2017-2018学年高中数学4-5练习第一章不等关系与基本不等式含解析

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精第一章测评(时间:120分钟满分:150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分,共60分）1.已知1a<1b〈0,给出下列不等式：①a+b<ab；②｜a｜>｜b|;③a<b；④ba+A。1个 B.2个 C。3个 D。4个解析：由已知得b〈a〈0，所以a+b<ab,|a|<|b|，ba〉0，从而ba+ab答案：B2.若a∈R，且p=1a2+a+1，q=aA.p≥q B.p〉q C.p≤q D。p<q解析：由于a∈R,显然有p〉0,q>0，且qp=(a2—a+1）(a2+a+1）=a4+a2+1≥1,因此q≥答案：C3.对于x∈R，不等式｜x+10|—|x—2|≥8的解集为()A。［0，+∞） B。（0,2)C。[0,2） D.（0，+∞)答案：A4.下列函数中，最小值为2的是(）A.y=x+1B。y=x2—2x+4C.y=x2+1D.y=x解析:在函数y=x2+1x2中,x2>0，所以y=x2+1x2≥2x2答案:C5.若不等式|ax+2|<4的解集为(-1，3）,则实数a等于 (）A.8 B。2C.-4 D。—2解析:由—4<ax+2<4,得—6〈ax〈2.因为不等式的解集为（—1，3）,所以a=-2。答案:D6.已知函数f（x）是R上的增函数且为奇函数,数列{an}是等差数列,a3〉0,则f(a1)+f（a3)+f（a5)的值（)A。恒为正数 B.恒为负数C.恒为0 D.可正可负解析:因为f（x）是R上的增函数且为奇函数，a3〉0，所以f(a3)〉f(0）=0。又a1+a5=2a3，所以a1+a5>0，则a1>-a5，于是f(a1)>f(-a5)，即f(a1)>—f（a5),所以f(a1)+f（a5)〉0，所以f（a1)+f(a3）+f（a5）〉0。答案:A7.已知f(x)=2x+3（x∈R）,若｜f（x）-1|<a的必要条件是｜x+1|〈b(a,b>0），则a,b之间的关系是()A。b≥a2 B.b〈C。a≤b2 D.a〉解析:由｜f（x）-1|<a可得-a-22<x<a-22,由|x+由题意可得-b-1≤-a答案:A8。若x∈(0,π），则y=sinx2cos2x2的最大值等于（A。427 B。C.23 D.解析：y2=sin2x2cos4x2=12·2sin2x2·cos2x2·cos2x2≤122sin2x2+cos2答案：B9。若｜x—1｜〈3,|y+2|<1，则｜2x+3y｜的取值范围是(）A。（—∞，5） B。(—∞，13)C。(—∞,9) D.（-∞,4)解析:|2x+3y|=｜2（x-1）+3(y+2)-4｜≤2｜x—1｜+3｜y+2|+|-4|〈6+3+4=13.答案:B10.若不等式x2〈｜x—1|+a的解集是区间（—3,3）的子集,则实数a的取值范围是()A.（—∞，7） B。（-∞,7]C。(-∞，5) D.(—∞，5]解析：不等式x2〈｜x—1｜+a等价为x2—｜x—1｜—a〈0。设f（x)=x2-｜x-1|—a,若不等式x2<｜x—1｜+a的解集是区间(-3,3）的子集,则f解得a≤5，故选D.答案：D11。设实数x，y满足x2+2xy-1=0,则x+y的取值范围是（)A.(—∞,—1]∪［1，+∞)B。[1,+∞)C.(—∞，—1］D。［-1，1]解析:显然x≠0，由x2+2xy—1=0可得y=1-x22x,因此x+y=x+1-x22x=x2+12x，当x>0时,x2+12答案：A12。已知x〉0，y>0，且xy—（x+y）=1，则（）A。x+y≥2(2+1）B.xy≤2+1C。x+y≤(2+1）2D.xy≥2+1解析:由xy—(x+y)=1可得xy=1+x+y≥1+2xy,即（xy)2-2xy—1≥0,所以xy≥2+1，则xy≥（2+1)2，排除B和D；又xy=x+y+1≤x+y22，解得x+y≥2（答案:A二、填空题（本大题共4小题，每小题5分,共20分)13.若x〉—2，且x≠0,则1x的取值范围是解析:因为x>-2,且x≠0，所以当x>0时有1x>0；当—2<x<0时有1x〈-12,综上可知，1x的取值范围是（0，+∞答案:（0,+∞)∪-14.