin代表性试题如下例1.设yx5，则dy （2006年高数一 填:例2.设y2x，则dy 选A.x2x B.2x1 C.2x D.2xln例3.设y2exarctanx求dy(2004年高数一) 答:(ex 1x2

例4.设y1cosx，则dy )(2011年高数二 选 B.(1cos C.sin 例5.yx1，求dy(2005年高数一 答:(1x

1x例6.设yexarctanx，求 答:(exarctanx 1

例 设yx4sinx，求dy(2006年高数二 答:(4x3sinxx4cosy 3x2cosxx3sin8.

，求dy(2010年高数二 答cos

cos2 1)yg(x)a的微分，用链式法则ag(x)a1 2)求复合函数y 1例9.设y (2001年高数二 答 2x1yeg(xeg(x)例10.设yesinx求dy(2009年高数二 答:esinxcosysing(x)cosg(x)2例11.设ysin ，则dy (2003年高数一) 填:cosx1dx2求复合函数yarctang(x)的导数，用链式法 1g2

例12.设yarctanx2，求dy(2003年高数二 答题型五：考查是否会求初等函数的高阶导(函)

yf(x的导(函)yf(xyf(x的一阶导(函)2x 1d2yf(x仍可导，其导(函)数可记作yf(x

yf(x的二将二阶以及二阶以上的各阶导数yf(x的高代表性试题如下1.yex，则y2006年高数一填2.ylnx，则y2007年高数一选A.1C.-1xxxx3.yx5y2008年高数二填4.ysinx，则y2011年高数一选A.sin B.sin

例5.设yx3lnx则y(1) (2001年高数二 填:例6.设yxex，求y(2005年高数一 答:(2例7.设yxsinx，则y (2009年高数二 填:2cosxxsin8.y1

，求y(2004年高数二 答:2(1例9.设ysinx,则y (2011年高数二 填:cos例10.设ye2x，则y(0) (2005年高数二 填例11.设ysin2x，则y (2006年高数二 填:4sin例12.设yln(1x)，则y(2010年高数二 答: (1例13.设yex，则y (2007年高数二 填:50例14.设函数yx2e2x，则y(50) (2003年高数二 填:e2xn例15.设ye5x，则yn (2003年高数一 填:e5x2节导数的应题型一：考查是否会用罗比达法则，确定除商型未定式的极限未定式:若limf(x0且limg(x)0，或limf(x且limg(x)则称limf(x)0 洛比达法则 对0或型的未定式

f(xg(x均可导且limf(x)limf(x)存代表性试题如下

f(x)

f(x)

0 01有理分式x24x 2.xx21)20112.xx21)2011年高数二，似第33选x 3.求

2无理分式x21(2007年高x21x3含指数式4.求

1xex

(2004年高数二 答:-25.求limlnx1x

例6.求 4含对数式2007年高数二答

5含三角函数式(2011年高数一 答:x01cos例7.lim2x1 )(2008年高数二 选x3xA.4

C. 3例8. (2010年高数二 填xx2题型二：考查是否理解导数的几何意义，是否会用函数的导数确定函数图(曲线)的切线斜率，切线方函数f(x在点x0的导数f(x0)，即过曲线yf(x上点(x0y0处的切线斜据过点(x0y0并且斜率为k的直线方程,yy0k(xx0表yf(x上点(x0y0的切线方程,可用点斜yy0f(x0)(xx0表代表性试题如下例1.曲线yx31过点(1,2)处的切线斜率为( )(2008年高数一) 例2.设曲线yaxex过点x0处的切线斜率为2，则a= (2010年高数二)3.f(x的导函f(x3x2x1，则曲线yf(x在点x2

填切线斜率为 )(2011年高数二 选 例4.曲线y2x23在点(1,5)处的切线斜率 (2011年文同理 填:5.yx42x23在点(2,11处的切线方程(2009年文同理)答y1124(x题型三：考查是否会用导数确定函数的单调增减性若函数f(x在区间(a,b内有定义,并且总有f(x)(或则f(x)在(a,b)内单调增加（或减少）此区间即函数的增区间(或减区间令f(x)>0，解此不等式,x的取值范围，即函数f(x的单调增加区令f(x<0，解此不等式,x的取值范围，即函数f(x的单调减少区代表性试题如下例1.设函数f(x)在区间〔0,2〕上连续且x﹝0,2﹞时，f(x)>0,则 ）成(2009年高数二 选f(0)f(1)fC.f(0)f(2)f

f(0)f(1)fD.f(0)f(2)f2.f(x1x2x的单调增加区间2

(2011年高数二 填:(1,+例3.设函数f(x)在区间,单调增加，则使f(x)f(2)成立的x取值为 (2011年高数二 选A.(2,+ B.

