选修2-3第02讲二项式定理

第2讲二项式定理A组一、选择题1．在（x－3）10的展开式中，x6的系数是（）A．－27C105B．27C104C．－9C105D．9C104【答案】D【解析】通项Tr＋1＝C10rx10－r（－3）r＝（－3）rC10rx10－r.令10－r＝6，得r＝4.∴x6的系数为9C1042．在二项式(x1)n的展开式中只有第5项的二项式系数最大，则展开式中含x2项的x系数是（).A．－56B．－35C．35D．56【答案】A【解析】第5项的二项式系数是Cn4，因为是只有，所以n8，那么含x2项的系数是3C85x5156，故选A.xn3．若x2展开式中只有第六项的二项式系数最大，则展开式中的常数项是（）x2A．90B．45C．120D．180【答案】D【解析】2n10因为x展开式中只有第六项的二项式系数最大，故n10，2展x2xx2开式的通项公式为Tr1C10r55r5r2rx2令50，得r2，所以展开式中的常数项2是C10222180，故选D．3n4．的展开式中，各项系数之和为A，各项的二项式系数之和为B，且xxAB72，则展开式中常数项为（）A.6B.9C.12D.18【答案】B试卷第1页，总15页【解析】由二项展开式的性质，可得A4n,B2n，所以AB4n2n72，所以n3，因为n333r33rx3展开式的通项为Tr1r3r(rrr，令0可得r1，xC3x)3C3x22x常数项为T3C19，故选B.235．已知a124x2ex)dx，若(2(1ax)2016b0b1xb2x2b2016x2016(xR)，则b1b2b2016的值为22222016（）A．0B．-1C．1D．e【答案】B【解析】a12(4x2ex)dx124x2dx12exdx1142.即2-2-22(12x)2016.令x0，得b01，令x1，得b1b2b2016011.222222016f(x)(x1)6,x0,则当x0时，f[f(x)]表达式的展开式中常数项6．设函数xx,x0,为（）A．－20B．20C．－15D．15【答案】A【解析】16因为x0时，所以f[f(x)]fxx，f[f(x)]展开式的通项x为Tr16r，令3r0,r3，f[f(x)]表达式的展开式中常数项为1C6rx3r163C6320，故选A.试卷第2页，总15页二、填空题7．设asinxcosxdx，则二项式3x10ax____________．【答案】1【解析】

6的展开式中含 x2项的系数6rrC6r(25r5r因Tr1C6rx3(1)rx21)rx6,由题设可得22,即r0,所以aa6x2项的系数为Tr1C60(1)01,故应填1．am6，则二项式(12x)3m的展开式各项系数的和为8．若(2x1)dx_______．1【答案】1【解析】m(2x1)dx6m1)dx(x2x)1m(m2m)(11)6，1，(2x1m2m6，又m1，m3，令x1，则二项式(12x)3m的展开式各项系数的和为(1 2)9 1．9．已知(1 x)n的二项式展开式中第4项和第8项的二项式系数相等，则.【答案】10【解析】Cn3Cn7，所以n10，故填：10.12x21610．x的展开式的常数项为____________．x【答案】60【解析】2 1x 1 2x

6的展开式的常数项就是 2x2 1x

6的展开式的常数项与 x1的项系数之和.可求得2x21660，2x21的展开式的常数项是xx数是不存在的，故答案填60.611．x12x21的展开式的常数项为．x