某同学准备用反证法证明如下一个问题:函数f(x)在［0,1］上有意义，且f(0）=f（1），如果对于不同的x1,x2∈[0,1],都有｜f（x1)-f（x2)|<｜x1-x2|,求证:|f（x1）-f（x2)｜<12。那么它的假设应该是解析:“|f（x1)—f（x2)|<12”的否定是｜f（x1）—f(x2)｜≥1答案：|f（x1）—f(x2)|≥115。若不等式|x+1|+｜x—3|≥a+4a对任意的实数x恒成立，则实数a的取值范围是解析:由绝对值不等式的意义可得a+4a≤4,所以(a-2)2a≤0,解得答案：（—∞,0）∪｛2}16.“蛟龙号”载人深潜器是我国首台自主设计、自主集成研制的作业型深海载人潜水器.设计最大下潜深度为7000米级.6月24日，“蛟龙号”载人潜水器7000米海试在西太平洋马里亚纳海沟进行了第四次下潜试验.“蛟龙号”如果按照预计下潜的深度s（米）与时间t(分钟）之间的关系满足关系式为s=0.2t2-14t+2000，那么平均速度的最小值是。

解析：平均速度为v(t)=st=0.2t2-14t+2000t=0.2t+2000t-14≥20.答案:26三、解答题（本大题共6小题,共70分）17。（本小题满分10分)设不等式｜x—2|<a（a∈N+)的解集为A,且32∈A，12(1）求a的值；(2)求函数f（x)=|x+a|+|x-2|的最小值。解（1）因为32∈A，且12∉A，所以32-2<a，且12-2又a∈N+,所以a=1。（2)因为｜x+1|+|x—2|≥|（x+1）-(x-2）|=3，当且仅当（x+1）（x—2）≤0，即-1≤x≤2时取到等号。故f(x）的最小值为3。18。（本小题满分12分）（1）设x是正实数，求证:（x+1)（x2+1）(x3+1)≥8x3。(2）若x∈R，不等式(x+1)（x2+1)(x3+1)≥8x3是否依然成立?若成立，请给出证明；若不成立，请举出一个使它不成立的x值。（1）证明x是正实数,由平均值不等式知x+1≥2x，1+x2≥2x,1+x3≥2x3故(x+1)（x2+1）（x3+1）≥2x·2x·2x3=8x3（当且仅当x=1时,等号成立）(2）解若x∈R,不等式（x+1)(x2+1)(x3+1）≥8x3依然成立。证明如下:由(1）知，当x〉0时不等式成立。当x≤0时,8x3≤0,又(x+1）(x2+1）（x3+1）=（x+1)2（x2+1)(x2—x+1)=（x+1）2（x2+1)·x-119.（本小题满分12分）已知正数a，b，c满足a+b+c=6,求证:1a证明由已知及平均值不等式可得1a(=3=3≥3a当且仅当a=b=c=2时等号成立。故原不等式成立.20.导学号35664028（本小题满分12分）已知函数f(x）=|x—1｜。(1)解不等式f（x)+f(x+4）≥8;（2)若｜a|〈1,｜b｜<1,且a≠0，求证:f(ab）>|a|fba(1）解f(x）+f（x+4)=|x—1｜+|x+3｜=-当x〈—3时，由-2x—2≥8,解得x≤—5;当-3≤x≤1时，4≤8不成立；当x〉1时,由2x+2≥8，解得x≥3。所以原不等式的解集为｛x|x≤—5或x≥3}。（2)证明f(ab）〉｜a｜fba，即|ab—1因为｜a｜〈1,|b|<1,所以|ab—1|2—｜a-b|2=(a2b2—2ab+1）-（a2-2ab+b2)=(a2-1）(b2-1）>0,所以｜ab-1｜〉|a-b｜。故原不等式成立。21。导学号35664029（本小题满分12分)已知x,y，z∈R+，x+y+z=3。（1)求1x（2)证明:3≤x2+y2+z2<9。（1）解因为x+y+z≥33xyz〉0，1x+1y+1z≥33xyz〉（2)证明x2+y2+z2=x≥x2+当且仅当x=y=z时等号成立.又x2+y2+z2-9=x2+y2+z2—（x+y+z)2=-2（xy+yz+zx)<0，所以3≤x2+y2+z2〈9.22。导学号35664030(本小题满分12分)已知f（x)=｜2x-1｜—|x+1｜.（1)求f（x)〉x的解集;（2）若a+b=1，对∀a，b∈（0，+∞），1a+4b≥｜2x-1｜—|x+1｜解（1)f（x）=|2x—1｜-｜x+1｜，当x<-1时，f(x）〉x，得1—2x+x+1〉x，解得x<—1；当-1≤x≤12时,f(x）>x，得1-2x-x-1>x,解得—1≤x〈当x〉12时，f（x）>x,得2x-1-(x+1)>x,解得—2〉综上可知x<0,即f(x）>x的解集为｛x｜x〈0｝。（2）f（x)