D.0,3

(2011年高数一 5.求函y1x34x1的单调区间（2011年高数二）3

答:,22,，减2,答:增区间08，减区间0,8 3 题型四：考查是否会用导数确定不等式恒等建立与不等式相应的函数式,并明确xx的指定取值范围内,讨论导函明确f(xx的指定取值范围内的单调据函数增减性定义，明确函恢复x代表性试题如下1.求证：不xarctanxx0时恒成立（1995年高数二）2.求证：不等式ln(1xxx0时恒成立（2003年高数二4.求证：不等式x1lnxx1时恒成立（2010年高数二）题型五：考查是否会用导数确定函数的极值及在指定区间上的最1f(x在点xx0的某邻域内有定义若总有f(x0)<(或>)f(x)则称xx0f(x在此邻域内的极小(或大)值f(x0f(x的极小(或大)驻点的涵义:指使f(x)0的点xf(x在点xx0有极值，并且在此点可导，则f(x0f(x00，则f(x在点xx0没有因而f(x00是函数f(x在点xx0有极值的必要条求函数f(x的一阶导(函)fxx0时f(x<0xx0时f(xxx0f(x的极f(x有极小值f(x0xx0时f(x>0xx0时f(xxx0f(x的极f(x有极大值f(x0注：第(3)步可改为，求f(x的二阶导(函)数f(x)，并代入驻点xf(x00(或<0),f(xxx0处有极小值（或极大f(x0求函数的一阶导函数，令f(x)0，确定函数的驻点x0f(x在指定闭区间a,b的两个端点xaxb及驻点xx处的函数值，其0代表性试题如下例1.函数yln(1x2)的驻点为x (2005年高数二 填 （2005年高数二 选 例3.点x2是函数f(x)的极小值点，并且f(2)3，则曲线yf(x)在点2,3处 （2009年高数一 填:y30(x4.f(xx0处连续x0时f(x<0x0f(x>0f )（2007年高数二 选A.是极小 B.是极大 C.是极 D.不是极例5.设函数f(x)在x0处二阶可导，并且f(0)0，f(0)0，则x0 （2004年高数二 选A.不是函数f(x)的驻 B.是函数f(x)的极小值C.不是函数f(x)的极值 D.是函数f(x)的极大值例6.求函数f(x)=x33x29x的极大值（2010年高数一 答:f(1)例7.求函数yxex的极小值点和极小值（2011年高数一 答:y(1)e8.求函f(x=1x34x1的单调区间和极值（2011年高数二3答:：增区间.,2(2,（22)f(2)19f(2)