6的展开式的 x1的项系【答案】60试卷第3页，总15页【解析】常数项为22C64(1)46012．已知(xm)7a0a1xa2x2a7x7的展开式中x4的系数是－35，则a1a2a3a7＝.【答案】1【解析】∵(xm)7a0a1xa2x2a7x7，∴a0m7．又展开式中443x的系数是－35，可得C7m35，∴．m=1∴a01．在(xm)7aaxax2ax7①，0127令x=1，m=1时，由①可得01aaa，127当x=0，m=1时，a01，即a1a2a7113．二项式(x1)9展开式中，x3项的系数为．2x21【答案】2【解析】Tr1C9rx9r(1)rC9rx92r(1)r2r3rC93(1)3212x2，所以由93得系数为2214．若(1xx2)6a0a1xa2x2a12x12，则a2a4a12__________．【答案】364【解析】令x0，则a01；x1，则a0a1a2a1236；令x1，则a0a1a2a121，两式相加，得2(a0a2a12)361，所以a2a4a12364.15．若1x2x2015a0a1xa2x2a2015x2015a2016x2016，则aaa0等于a_____________．2421【答案】1 22015【解析】试卷第4页，总15页因为1x2x2015a2015x2015a2016x2016，所以当x1a0a1xa2x2时，0aaaaa,当x1时,2aaaaa,0122015201601220152016两式相加可得a0a2a4a2014a20161，当x0时,22015a0.a2a4a2014a2016122015,故答案为122015．三、解答题16．已知(2x1)n的展开式前两项的二项式系数之和为10．x1）求n的值．2）求出这个展开式中的常数项．【解析】（1）Cn0Cn110即n91)n展开式的通项Tr1Cnr(2x)nr(1)r2nrn3r（2）(2xCnrx2xx令n3r0且n9得r621n7项，即7966(2x)展开式中的常数项为第2C9672xT17．求(x21)9展开式的：x1）第6项的二项式系数；2）第3项的系数；【解析】（1）第6项的二项式系数为C95126；（2）T3C92(x2)7(1)29x12，故第3项的系数为9；．已知（12x182x)n，2（1）若展开式中第5项，第6项与第7项的二项式系数成等差数列，求展开式中二项式系数最大项的系数；（2）若展开式前三项的二项式系数和等于 79，求展开式中系数最大的项．【解析】（1）通项Tr＋1＝Crn 1 n－r·（2x）r＝22r－nCrnxr，（此题可以用组合数表示结果）2由题意知C4n，C5n，C6n成等差数列，∴2C5n＝C4n C6n，∴n＝14或7.试卷第5页，总15页当n＝14时，第8项的二项式系数最大，该项的系数为22×7－14C147＝3432；当n＝7时，第4、5项的二项式系数相等且最大，其系数分别为2C73=35，2C74=70.2×3－72×4－72（2）由题意知Cn0C1nCn2＝79，∴n＝12或n＝－13（舍）．2r－12 r r∴Tr＋1＝2 C12x.2由2

