人教B版必修第一册1.2.1命题与量词学案2

1.2常用逻辑用语2.1命题与量词学习目标.通过创设情境,抽象出命题的概念,学会判断命题的真假,体会数学抽象的核心素养..理解全称量词与存在量词的意义,掌握用量词符号表示全称量词命题和存在量词命题,并会判断全称量词命题和存在量词命题的真假..认识两种命题在刻画现实问题和数学问题中的作用，培养逻辑推理的核心素养和严谨的学习态度.L命题的定义与分类(1)命题的定义:在数学中,我们把可供真假判断的陈述语句叫做命题.⑵分类(真命题:判断为真的语句命题彳一［假命题:判断为"的语句思考1:命题概念中涉及几个要点？答案:命题定义中涉及两个要点：“可以判断真假”和“陈述语句”.思考2:“命题一定是陈述句，但陈述句不一定是命题”这个说法正确吗？答案:正确.根据命题的定义，命题一定是陈述句，但陈述句中只有能够判断真假的才是命题.2.全称量词与全称量词命题@3xez,x3<l;②存在一个四边形不是平行四边形；③在平面直角坐标系中，任意有序实数对(x,y)都对应一点P;@VxeN,x2>0.⑵判断下列全称量词命题的真假.①所有的素数都是奇数；②Vx£R,|x|+l，l;③对任意一个无理数X,X?也是无理数.⑶判断下列存在量词命题的真假.①有一个实数x,使x2+2x+3=0;②平面内存在两条相交直线垂直于同一条直线；③有些平行四边形是菱形.解：(1)①因为T£Z,且所以"3xeZ,是真命题.②真命题，如梯形.③由有序实数对与平面直角坐标系中的点的对应关系知，它是真命题.④因为0£N,02=0,所以命题"VxEN,x2>0"是假命题.⑵①2是素数，但2不是奇数，所以全称量词命题“所有的素数都是奇数”是假命题.②Vx£R,总有|x|20,因而|x|+121,所以全称量词命题“VxWR,|x|+121”是真命题.③立是无理数，但（&）2=2是有理数.所以全称量词命题“对任意一个无理数x,x2也是无理数”是假命题.⑶①由于△:22-4乂3=-8<0,因此一元二次方程x2+2x+3=0无实根.所以存在量词命题“有一个实数x,使x?+2x+3=0”是假命题.②由于平面内垂直于同一条直线的两条直线互相平行，因此平面内不可能存在两条相交直线垂直于同一条直线.所以,存在量词命题”平面内存在两条相交直线垂直于同一条直线”是假命题.③由于正方形既是平行四边形又是菱形,所以存在量词命题“有些平行四边形是菱形”是真命题.②好点些_利用全称量词命题、存在量词命题的真假求参数的取值范围［例4］已知命题p:3xe［-1,+oo）,2x+2-a=0为真命题,求实数a的取值范围.解：因为P为真命题，即方程2x+2-a=0在［彳,+8）上有实根，所以a=2x+222X（-?+2=1,即a21,即实数a的取值范围为［1,+8）.［一题多变］将本例中的条件改为“Vx£［-a+8），2x+2-a>0”，求实数a的取值范围.解:由Vx£[-去+8),2x+2-a>0为真命题,则a<(2x+2)ni=2X(-1)+2=1,得aG,所以实数a的取值范围为(-8,1).利用含量词的命题的真假求参数取值范围的技巧⑴含参数的全称量词命题为真时，常转化为不等式的恒成立问题来处理,最终通过构造函数转化为求函数的最值问题.⑵含参数的存在量词命题为真时,常转化为方程或不等式有解问题来处理.针对训练：已知命题"VxER,x2+2x+2-a>0"为真命题,求实数a的取值范围.解：由Vx£R,x2+2x+2-a>0为真命题，得函数y=x?+2x+2-a=(x+l)2+l-a的图像在x轴上方,即l-a>0,得a〈l.所以实数a的取值范围为.语句“若a>b,则a-c>b-2c”(C)A.不是命题B.是真命题C.是假命题D.不能判断真假解析:a-c>b-2c,即a>b-c,当c<0时,可能不成立.故选C..下列语句不是全称量词命题的是(C)A.任何一个实数乘零都等于零B.自然数都是正整数C.高一⑴班绝大多数同学是团员D.所有二次函数的图像都开口向上解析：“高一⑴班绝大多数同学是团员”，即“高一(1)班有的同学不是团员,是存在量词命题.故选C.3.下列命题是假命题的是(B)A.VxeR,3x>0B.VxeN,x^lC.3xez,x<lD.3xeQ,解析:当x=0时，OWN,但(KI,故“Vx£N,x故1”是假命题.