答:f(0)0,f(1) 例10.求函数f(x)x34x2的增减区间以及在闭区间0,4上的最小值与最大值(2011年 答:增区间,08,，减区间0,8，最小值 27 题型六：考查是否会用导数确定曲线的凹凸作曲线的切线，若曲线在切线的上方（或下方，则称曲线是向上凹(或上凸)的，简称上凹(上凸)，还可简称凹（或凸，如下图若函数f(x在(a,b内连续，并且总有f(x＞（或则称曲线y=f(x在(a,b)内上凹（或上凸若f(x00，并且axx0f(x＞0，而x0xbf(x＜0则称曲线yf(x)在区间(a,x0内上凹，在区间(x0b)内上凸，yf(x的上凹区间是(ax0，上凸区间是(x0x0f(x0)为曲线的拐代表性试题如下例1.若axb时，f(x)0，f(x)0，曲线y=f(x)在(a,b)内沿x轴正向 （1995年高数一 选A.下降,上 B.下降 C.上升,上 D.上升,下例2.曲线yx424x26x的上凸(即下凹)区间为 )（1995年高数 选A.2, B. C.0, D.,例3.求曲线yx33x26x的拐点坐（2003年高数二） 例4.曲线yx3的拐点坐标是 )（2005年高数二 选A. B.0, C. D.1定积分与定题型一：考查是否理解原函数与不定积分的概念已知函数f(x，若存在函数F(x),并且F(x=f(x，dF(x)f则称F(x)f(x的一个原F(x是f(x的一个原函数，c任则称F(xcf(x的不定积分，记作fx其中是积分符号，称x分变量，f(x为被积函数,f(x)dx为被积表达在fxdx=F(xc中f(x=F(x),或dF(x)f代表性试题如下据原函数的概念，由F(x确定f例1.设f(x)的一个原函数是cotx，则fx （2000年高数二 选A.csc2 B.csc2 C.sec2 D.sec2例2.设f(x)的一个原函数是exsinx，则fx （2009年高数一 填:exsin据被积函数与原函数的关系，确定f例3.设fxdxcos2xc,则f(x) （2003年高数二 填:2sin例4.设fxexdxexc,则f(x) )（2009年高数二 选A. B. C.e题型二：考查是否理解求导，求微与求不定积分是互逆运算的关系了对函数F(x先求导再求不定积分，是F(x)c，即F(x)dx=F(x)对函数F(x先求微再求不定积分，是F(x)c，即dF(x)F(x)

fxdx=ff(x先求不定积分再求微，是f(x)dx，即dfxdxf代表性试题如下有关F(x)dxF(xc例1.函数f(x)=e2x,则f(x)dx )(2004年高数二 选A.1e2x B.2e2x .-e2x D.e2x2有关 fxdxf(x)2

fxdx

2002年高数一 选A.f(x) B.fx .f D.f有关dfxdxf(x)dx例3.下列 选A.dC.d

fxdxffxdxf(x)

B.dfxdxfD.dfxdxf题型三：考查是否熟记不定积分的基本公式了为了熟记不定积分的基本公式，先要熟记导数的基本公式（即基本初等函数的导数）和理解熟悉被积函数和原函数的关系，即由导数公式F(xf(x,可知不定积分公式fxdxF(x由c= 知odx由xax

知axa1dxxa知1dxxxx2

1dx2

c或1dx 1

1由xx 知1

dx

或x2dxx由kx 知kdxkx由 知xadx

a 由lnxx

a知1dxlnxcx a 由aaln 知alnadxac或adx lnexsinxcoscosxsintanxsec2cotxcsc2secxsecxtan

知exdxex知cosxdxsinx知sinxdxcosxc或知sec2xdxtanxc知csc2xdxcotxc知secxtanxdxsecx

sinxdxcosx或csc2xdxcotxcscxcscxcot1arcsinx111

知cscxcotxdxcscxc或cscxcotxdxcscx1x知 dxarcsin1x1知 dx1arctanx 1

知1

dxarctanxarccot

1

知1x2dxarccotxc知

dxarccotx代表性试题如下1．1dx

（2008年高数二 填:1x 例 xdx （2009年高数二 填:x23例3.x5dx （2011年高数二 填:1x66例4.1dx

选2c

1

1

2c例5.设函数f(x)e2x则f(x)dx )(2004年高数一 选2A.2ex B.ex C.2e2x D.e2x例6.下列不定积分正确的是 ）（2002年高数二 选A.x2dxx3 B.sinxdxcosxC.1dx1 D.cosxdxsinx 例7.sinxdx )（2005年高数二 选A.cosx B.cosx C.cosx D.cosx例8.sinxdx )（2009年高数一，同第2题 选A.sinx B.sinx

