常用逻辑语言

常用逻辑语言一、命题及其关系命题的定义我们把用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的语句叫做命题，其中判断为真的语句叫做真命题，判断为假的语句叫假命题.命题的结构数学中，具有“若p，则q”这种形式的命题是常见的，我们把这种命题中的p称为命题的条件，q称为命题的结论.复合命题：不含逻辑联结词的命题叫简单命题，由简单命题与逻辑联结词构成的命题叫复合命题.逻辑联结词且定义：一般地，用逻辑联结词“且”把命题p和q联结起来，就得到一个新命题，记作paq，读作“p且q”.逻辑联结词“且”与日常语言中的“并且”、“及”、“和”相当.可以用“且”定义集合的交集：AIB={x1(xgA)a3gB)}.判断命题paq的真假当p、q都为真命题，paq就为真命题；当p、q两个命题中只要有一个命题为假命题，paq就为假命题.或定义：一般地，用逻辑联结词“或”把命题p或q联结起来，就得到一个新命题，记作pvq，读作“p或q”.逻辑联结词“或”的意义和日常语言中的“或者”相当.可以用“或”定义集合的并集：AUB={x1(xgA)v(xgB)}.判断命题pvq的真假当p、q两个命题中，只要有一个命题为真命题时，pvq为真命题；当p、q两个命题都为假命题，pvq为假命题非定义：一般地，对命题p加以否定，得到一个新的命题，记作-p，读作“非p”或“p的否定”.逻辑联结词“非”(也称为“否定”)的意义是由日常语言中的“不是”“全盘否定”“问题的反面”等抽象而来.有「(「P)=p成立.可以用“非”来定义集合A在全集U中的补集：^A={xeUI—i(xeA)}={xeUIx任A}.判断—p命题的真假—p和p不能同真同假，其中一个为真，另一个必定为假.复合问题的真值表:pqp△qpVq—p真真真真假真假假真假假真假真真假假假假真全称量词与存在量词全称量词定义：短语“对所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词，用符号“V”表示，含有全称量词的命题，叫做全称命题.全称命题的否定：全称命题q:VxeA，q(x)；它的否定是—q:3xeA，—q(x).将全称量词变为存在量词，再否定它的性质.存在量词定义：短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常用叫做参在量词，用符号“3”表示，含有存在量词的命题，叫做特称命题.存在性命题的否定：存在性命题p:3xeA，p(x)；它的否定是—p:VxeA，—p(x).将存在量词变为全称量词，再否定它的性质.二、四种命题四种命题的形式：用p和q分别表示原命题的条件和结论，用-p和-q来表示p和q的否定，于是四种命题的形式就是：原命题：若p，则q;逆命题：若q，则p;否命题：如果-p，则-q;逆否命题：如果-q，则-p.关于逆命题、否命题与逆否命题，也可以如下表述：交换原命题的条件和结论，所得的命题是逆命题.如：同位角相等，两直线平行.它的逆命题就是：两条直线平行，同位角相等.同时否定原命题的条件和结论，所得的命题是否命题如上例的否命题是：同位角不相等，两直线补平行.交换原命题的条件个结论，并同时否定，所得的命题是逆否命题.如上例：两条直线不平行，同位角不相等.四种命题的相互关系(1)四种命题以及它们之间的关系.原命题为真，它的逆命题不一定为真；如：原命题“若a—0，则ab—0”是真命题，它的逆命题“若ab—0，则a—0”是假命题..原命题为真，它的否命题不一定为真；如：原命题“若a—0，则ab—0”是真命题，它的否命题“若a。0，则ab。0”是假命题..原命题为真，它的逆否命题一定为真；如：原命题“若a—0，则ab—0”是真命题，它的否命题“若ab。0，则a。0”是假命题..互为逆否的命题是等价命题，它们同真同假，综上所述：在一个命题的四种命题中，真命题的个数要么是0个，要么是2个，要么是4个.一般四种命题的真假性，有且仅有一下四种情况：原命题逆命题否命题逆否命题真真真真真假假真假真真假假假假假命题的否定与否命题的区别若命题为“若p，则q”，则其命题的否定：“若p，则「q”，而其否命题是：“若「p，则「q”.三、充分条件与必要条件充分条件与必要条件一般的，“若p则q”为真命题，是指由p通过推理可以得出q.这时，我们就说，由p可以推出q.记作：pnq充要条件：一般的，如果既有pnq，又有qnq，记作poq.此时，说p是q的充分必要条件，简称充要条件.充分条件、必要条件、充要条件理解(1)从逻辑推理关系上看若pnq，但q。＞p，则p是q的充分而不必要条件；若qnp，且p。＞q，那么p是q的必要不充分条件；若pnq，但qnp(或pnq且-pn-q)，则p是q的充要条件；若p。＞q，且q。＞p，则p既不是q的充分不必要条件.(1)从集合与集合之间关系看若AcB，则A是B的充分而不必要条件；若A^B，，那么A是B的必要条件；若A=B，则A是B的充要条件；若A①B,B①A，则A既不是B的充分不必要条件.