2r12C12r22(r1)12C12r1,r525∴r＝10.2r12C12r22(r1)12C12r1,得47r52×10－12 10 10 33 10∴展开式中系数最大的项为 T11＝2 ·C12x＝ （2x）.n119．若 x x 的展开式中，第二、三、四项的二项式系数成等差数列．4x1）求n的值；2）此展开式中是否有常数项，为什么？【解析】（）由132，（n3）得：n(n1)(n2)n(n1)CnCn2Cn62化简得：n29n140，解得：n7，或n（2舍），因此，n7r3r2111r(rN,且0r7)（2）由Tr1C7(x2)7r(x4)rC7x2，当2111r=0时，r21N，211所以此展开式中不存在常数项．523n20．求x2的展开式中的常数项，其中n是777710除以19的余数．2x5【解析】将7777107710，借助以二项展开式可得到余数为10，从而得到变形为761523nx2的展开式的通项公式，由x的次数为0可得到常数项2x5777710761771076m9除以19的余数是10，所以n10．设Tr1是展开式中的常数项，试卷第6页，总15页10rr10rr5r10C10r523x2C10r52则Tr1x32x525令55426168．100得r6，所以T763rC10255所以展开式中的常数项为168．521．（1）若(1x)n的展开式中，x3的系数是x的系数的7倍，求n；（2）已知(ax1)7(a0)的展开式中,x3的系数是x2的系数与x4的系数的等差中项,求a；（3）已知(2xxlgx)8的展开式中,二项式系数最大的项的值等于1120,求x.【解析】（1）x3的二项式系数是Cn3，x的二项式系数是Cn1.依题意有Cn37Cn1,即n(n1)(n2)7n.3!整理，得n23n400,解得n8.(舍去n5.)（2）依题意，得C75a2 C73a4 2C74a3,即21a2 35a4 70a3,a0，5a210a30.解得a110或a110.55（3）依题意得C84(2x)4(xlgx)41120,即x4(1lgx)1,即lg2xlgx0,解得lgx0，或lgx1,所以x1或x1.1022．已知f(x)(1x)m(13x)n（m、nN）的展开式中x的系数为11．试卷第7页，总15页1）求x2的系数的最小值；2）当x2的系数取得最小值时，求f(x)展开式中x的奇次幂项的系数之和．【解析】（1）由题意得：13111，即：m+3n=11．CmCnx2的系数为：Cm232Cn2m(m1)9n(n1)22(113n)(103n)9n(n1)229n236n559(n2)219当n=2时，x2的系数的最小值为19，此时m=52）由（1）可知：m=5，n=2，则f（x）=（1+x）5+（1+3x）2设f（x）的展开式为f（x）=a0+a1x+a2x2+⋯+a5x5令x=1,则f（1）=a0＋a1＋a2＋a3＋a4＋a5令x=-1,则f（-1）=a0－a1＋a2－a3＋a4－a5则a1+a3+a5=f(1) f(1)=22,所求系数之和为222组一、选择题1．设nN,则5Cn152Cn253Cn3......5nCnn除以7的余数为（）A．0或5B．1或3C．4或6D．0或2【答案】A【解析】5Cn152Cn253Cn3......5nCnn=Cn05Cn152Cn253Cn3......5nCnnCn0(15)n1(71)n17M(1)n1,Mz，当n为奇数时，余数为5，当n为偶数时，余数为0,选A.2．(ax1)(2x1)5的展开式中各项系数的和为2，则该展开式中常数项为（）xA．-20B．-10C．10D．20【答案】C【解析】令x1，可得各项系数和为(a1)(251)a1，2所以a1．所以(ax1)(2x51)x(251)1(5(12)5的展开式的通项公1)x(x)(，x1xxx2x)试卷第8页，总15页式为T1Ck(2x)k(2)kxkCk，当k1时，TC1(2x)10x；所以展开式k5525的常数项为1(10x)10．x15153．已知axbx的展开式中含x2与x3的项的系绝对值之比为1:6，则aba2b2的最小值为（）A．6B．9C．12D．18【答案】C【解析】(1ax)5(1bx)5的展开式中含x2项的系数为a1b110(ba)2322323C5(a)aC5(b)bab，含x的项的系数为10(ba)31233123，则由题意，得ab1，即ab6，则C5(a)aC5(b)b10(ab)10(ab)6a2b2a222ab12，故选C.b4．若（2x＋3）4＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4，则（a0＋a2＋a4）2－（a1＋a3）2的值为【答案】1【解析】令x1得a0a1a2a3a4234x1，令得4a0a1a2a3a423，所以所求式子转化为44a0a1a2a3a4a0a1a2a3a4232315．已知(x3)2n展开式中，各项系数的和与其各项二项式系数的和之比为64，则3xn等于（）A．3B．4C．6D．7【答案】A【解析】由题意得，二项展开式中，令 x 1，则(1 3)2n42n，即各项系数的和为42n，二12n项展开式中，二项式系数的和为 22n，即4 64，解得n 3，故选A．22n6．在(2x21)5的二项展开式中，x的系数为（）xA．10B．-10C．40D．-40试卷第9页，总15页【答案】D【解析】1)5展开式通项公式为Tr15r1rr(2x2C5r2x2C5r25r1x103r，令xx103r1r3，系数为C532533401(2x)(1x)47．x的展开式中x的系数是A．1B．2C．3D．12【答案】C【解析】根据题意，式子的展开式中含x的项有(12)4展开式中的常数项乘以2x中的xx以及(14展开式中的含x22x中的22)的项乘以两部分，所以其系数为xx2113，故选C．8．已知3x1na1xa2x2a3x3anxn（n），设3x1na0展开式的二项式系数和为Sn，na1a2a3an（n），Sn与n的大小关系是（）A．SnnB．SnnC．n为奇数时，Snn，n为偶数时，SnnD．Snn【答案】C【解析】令x1得Sna0a1a2an2n，令x0得a0(1)n，所以Tna1a2a3nanS0an(S1n)，所以当n为偶数时，TnSn1Sn，当n为奇数时，TnSn1Sn，故选C.二、填空题9．若(x23x1)8(2x1)4a0a1xa2x2a20x20，则a2=．【答案】476【解析】(x23x1)8的通项公式为Tr1C8r(x23x)8r,r6时，T7C86(x23x)2C86x2(x1)2,r7时，T8C87x(x3),T9C88.由于试卷第10页，总15页(2x1)4C40(2x)4C41(2x)3(1)1C42(2x)2(1)2C43(2x)1(1)3C44(1)4.所以原式的二次项为C86x29C87x2C87(3x)C43(2x)(1)3C42(2x)2(1)24x2.7故6a2476.6110． x 的二项展开式中的常数项为 ______.x【答案】15【解析】展开式的通项公式为Tr1r63r3r1C6rx2，令621415C6411．x2x110展开式中x3项的系数为______．【答案】210【解析】x210[1(x2x)]10的展开式的通项公式为Tm1x1(x2x)rTm1m2r2mm通项公式为Crx(x)，r1,m1或r3,m3．x210x1的展开2133(1)321．C10C2(1)C10C312．在x3nx的整数次幂的各项系数之和为的展开式中，