C.cosx D.cosx1t例9 dt （2007年高数二 填:arcsin1t

1dx （2011年高数一 1x题型四：考查是否会用定积分的牛顿---莱布尼兹公式了若函数f(x在闭区间ab上可积，其则bf(x)dxF(x)bF(bF(a（称之为牛顿—莱布尼兹公式代表性试题如下例1． 1dx01x

a）（2005年高数二 选 4

C. D.2例2．1x2dx 0

年高数二 选

1例3．x2dx 0

2006年高数一 选B.2

C.3

题型五：考查是否会用不定积分的基本公式和四则运算法则直接求积分了若fxdxF(x) g(x)dxG(x)则f(xg(x)dxf(x)dxg(x)dxF(x)G(xkf(x)dxkf(x)dxkF(x)f(x)dx1f(x)dxF(x)c 代表性试题如下1例1．设函数f(ex)1ex，求f(x)dx(2003年高数二 答:xx2122．1(x20

dx （2007年高数一 填例3．(1cosx)dx （2008年高数一 选A.xsinx B.xsinx C.xcosx D.xcosx例4．(2xex)dx （2009年高数二 选A.x2ex B.2x2ex C.x2xex D.2x2xex511

=()(2010年高数一 xx1x

x1x

xlnx D.xlnx 例6．xsinxdx )（2011年高数二 选x2cosx B.1x2cosx2

C.x2sinx D.1x2sinx2例7.1dx (2006年高数二 填:1lnx (4)商的不定积分1例 dx （2008年高数一 填:2arcsin1x2x例9．求1x2dx(1995年高数（二 答:xarctanx1x2dx 01x 年高数一 填例11．求x1x22dx（2005年高数二 答:1x1x41x6 xdx （2007年高数二 填: 题型六：考查是否会用第一换元法或不换元而用凑微分法求积分式能倒背如流，还要熟记并扩大理解所有的不定积分的基本公式当被积函数形如f(x)(x)时，或经代数的三角的恒等变形能化为此又不能用积分的基本公式和运算法则直接求积分时，可用第一换元法或用凑微分法求不定积分，其关键步骤如下换元 凑微分设(x)t，得(x)dxffF(t)

ffF(x)注：第一步是令(xt，得(x)dx第二步是据积分公式，得原函数第三步是由反函数t(x)还原

第一步是将(x)dx凑微分，得第二步是据积分公式，得原函数F换元 凑微分bf bf (a)f

bfaF(x) F(x)aaF(b)F F(b)F代表性试题如下1(x)a(x)dx

a(x 1(x)a1c(x)

a例1．求eln2xdx（2004年高数一 答: 例2．求x(1x2)2dx(2005年高数二 答:1(1x2)36例3．例3． (2006年高数二 填sinxcos 4．求1lnxeln3例5．求

(2009年高数二 答:1(1lnx)22(2009年高数一 答: 例6．求xx21dx(2011年高数二 答

13

1)21按 (x)dx d(x)2(11例7．求1dx(2003年高数二 答:21x1例8．求1 dx（2008年高数一 答:2(211011按

2

(x)dx

d(x)

c19(1sin21

)dsinx 选sinx1sin

sinx1sinsinxcotx D.sinxcotx1(x)dx1d(x)ln(x)c 例10． dx (2006年高数一 填:1ln01

1dx (2007年高数一 填:ln2xc2e12．

dx(2008年高数一 答:lnex1例13求

x(1x)

(2010年高数一，同2004年高数二 答lnxln1x14．求

x1

(2011年高数一 答:xln1xe(x)(x)dxe(x)d(x)e(x)c例15．xexdx (2004年高数一 填:1ex2例16．1xexdx (2005年高数一 填:1(e 例17．1exdx )(2006年高数一 选0A. B.e1 C. D.1118．求1

4e

dx(2006年高数一 答:2(e219．1dxe

(2010年高数二 填:ex例20．求xexdx(2010年高数二 答:1ex2例21．2esinxcosxdx (2010年高数二 填:e0sin(x(x)dxsin(x)d(x)cos(x)c例22．求sin3xdx(2008年高数二 答:1cos3x 例23．求sin5xdx(2008年高数二 答:1cos5x5cos(x(x)dxcos(x)d(x)sin(x)c例24．

(2001年高数二 填:sin1cosdx 例25．cos(3x2)dx 填:1sin(3x2)3例26．4cos2xdx ）(2005年高数一 选0A.2

C.4

2例27．求xcosx2dx(2006年高数二 答:1sinx22例28．求coslnxdx(2007年高数二 答:sinlnxx例29．cosxdx (2009年高数一 填 1 12112112