▲甄▲甄【例1】下列是命题的是（ ）欧几里得《原本》是现存最早的数学著作之一;x2N0；今天雨下的真大！0.5是整数吗？【例2】有下列命题：①2004年10月1日是国庆节，又是中秋节；②10的倍数一定是5的倍数；TOC\o"1-5"\h\z梯形不是矩形；④方程X2=1的解X=±1其中使用逻辑联结词的命题有（ ）A1个B2个 C3个 D4个【例3】下面有四个命题：①若-a不属于N，则a属于N；②若agN,bgN,则a+b的最小值为2:③x2+1=2x的解可表示为{1,1}.其中真命题的个数为（ ）A.0个 B.1个 C.2个 D.3个【例4】命题p:奇函数一定有f（0）=0；命题q:函数j=x+1的单调递减区间是[-1,0）U（0,1].X则下列四个判断中正确的是（）A.p真q真B.p真q假C.p假q真 D. p假q假【例5】给出下列三个命题:①若a3b>-1，则NM—1+a1+b②若正整数m②若正整数m和n满足mWn,贝则fm（n一m）W2；设P（气，七）为圆q：x2+j2=9上任一点，圆02以Q（a,b）为圆心且半径为1.当（a一x）2+（b一j）2=1时，圆O与圆O相切；其中假命题的个数为（ ）A.0 B.1 C.2 D.3【例6】下面有五个命题：函数y=sin4%-cos4x的最小正周期是兀.终边在y轴上的角的集合是"Ia=号,keZ>.在同一坐标系中，函数y=sinx的图象和函数y=x的图象有三个公共点.把函数y=3sin]2x+；]的图象向右平移三得到y=3sin2x的图象.函数y=sinfx-习在(0,n)上是减函数.TOC\o"1-5"\h\z其中真命题的序号是 .【例7】设有两个命题：〃：不等式IxI+1x+1I>a的解集为R,命题q:f(x)=-(7-3a)x在R上为减函数.如果两个命题中有且只有一个是真命题，那么实数a的取值范围是 .【例8】已知命题p:3xeR,x2+2ax+a<0,则命题p的否定是 ;若命题p为假命题，则实数a的取值范围是 .【例9】已知命题p:士>0,2x=3，则( )A. 「p:Vx<0， 2x牛3 B. 「p:Vx>0， 2x牛3C. —p:3x>0， 2x丰3 d. —p:3x<0， 2x丰3【例10】命题：VxeR，x2>0的否定是.【例11】下列命题中，真命题是(x,一xx,一x1A.BxeR,sin2—+cos2—=—2 22C.BxeR,x2+x=-1B.Vxe(0，兀),sinx>cosxD.Vxe(0,+3),ex>1+x【例12【例12】已知命题p：BxeR,x一2>1gx命题q：VxeR,x2>0,则()A.A.命题pvq是假命题B.命题paq是真命题C.C.命题pv(_iq)是假命题D.命题p△(_iq)是真命题rr【例13rr【例13】设a,b是向量，rr命题“若a=-b,则|a|=|b|”的逆命题是(A.A.若a丰—b，贝a。|b|B.若a=—b,贝a。|b|C.C.若|a。㈣，则a。—bD.若|a=b|,则a=—b【例14】命题“所有能被2整除的数都是偶数”的否定是( )..A•所有不能被2整除的数都是偶数B•所有能被2整除的数都不是偶数存在一个不能被2整除的数是偶数存在一个能被2整除的数不是偶数【例15】写出下列命题的否命题，并判断否命题的真假.命题p:“若ac>0,则二次方程ax2+bx+c=0没有实根"；命题q:“若x丰a且x。b，贝x2—(a+b)x+ab。