故选B..命题”有些负数满足不等式(1+x)式-9x)2>0"用『写成存在量词命题为.解析:存在量词命题“存在M中的一个x,使p(x)成立"可用符号简记为为x£M,p(x)”，因此命题可改写为"3x<0,(1+x)(1-9x)2>0".答案：也<0,(1+x)(1-9x)2〉0.若VxW(-8,2],xWa恒成立，则实数a的取值范围是.解析:x〈a恒成立是指a大于等于x的最大值,故a22,则实数a的取值范围是⑵+8).答案：[2,+8)(1)一般地，“任意”“所有”“每一个”在陈述中表示所述事物的全佳，称为全称量词,用符号表示.(2)含有全称量词的命题,称为全称量词命题.因此全称量词命题就是形如“对集合M中的所有元素x,r(x)”的命题,可用符号简记为中£M,r(x).思考3:同一个全称量词命题的表述是否是唯一的？答案:不唯一.对于同一个全称量词命题，由于自然语言不同，可以有不同的表述方法，只要含义正确即可.3.存在量词与存在量词命题一般地，“存在”“有”“至少有一个”在陈述中表示所述事物的个体或部分,称为存在量词,用符号“3”表示.(2)含有存在量词的命题,称为存在量词命题.因此,存在量词命题就是形如“存在集合M中的元素x,s(x)"的命题，可用符号简记为"3x£M,s(x)”.思考4:全称量词命题与存在量词命题有什么区别？答案：(1)全称量词命题中的全称量词表明给定范围内所有对象都具有某一性质，无一例外，强调“整体、全部”.(2)存在量词命题中的存在量词则表明给定范围内的对象有例外，强调“个别、部分”.思考5:(1)“一元二次方程ax2+2x+l=0有实数解”是存在量词命题还是全称量词命题?请改写成相应命题的形式.“不等式(m+1)x2-(m-l)x+3(m-1)<0对任意实数x恒成立”是存在量词命题还是全称量词命题?请改写成相应命题的形式.答案：(1)是存在量词命题.可改写为“mx£R,ax2+2x+l=0”.⑵是全称量词命题.可改写成"VxGR,(m+l)x2-(m-l)x+3(m-l)<0v.(1)命题的结构①命题的一般形式为“若P,则q".其中p叫做命题的条件,q叫做命题的结论.②确定命题的条件和结论时，常把命题改写成“若P,则q”的形式.(2)理解全称量词命题及存在量词命题时应关注的三点①全称量词命题就是陈述某集合中所有元素都具有某种性质的命题；②有些命题省去了全称量词，但仍是全称量词命题,如“有理数是实数”，就是“所有的有理数都是实数”；③存在量词命题就是陈述某集合中存在一个或部分元素具有某种性质的命题,常见的存在量词还有“有的”“存在”等.(3)常见的全称量词命题及存在量词命题及其表述趁探究点一命题及其真假判断命题全称量词命题VxeM,p(x)存在量词命题3x^M,p(x)表①所有的x£M,使p(x)成立①存在x£M,使p(x)成立②至少有一个X2M,使p(x)成述方②对一切xWM,使p(x)成立立③对母个xEM,使p(x)成乂③某些xWM,使p(x)成立法④对任意一个x£M,使p(x)成④存在某一个x£M,使p(x)成立⑤若xeM,则p(x)成立⑤有一个x£M,使p(x)成立［例1］判断下列语句是否为命题，若是，判断其真假.(1)垂直于同一条直线的两条直线必平行吗？⑵一个数不是正数就是负数；⑶平行四边形的对角线相等且互相平分；⑷末位是0的整数能被5整除；(5)求证遍是无理数.解：(1)疑问句不是命题.(2)是命题,假命题.0既不是正数也不是负数.⑶是命题,假命题.因为平行四边形的对角线不一定相等.⑷是命题,真命题.⑸祈使句，不是命题.⑴判断一个语句是否是命题关键看它是否符合两个条件：“是陈述句”和“可以判断真假”，而祈使句、疑问句、感叹句等都不是命题.(2)要判断一个命题是假命题，只需要举出一个反例即可,而要判断一个命题是真命题，一般需要经过严格的推理论证.在判断时,要有推理依据,有时应综合各种情况作出正确的判断.针对训练:判断下列语句是不是命题,若是,判断其真假.(1)各位数字之和是3的倍数的整数,能被3整除；⑵一个数不是奇数就是偶数；(3)2022年6月1日山东某地会下雨；(4)菱形的对角线互相垂直；(5)“向抗洪英雄学习！”解：(1)是命题,真命题.