r4，常数项为C10r(x2x)r，对于令2r2m3得式x3系数为．【答案】【解析】

4n 2n21Tr1Cnr(x2)r3nr，x的整数次幂的各项系数之和为(13)n(13)n4n2n.2213．已知(x2)(x1)4a0a1(x1)a5(x1)5，则a1a3a5______.【答案】1【解析】由题意得，令x0，得a0a1a2a3a4a25，令x2，得a0a1a2a3a40a5，两式相减，得2(a1a3a5)2，所以a1a3a51.试卷第11页，总15页14．若(ax2 b)6的展开式中x3项的系数为20，则a2b2的最小值为________．x【答案】2【解析】(ax2b)6展开后第k项为C6k-1(ax2)7k(b)k1C6k-1a7kbk1x153k，其中x3项为xxk4，即第4项，系数为20a3b3，即20a3b320ab1，a2b22ab2，当且仅当ab1时a2b2取得最小值2.15．在(x2)6的二项展开式中，x2的系数为___________．2 x3【答案】8【解析】TCr(x)6r(2)rCr(1)r22r6x3rr162x6，所以由3r2得r1，因此x2因为C61(1)243的系数为816． 的展开式中 x2y3的系数是____________．【答案】 20【解析】r5r由二项式定理可知：TrC1r，要求解2y315x2y的展开式中x232的系数，所以r1320．3，所求系数为：C22517．设an（n2，nN*n）是(3x)的展开式中x的一次项系数，则3233318．a2a3a18【答案】17【解析】∵an（n2，nN*）是(3x)n的展开式中x的一次项系数，∴anCn23n2，∴32333182322332318a2a3a18n(n1)3n(n1)316n(n1)试卷第12页，总15页18181818(11111)17，2132171822318故答案为：1718．(2x1)6的展开式中常数项是___________.x【答案】-160【解析】常数项为T4C63(2x)3(1)3160.x三、解答题19．已知17a0a1xa2x2a7x72x，求：（1）aaa；127（2）a0a2a4a62a1a32a5a7．【解析】（1）当x1时，17171，展开式变为a0a1a2a71，2x2当x0时，a01，a1a2a7112，（2）由展开式知：a1，a3，a5，a7均为负，a0，a2，a4，a6均为正，令x1，a0a1a2a71①令x1，a0a1a2a3a4a5a6a737②a0a22a1a3a52a4a6a7a0a1a2a3a4a5a6a7a0a1a2a3a4a5a6a71 37 3720．已知( x 2)n二项展开式中，第4项的二项式系数与第3项的二项式系数的比x为8：31）求n的值；2）求展开式中x3项的系数（3）计算式子C1002C1014C1028C1031024C1010的值．【解析】（1）由第4项的二项式系数与第3项的二项式系数的比为8：3，可得Cn38，Cn23试卷第13页，总15页化简可得n28，求得n10．33（2）由于(x2)n二项展开式的通项公式为Tr1(2)rC10rx5r，令5r3，求x得r2，可得展开式中x3项的系数为(2)2C102180．2)n10（3）由二项式定理可得(x(2)rC10rx5r，xr0所以令x=1得C1002C1014C1028C1031024C1010(12)101.二项式定理的应用；二项式系数的性质．C3C3n2015mimii1n1i1201512016Cn3C20153．．21．在(1 x x2)n Dn0 Dn1x Dn2x2 Dnrxr Dn2n1x2n1 Dn2nx2n的展开式中，把Dn0，Dn1，Dn2，，Dn2n叫做三项式系数．（1）当n2时，写出三项式系数D20，D21，D22，D23