0”；命题r:“若(x—1)(x—2)=0，则x=1或x=2”.命题l:“AABC中，若AC=90。，则/A、ZB都是锐角”;命题s:“若abc=0，则a,b,c中至少有一个为零”.【例16】下列说法中，正确的是（ ）命题“若am2vbm2，则a<b”的逆命题是真命题命题“3xeR,x2-x>0”的否定是：“VxeR,x2-x<0”命题“p或q”为真命题，则命题“p”和命题“q”均为真命题已知xeR，^g“x>1”是“x>2”的充分不必要条件【例17】已知a,beR.下列四个条件中，使a>b成立的必要而不充分的条件是（ ）A.a>b-1 B.a>b+1 C.IaI>IbI D.2a>2b【例18】已知a，p表示两个不同的平面，m为平面a内的一条直线，则“alp”是“mip-的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件【例19】下列四个命题中“k=1”是“函数y=cos2kx-sin2kx的最小正周期为兀”的充要条件；“a=3”是“直线ax+2y+3a=0与直线3x+（a-1）y=a-7相互垂直”的充要条件；x2+4函数y=——的最小值为2\：x2+3其中假命题的为 将你认为是假命题的序号都填上）【例20】“a>1”是“对任意的正数x，不等式2x+a>1成立”的（ ）条件x

A.A.充分不必要B.必要不充分C.充要D.既不充分也不必要【例21】已知命题p:-4<k<0；命题q:函数y=kx2-kx-1的值恒为负.则命题p是命题q成立的( )A.充分但不必要条件 B.必要但不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件【例22】"m=L'是“直线(m+2)x+3my+1=0与直线(m-2)x+(m+2)y-3=0相互垂直"2的()A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.非充分非必要条件【例23】若不等式|x-^<1成立的充分不必要条件是2<x<3,则实数m的取值范围是【例24】命题p:方程x2+mx+1=0有两个不等的正实数根，命题q:方程4x2+4(m+2)x+1=0无实数根若“p或q”为真命题，求m的取值范围【例25】已知命题p:1-x3W2；q:x2-2x+1-m2W0(m>0)，若—p是—q的必要非充分条件，求实数m的取值范围.课堂检测【习题1】下列命题中正确的是（ ）“若X2+产。0，则们〉不全为零”的否命题“正多边形都相似”的逆命题“若m>0，则X2+x-m=0有实根”的逆否命题“若X-枳是有理数，则X是无理数”的逆否命题TOC\o"1-5"\h\zA.①②③④ B.①③④ C.②③④ D.①④【习题2】已知命题p:女eR,QX2+2X+1<0.若命题p是假命题，则实数a的取值范围是 .【习题3】下列命题中正确的是（ ）若命题p为真命题，命题q为假命题，则命题“p△q"为真命题“sina=!”是“以=兰”的充分不必要条件2 6l为直线，a，p错误!未找到引用源。为两个不同的平面，若l±P，a±p，则l〃a命题"VxeR,2x>0”的否定是勺X0eR,2x°<0”【习题4】已知条件p:IX+11>2，条件q:x>a，且「p是「q的充分不必要条件，则a的取值范围可以是（ ）A.a31 B.aW1 C.a3-1D.aW-3【习题5】"a=2”