(x)dx d(x)arcsin(xcx

dx

(1998年高数二 1ln21ln29按12(x)(x)dx12(x)d(x)arctan(xc31．

dx(2002年高数二 答:2arctanx(1例32．求 dx(2002年高数一 答:2arctan21(1 题型七：考查是否会用第二换元法求积分了11x21，n11ex exx(tdx不定积分 定积分bf afb (a)

f(t)

(a)G(t)

G(t)

(aG1(x)

G1(b)G1 注:第一步是将x换为(t(可化无理式为有理式)，并求dx(t)dt，sintx1 1cos11111 cottx1sect1csctx

tant1sint 111 cost11 x1sec111csctx

sectx1x2sinx2xcostxx2tanx2cott x2 csct xx21当被1

时，设xsint，得dxcostdt，并且tarcsin1当被积函数的根式 时，设xtant，得dxsec2tdt，并且t1当被积函数的根式 x21时，设xsect得dxsecttantdt，并且tarcsec

naxb时，设

axbt，得dx

ntn1dtexex当被积函数的根式 t，得exext2第二步是将f(t)(t)整理,变形,化简为能积分的第三g(t)的原函数第四步是用x(t的反函数t1(x)，将G(t)还原为G代表性试题如下例1．求4 dx（1994年高数二 答:2(212

ex1dx（1997年高数二 答:2(14例3．求 1x

（2001年高数二 答:3ln

dx（2002年高数二 答:2arctanx(1例5．求 dx（2002年高数一 答:2(arctan21(1 6．求

xx2

答:x21arcsecx题型八：考查是否会用分部法求积分对基本对数函数，基本反三角函数，如lnxarcsinxarctanfxf(xxdf(x（或xf(xxf(x)dx=xf(x)如ln arctan=xlnxxx

=xarctanxx11=xlnx

=xarctanx

21

d(1x2=xlnxx =xarctanx1ln(1x2)21幂函数与指数函数相乘(基本形式为xex2幂函数与指数函数相乘(基本形xsinx3幂函数与对数函数相乘(基本形式为xlnx4幂函数与反三角函数函数相乘(基xcarsinxf=f(x)dgf(x)g(x)g(x)df(x)f(x)g(x)g(x)f=f(x)g(x)注:第一步将g(x)dx第二步将f(x)dg(x)表成两f(x)g(x与g(x)df(x或g(xf(x)dx之如:(1)==xex=xexex

xsin=xdcos=-(xcosxcosxdxxln1

xarctan=1arctan ln 1=1(x2lnx1x2)

=1(x2arctanx

1=1(x2arctanxxarctanx)2代表性试题如下用分部法，求lnx或lng(x)的例1．lnxdx （2004年高数一 填:xlnxxe例2．求1lnxdx（2004年高数二 答e用分部法，求arcsinx或arcsing(x的1 1用分部法，求arctanxarctang(x的例4．求1arctanxdx（2007年高数一 答:1ln xex的 答0例6．求1exdx（2010年 答0xsinx的例7．求xsin3xdx（2001年 答:1xcos3x1sin3x xlnx的例8．求exlnxdx（2006年高数二 答:1(e2 xarctanx的例9．求xarctanxdx（1994年高数一 答:1x2arctanx1(xarctanx) xf(x例10．设f(x)的一个原函数是xex求xf(x)dx（2007年高数二 答:2x3ex题型九：考查是否会求无限区间上的广义积分了b，广义积分:指函数f(x在无限区间a,b)或,上的积b，记作

f

或f

，或f，f(x)dx=a

limF(xF(aA或不存ab f(x)dxF(x)bF(blimF(x)A或不存b

代表性试题如下在无限区间a,例1．求1dx(2004年高数二 答2．

(2010年高数二 填:01 在无限区间,b例3． 1dx (2000年高数二 填:1 题型十：考查是否熟悉会用定积分的几个性质和结论了dbf(x)dxdx奇函数f(x在对称区间a,a上的定积分为零,即af(x)dxf(x在对称区间aa上的定积分为af(x)dx2af 积分区间可加性，即

f(x)dx

f(x)dx

f交换积分的上下限，定积分要变号，即abf(x)dxbaf 定积分与积分变量所用的字母无关，即af(x)dxaf 代表性试题如下dxd dx110

)（2009年高数二 选1x1x

1x1x43例2．求1x2dx（2001年高数一 答33．设函f(x 03．设函f(x2x1x2求3f(x)dx(2002年高数一 答33 41sinxdx 1cos2