(2)是命题,假命题.⑶不是命题.(4)是命题，真命题.⑸是感叹句，不是命题.[备用例1](1)下列命题中是真命题的是()A.若工=三，贝ijx=yxyB.若x2=l,则X=1C.若x=y,贝I)近二后D.若x<y,则x2<y2⑵判断下列语句是否为命题,若是,判断其真假.①x'-3x+2=0;②己知x,y为正整数，当y=x+l时，y=3,x=2;③“大角所对的边大于小角所对的边”；④“x+y为有理数，则x,y也都是有理数”；⑤“△ABCs.B'C'".⑴解析:A正确.若x2=l,则x=±1,B错误.若x=y<0,则后无意义,C错误.若x<y<0,则x2>y2,D错误.故选A.⑵解:①不能判断真假,不是命题；②是命题，假命题；③是命题,是假命题.没有说明在同一个三角形中；④是命题，是假命题.如x=V3,y=_V3;⑤不能判断真假，不是命题.至探究点二全称量词命题与存在量词命题的判定［例2］判断下列命题是全称量词命题还是存在量词命题.⑴凸多边形的外角和等于360°;(2)有些实数a,b能使|a-b|=|a|+|b|;⑶不相交的两条直线是平行直线；⑷锐角三角形的内角是锐角或钝角；⑸负数的平方是正数；(6)若x>0,则x+2>2.解：(1)可以改写为“所有的凸多边形的外角和等于360。”，是全称量词命题.⑵含有存在量词“有些”，故是存在量词命题.⑶可以改写为“所有不相交的两条直线是平行直线”，因此是全称量词命题.⑷省略了全称量词“所有”，因此是全称量词命题.⑸省略了全称量词“所有”，是全称量词命题.⑹省略了全称量词“所有”，可以改写为“对所有实数X,若x>0,则有x+2>2”，是全称量词命题.⑴判断一个命题是否为全称量词命题或存在量词命题，关键看命题中是否含有全称量词或存在量词.⑵要注意有些全称量词命题并不含全称量词,这时要根据命题涉及的意义去添补量词再判断.同一个全称量词命题或存在量词命题的表述方法可能不同.针对训练:判断下列命题是全称量词命题还是存在量词命题.⑴有一个实数a不能有平方根；⑵所有不等式的解集A,都满足ACR；(3)对任意实数a,b,若a>b,则乂士ab(4)有些三角形不是直角三角形；⑸自然数的平方是正数.解：(1)含有存在量词“有一个"，所以命题⑴为存在量词命题.⑵含有全称量词“所有”，所以(2)为全称量词命题.⑶含有全称量词“任意”，所以⑶是全称量词命题.(4)含有存在量词“有些”，所以⑷是存在量词命题.(5)因为“自然数的平方是正数”的实质是“任意一个自然数的平方都是正数”，所以⑸为全称量词命题.［备用例2］用量词符号“V”“于’表述下列命题.(1)所有实数x都能使x2+x+l>0成立；⑵对所有实数a,b,方程ax+b=O恰有一个解；(3)一定有整数x,y,使得3x-2y=10成立;⑷所有的有理数x都能使白2+$+1是有理数.解：⑴Vx£R,x2+x+l>0.Va,bGR,ax+b=O恰有一解.3x,y^Z,3x-2y=10.(4)VxeQ,1x2+|x+l是有理数.⑨探究点三全称量词命题与存在量词命题的真假判断［例3］用符号“V”与"于'表示下面含有量词的命题并判断其真假.(1)自然数的平方大于零；⑵以平面直角坐标系的原点为圆心,半径为r的圆上任一点到圆心的距离是r;⑶存在一对整数x,y,使2x+4y=3;⑷存在一个无理数,它的立方是有理数.解：⑴VxWN,x2>0.因为0也是自然数,0的平方是0,所以全称量词命题“自然数的平方大于零”是假命题.⑵设P是以平面直角坐标系的原点0为圆心,半径为r的圆上任一点,则V点P,有|OP|二r,是真命题.(3)3x,y^Z,2x+4y=3.由2x+4y=3,得x+2y=1,若x,y£Z,则x+2y也是整数，不可能等于/所以存在量词命题“存在一对整数x,y,使2x+4y=3”是假命题.(4)Sxe｛无理数｝,x?EQ.北是无理数，(那尸二3是有理数，所以存在量词命题“存在一个无理数,它的立方是有理数”是真命题.全称量词命题与存在量词命题真假的判断方法：⑴对于全称量词命题“Vx£M,p(x)”，要判断它为真,需要对集合M中的每个元素x,证明p(x)成立;要判断它为假，只需在M中找到一个X,使p(x)不成立.⑵对于存在量词命题“mx£M,p(x)”，要判断它为真，只需在M中找到一个x,