3xtk高等数学-微分中值定理习题

1第三章微分中值定理与导数的应用习题课教学要求典型例题2一、教学要求1.理解罗尔(Rolle)定理和拉格朗日(Lagrange)定理.2.了解柯西(Cauchy)定理和泰勒(Tayloy)定理.3.理解函数的极值概念,掌握用导数判断函数的单调性和求极值的方法.第三章微分中值定理与导数的应用习题课3

5.会用洛必达(L,Hospital)法则求不定式的极限.

6.了解曲率和曲率半径的概念并会计算曲率和曲率半径.

4.会用导数判断函数图形的凹凸性,会求拐点,会求解最大值和最小值的应用问题.会描绘函数的图形(包括水平,铅直和斜渐近线).第三章微分中值定理与导数的应用习题课41.微分中值定理及其相互关系

罗尔定理

拉格朗日中值定理

柯西中值定理

泰勒中值定理第三章微分中值定理与导数的应用习题课52.微分中值定理的主要应用(1)

研究函数或导数的性态(3)

证明恒等式或不等式(4)

证明有关中值问题的结论(2)证明方程根的存在性第三章微分中值定理与导数的应用习题课6利用一般解题方法:证明含一个中值的等式或根的存在,若结论中涉及到含中值的两个不同函数,可考虑用若已知条件中含高阶导数,若结论中含两个或两个以上的中值,3.有关中值问题的解题方法(1)可用原函数法找辅助函数.(2)柯西中值定理.中值定理.(3)(4)有时也可考虑多考虑用泰勒公式,逆向思维,设辅助函数.多用罗尔定理,必须多次应用对导数用中值定理.第三章微分中值定理与导数的应用习题课7(1)

研究函数的性态:增减,极值,凹凸,拐点,渐近线,曲率(2)

解决最值问题

目标函数的建立

最值的判别问题(3)其他应用:求不定式极限;几何应用;相关变化率;证明不等式;研究方程实根等.4.导数应用第三章微分中值定理与导数的应用习题课8例1设满足证明方程第三章微分中值定理与导数的应用习题课1.证的存在性.二、典型例题9例2证明方程只有一个实根.第三章微分中值定理与导数的应用习题课10例3设连续,可导,并满足证明:有唯一实根.例4设二阶可导,且又当证明:有唯一实根.第三章微分中值定理与导数的应用习题课11例5设证明:例6设可导,证明:在的两个零点之间,一定有的零点.第三章微分中值定理与导数的应用习题课12例7设证明:例8设证明:第三章微分中值定理与导数的应用习题课提示:13例9设证明:例10设证明:第三章微分中值定理与导数的应用习题课14例11设证明:例12设证明:第三章微分中值定理与导数的应用习题课15证明:例13设例14设证明:第三章微分中值定理与导数的应用习题课16试证存在使例15设提示:第三章微分中值定理与导数的应用习题课17例16证

介值定理上分别用使得拉氏定理,(1)(2)第三章微分中值定理与导数的应用习题课18由(1),有得(1)(2)由(2),有第三章微分中值定理与导数的应用习题课19例17设上有二阶连续导数,证明:例18设函数上有三阶连续导数,且证明:至少存在涉及到函数值与高阶导数时,想Taylor中值定理结合闭区间上连续函数的最值定理第三章微分中值定理与导数的应用习题课20２．不等式的证明利用中值定理利用单调性利用最值利用凹凸性例19证明:其中Lagrange中值定理第三章微分中值定理与导数的应用习题课21例20证明:例21证明:例22证明:Cauchy中值定理或单调性单调性最值第三章微分中值定理与导数的应用习题课22例23设证明:例24证明:凹凸性Taylor中值定理第三章微分中值定理与导数的应用习题课23例25证明:对有Taylor中值定理在内可导,且证明在内有界.例26Lagrange中值定理第三章微分中值定理与导数的应用习题课24例27证明:例28设证明:Lagrange中值定理Lagrange中值定理第三章微分中值定理与导数的应用习题课25例29证明:例30证明:第三章微分中值定理与导数的应用习题课一阶导与二阶导的关系想Lagrange函数值与高阶导的关系想Taylor263.其它类型例31证明:例32第三章微分中值定理与导数的应用习题课27例33已知对一切x满足:证明:例34判断方程有几个实根.第三章微分中值定理与导数的应用习题课28判断方程有几个实根,并指出各个根所在的区间.解(1)即设令得驻点唯一的驻点又所以,是最小值点,最小值为第三章微分中值定理与导数的应用习题课29所以,所以,(2)自己证!第三章微分中值定理与导数的应用习题课30例35设曲线试确定的值.例36证明:第三章微分中值定理与导数的应用习题课31例37求第三章微分中值定理与导数的应用习题课提示令32例38解奇函数第三章微分中值定理与导数的应用习题课33第三章微分中值定理与导数的应用习题课34列表如下:第三章微分中值定理与导数的应用习题课35极大值拐点极小值第三章微分中值定理与导数的应用习题课36作图第三章微分中值定理与导数的应用习题课3