复变函数与积分变换第五章

留数理论及其应用第五章1.留数的定义

2.留数定理

3.留数的计算规则§5.1留数(Residue)C所围成的区域内含有f(z)的奇点z0一、留数的引入设C为区域D内包含的任一条正向简单闭曲线)(fòdzzc未必为0，0,z所围成的区域内解析在)(Cfîíì=.的某去心邻域:D内的Laurent展式:在0(P49例3.3)0(柯西-古萨基本定理)定义设z0为f(z)的孤立奇点，f(z)在z0邻域内的洛朗级数中负幂次项(z-z0)–1的系数

c–1称为f(z)在z0的留数，记作Res[f(z),z0]。由留数定义,

Res[f(z),z0]=c–1

(1)——综上，的系数-01)(-zz展式中负幂项Laurent记作为f(z)在的。定义留数,注二、利用留数求积分1.留数定理

设函数f(z)在区域D内除有限个孤立奇点z1,z2,...,zn外处处解析.C是D内包围诸奇点的一条正向简单闭曲线,则Dz1z2z3znC1C2C3CnC证明两边同时除以得，如图,由复合闭路原理求沿闭曲线C积分求C内各孤立奇点处的留数.注1(1)如果为的可去奇点,一般规则说明：2.留数的计算规则成Laurent级数求(2)如果为的本性奇点,展开则需将(3)如果为的极点,则有如下计算方法：1)应用Laurent展式2)求n级极点的一般方法(求导运算)1)应用Laurent展式例5.1解如果为的级极点,规则2那末如果为的一级极点,那末规则12)求n级极点的一般方法（当m=1时就是规则1)规则3

如果设及在都解析，那末为的一级极点,

且有解例2例3解思考题思考题答案例2解例3解例4解故由留数定理得：

(1)要灵活运用规则及洛朗级数展开来求留数，不要死套规则。如是f(z)的三级极点。---该方法较规则2更简单！

(2)由规则2的推导过程知，在使用规则2时，可将m取得比实际级数高，这可使计算更简单。如三、在无穷远点的留数注意积分路线取顺时针方向说明记作1.定义设函数在圆环域内解析，C为圆环域内绕原点的任何一条正向简单闭曲线，òp-=Czzfid)(21.......证由留数定义有:(绕原点的并将内部的正向简单闭曲线)包含在2.定理二如果函数在扩充复平面内只有有限个孤立奇点,那末在所有各奇点

(包括

点)的留数的总和必等于零.[证毕]说明:由定理得(留数定理)计算积分计算无穷远点的留数.优点:使计算积分进一步得到简化.(避免了计算诸有限点处的留数)3.在无穷远点处留数的计算规则4说明:定理5.2和规则4提供了计算函数沿闭曲线积分的又一种方法:

此法在很多情况下此法更为简单.现取正向简单闭曲线C为半径足够大的正向圆周:于是有证内除在外无其他奇点.[证毕]例5计算积分C为正向圆周:函数在的外部,除点外没有其他奇点.解根据定理5.2与规则4:与以下解法作比较:被积函数有四个一级极点都在圆周的内部,所以由规则3可见,利用无穷远点的留数更简单.例6计算积分C为正向圆周:解

除被积函数点外,其他奇点为由于与1在C的内部,则所以小结与思考一概念-----留数一定理-----留数定理（计算闭路复积分）（重点）两方法-----展开式和规则求留数三规则-----求极点处留数（难点）五、小结与思考

本节我们学习了留数的概念、计算以及留数定理.应重点掌握计算留数的一般方法,尤其是极点处留数的求法,并会应用留数定理计算闭路复积分.§5.2留数在定积分中的应用其中

注意:

对的要求,分母Q(x)次数比分子P(x)至少高两次，是函数在上半平面内的有限个孤立奇点；

注意:

对的要求,分母比分子至少高一次，是函数在上半平面内的有限个孤立奇点；思想方法

:封闭路线的积分

.两个重要工作:1)积分区域的转化2)被积函数的转化把定积分化为一个复变函数沿某条注意：其中是函数在单位圆内的有限个孤立奇点。形如当历经变程时,的正方向绕行一周.z沿单位圆周z的有理函数,且在单位圆周上分母不为零,满足留数定理的条件.包围在单位圆周内的诸孤立奇点.例