填例5．1x5dx )（2011年高数一 选A.2

B.3

C.6

例6．sinxdx= )（2011年高数二 选 例7．(x2sinx)dx （2002年高数二 填:2 81(x2x3cosx)dx（2011年高数二）

3291f(12x)dx11f(x)dx(2004年高数二2 2 10．1f(3x)dx1f(x)dx(2007年高数二题型十一：考查是否理解变上限积分是上限函数，并会确定其对上限的导a由于x在区间ab上每取一个值，变上限积分xf(t)dt总有唯一值与之ax因而，可理解为af(t)dtx函x dxf(t)dtf(t) f(x)dx 代表性试题如下x(1．设函数F(x)sintdt，则Fx(

) （2004年高数二 填x2．F(x)x

1t2dt，则F(x) （2010年高数二 选11111A. 1dx(tarctant)dt （2011年高数二

dx2分的应题型一：考查是否理解定积分的几何意义，会确定由曲线所围图形的面积x轴及yf(xxaxb围成的曲边梯b（如下左图）的面积，可用定积分af(x)dx确byxf1y与两条水ycyd围成的（如下右图）的面积，可用定积分df1y)dy确cxyf(xyg(x（f(xg(x）及xaxb围成的平面图形（如下左图）的 可用两个定积分bf(x)dx与bg(x)dx之差bf(x)g(x) y轴右方的两条曲线xf1yxg1yf1yg1y)))及两条ycyd围成的平面图形（如下右图）可用两个定积分df1y)dy与dg1y)dy之差df1yg1y)dy确 代表性试题如下

c baf(x)dxb例1．求曲线yex与直线x=0,x=1及y=0围成平面图形的面（2008年高数二答:e-1例2．求曲线ysinx在区间0,上与x轴围成图形的面积(2009年高数二 答3．y1x2yx1x轴围成平面图形的面积2011年高数二）6用df1y)dyc 3用bf(xg(x)dxa例5．求曲线yx3与yx围在第一象限的平面图形面积（2011年高数一 答:6题型二：考查是否会求由曲线所围平面图形绕坐标轴旋转成的旋转体体积x轴及其上方的yf(x与两条垂线xaxb围成的曲边梯形绕x轴转而成的体积VX，可用bf2(x)dx确ay轴及其右方的曲xf1yycydc 轴旋转而成的体积VY，可用df1y)2dc xyf(xyg(x（f(xg(x）及xaxb围成的平面图形绕x轴旋转而成的体积 可用两个定积分bf2x)dx与bg2x)dx之差bf2xg2x 代表性试题如下bf2(x)dxxa1．yexx0x1y0围成平面图x轴的旋转体体（2008年高数二 答:1(e22bf2(x)dxxa,（2005年高（二 答:45c 例3．求曲线x=与直线x0,y=2围成的平面图形绕y轴的旋转体体(2009年高数一 答:a用bf2(x)g2(x)dxx轴的空心旋转体的体积4．求曲yx3yx围在第一象限的平面图形绕x轴的旋转体体积a（2011年高数一 答:41导数与全题型一：考查是否会确定二元函数的定义域总有唯一值与之对zxy的二元函数，记作zf(x且称xy为自变量z的定义域，记作Dz为因变量代表性试题如下例1．函数z 的定义域 （2008年高数二 填:x2y2例2．函数zln(xy)的定义域为 选A.x0,y B.x0,y0x0,yx0,y D.x0,y0x0,y题型二：考查是否会求二元简单函数的一阶偏导(函)yx 1 ya y y ey

y yysinycoscosysin

tanysec2cotycsc2

secysecytancscycscycot1y1y1y1y

arctanyarccoty

1y1yzf(x,y求一阶偏导（函）关于x的导数基本公式及关于x的导数四则运算法则求得导数符号zx

fx(xy)或

f(x, 关于y的导数基本公式及关于y的导数四导数符号记zy

fy(xy)

