选用合理参数解直线与圆锥曲线综合题

直线与圆锥曲线综合题一般通过直线方程与圆锥曲线方程的联立得到一个关于 x或y的方程，利用判别式和根与系数的关系求解， 但是利用向量或者三角函数有时也很简单， 其中利用向量已经成为近年的考查热点， 我们首先通过一个题目的三种解法了解三种方法一般过程.引例：已知椭圆C:x2y21上一动点Q关于x轴的对称点为P，点D的坐标为43(4,0)，直线PD交椭圆C于点F，求证：直线QF经过定点，并求定点的坐标.一、三种解法：解法一（设k法）：设P(x1,y1)，则Q(x1,y1)，设F(x2,y2)，显然直线PD有斜率，设直线PD的方程为yk(x4)，代入C:x2y21并整理得：43(34k2)32k2x64k2120.由题意必有0，于是由根与系数关系得：x1x232k22,x1x264k21234k34k2，直线QF方程为yy2y2y1(xx2)，当y2y10，x2x1x2x1令y0有xxy2(x2x1)，2y2y1把y1k(x14),y2k(x24)代入整理得：2x1x24(x1x2)32k264k212xxx8，再将x1x234k2,x1x234k212代入上式化简得x1.所以直线QF过定点(1,0).当y2y10时，y2y10，直线QF即x轴，也过定点(1,0).x2x1综上直线QF过定点(1,0).解法二（设法）：设P(x1,y1)，则Q(x1,y1)，设F(x2,y2)，直线QF与x轴交点为M(m,0)，则DP(x14,y1),DF(x24,y2)，MQ(x1m,y1),MF(x2m,y2)，1设DPDF，MQMF（由图知1），x14(x24)x1x244(1)y1y2y1y2(2)则有x1m(x2m)，即x1x2mm(3)y1y2y1y2(4)又P(x1,y1)，F(x2,y2)在C:x2y21上，43(x244)2(y2)2(5)41所以3，x22y221(6)43(5)(6)2得：(x244)2(x2)212，441x244)(44)(1)(1)，注意到1，(24上式化简为2x2441，即2x2530，由(2),(4)知，于是(3)即x1x2mm，x244x1(7)这样我们有x2mmx1(8)，2x2530(9)(7)(8)(9)得(1)m(1)0，即(1)(1m)0，注意到1，所以m1.即直线QF过定点(1,0).解法三（设 法）：设P(2cos, 3sin),Q(2cos, 3sin),F(2cos, 3sin ),设直线QF与x轴交点为M(m,0)，又D(4,0)，显然 P,F,D所在直线有斜率，于是3sin03sin0，即sinsin，2cos42cos42cos42cos4即sincoscossin2(sinsin)，2即sin()22sincos，22即2sin2cos222cos2sin，2显然sin20，否则P,F重合，于是cos2cos，223sin03sin0由Q,F,M三点共线得：m2cosm2cossinsin，于是当sinsin0时，2cosm2cosm2(sincoscossin)22sin2cos2cos1，msin22sin2sincoscos222即直线QF过定点(1,0).当sinsin0时，y2y10，直线QF即x轴，也过定点(1,0).综上直线QF过定点(1,0).二、三种解法的比较：仔细分析题意，可以发现，题目的条件有三个点在曲线上（考虑到P,Q的对称，实际上可以看作只有两个点在曲线上），有两个三点共线，现在把三种解法中对于点在曲线上和三点共线的转化作一次比较，我们希望从这个比较中看到它们的优点与缺点，并进一步研究面对具体问题应该如何选择简单的方法，请看下表：三个点P,Q,F在C:x2y2143的转化设yk(x4),kx2y2法1.43

P,F,D三点共线与Q,F,M三点共线的转化y1k(x14),y2k(x24),yy2y2y1(xx2).x2x1

方法比较点的横坐标转化为方程的根，利用根与系数关系可得x1,x2与k的关系，化简目标十分明确，但是注意没有斜率和斜率为零的情况，这是解决直线与圆锥曲线的一般方法.3设 x12 y12

1,

x1 4 (x2 4),

利用y1 y2可以消去 y1,y24 3法x22 y22 1.4 3设P(2cos,3sin),Q(2cos, 3sin),法F(2cos, 3sin).

y1 y2,x1 m (x2 m),y1 y2.3sin03sin02cos42cos,4sinsin.2cosm2cosm

得x1,x2与 的关系，化简的目标需要仔细分析，明确消去哪个未知数，但是由于化简使用了平方差公式，使得计算比较简单，而且避开了有关斜率的讨论，这是向量法的优越性.x1,x2,y1,y2的关系直接化为的关系，利用三角恒等变换寻求,的更加简明的关系，直接求得 m的值，但容易忽视讨论，三角恒等变形也是一个难点.三、在一个具体的问题中，如何选用这三种方法呢？下面结合具体的例子谈谈一般规律：1、当题目条件与结论涉及交点个数，长度，倾斜角与斜率等问题时，一般选用设k法这个一般方法：例题1：过抛物线y24x的焦点F作弦，且|AB|8，直线AB与椭圆22AB3x2y1交与两个不同的点，求直线AB倾斜角的取值范围.解：由已知得F(1,0)，设直线AB的方程为y k(x 1).yk(x1)2(k22)xk20.由4x得：k2x2y2显然k0，[2(k22)]24k2k216(k21)0，4k218，解得k2所以|AB|2|21.|kkyk(x1)22222由2y2得：(2k3)x4kx2k20，显然2k3)0，3x2116k44(2k23)(2k22)8(3k2)0，解得k23.所以1|k|3，即1|tan|3，又[0,)，所以[,)(2,3].433442、当题目条件与结论涉诸点共线或者线段之比时，一般选用设 法：x221，过右焦点F作直线l交椭圆C于A,B两点，交y轴例题2：已知椭圆C:y5于M点，B,F在A,M之间，求|MB||MA|的值.|BF||AF|解：设MA1AF,MB2BF，则OAOM1OF，OBOM2OF，其中O1112为坐标原点，设M(0,y0)，由于F(2,0)，所以A(21,y0)，B(22,y0)，1111121221y0)代入椭圆C:x221得：121)2(y0)21，去分母整理把A(,5y(111151111220，同理可得210220，所以1,2是方程得：110155y0255y021055y020的两个根，所以1210.|MA|,2|MB||MB||MA|10.结合图形可知，1，所以|AF|12|AF||BF||BF|3、遇到求曲线上的点与直线的距离的最值问题、范围问题时，选用设法比较简单：例题3：求椭圆C:x2y21上的点与直线l:xy10距离的最大值.916解：设P(3cos,4sin