z或f(x 代表性试题如下zx1．设z1z

（2000年高数一 填:

x2例2．设zx2yxy2,则z

2010年高数一 选A.2xyy B.x2 C. D.x2yzy的一阶偏导（函） 例3．设z，则 （2001年高数二 选 1x

x

例4．设zarcsinxey,则z

选1 C. 1111题型三：考查是否会求二元复合函数的一阶偏导(函)乘方形式的，记作zg(x,开方形式的，记作z，常用的是z指数形式的，记作zag(x,y)z对数形式的，记作zlng(x,zsing(x,y)zcosg(x,y)ztang(x,y反三角函数，zarcsing(x,y)，zarccosg(x,y，zarctang(x,y)，对二元复合函数求偏导(函)数的链式法则，思路如下先用基本初等函数的导数公式，求外层函数的偏导(函)的四则运算法则，求里层函数的偏导(函)数，再将两个偏导(函)数相乘即可(1).求zg(x,y)a的偏导，用法则zag(x,y)a1g(x, zag(x,y)a1g(x, ， (2)求z

1n

1y)]ngx(x,y)，zy

1n

1y)]ngy(x,求z 的偏导，用法则z g(x,y)，zy gy(x, zag(x,y)对x,y的偏导，用法则zag(x,y)lnag(x,y，zag(x,y)lnag zeg(x,y)对x,y的偏导，用链式zeg(x,y)g(x,y)zeg(x,y)g(x, ， g(x, z g(x,，g(x, g(x, zsing(xy的偏导zxcosg(xygx(xyzycosg(x,ygy(x,zcosg(x,y的偏导zxsing(x,ygx(xy)zysing(x,ygy(x,，求ztang(,y)的偏导，用法则zsec2g(x,y)g(x, zsec2g(x,y)g(x,， 求zarcsing(x,y)的偏导，用z g(x,y)z g(x,1g2(x,1g2(x,1g2(x,1g2(x,1g2(x,求zarccosg(x,y)的偏导，用z 1g2(x,1g2(x, 求zarctang(x,y)的偏导，用z g(x,y)，z g(x,代表性试题如下

1g2(x, 1g2(x, zg(x,y)

x的偏导(函)1．zxy)3，则z

(2007年高数二 填:3(xzag(x,y)x的偏导(函)例2．设z3xy，则z

选A.y B.3xyln C.xy D.y3xylnzeg(x,yx的偏导(函)例3．设zexy，则z

2006年高数二 选A. B. C. D.zeg(x,yy的偏导(函)4．zxe2y，则y

（2006年高数二 选A. B.2

zlng(xyx的偏导(函)5．zln(x2y，则zx ）

年高数一 选1x2

x2

2xx2

x2x2zlng(xyy的偏导(函)例6．设zln(xylny)，则z (1998年高数二 填 (x1 xyln zsing(xyx的偏导(函)例7．设zsin(xy2)，则z ）(2000年高数二 选A.xycos(xy2 B.xycos(xy2 C.y2cos(xy2 D.y2cos(xy2zsing(x,yy的偏导(函) 例8．设zsin(yx)，则 (2009年高数一 填:cos(yx2zcosg(xyx的偏导(函)例9．设zcos(x2y2)则f (2002年高数二 填:sin(x2y2)ztang(xyx的偏导(函)例10．设ztan(yx)，则 (1999年高数二 填 yzarctang(xyy的偏导(函)

y求x，y(1994年高数一 答:x2y2 xy题型四：考查是否会确定二元函数的二阶偏导(函)已知zxfxxyzyfyxy是二元函zf(xy的一阶偏导函数，且对xyxy求偏导zf(x,y的二阶偏导数z 2 如xx，简记作x2，或zxx，称之为z先后两次都对求偏导数 z z，简记作，或xy，称之为zx后对y求偏导z

2 ，简记作 ，或zyy，称之为z先后两次都对y求偏导yy

y代表性试题如下zxz2 2 xy, =（ 年高数二 选xA.2 B. C.6 D.zxy1加法2例2．设zx2siny, )(2003年高数二 选A.2xcos B.sin z

2乘法2 e ,则xy (2008年高数一 填3加乘混合2例4．设zx2ysiny, (