2017-2018版高中数学第1章导数及其应用1.1.2瞬时变化率-导数（一）学案版2-2

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精PAGE14学必求其心得，业必贵于专精PAGE1．1。2瞬时变化率-—导数(一)学习目标1.结合实际背景理解函数的瞬时变化率——导数的概念及其几何意义.2。会求简单函数在某点处的导数及切线方程.3。理解导数与平均变化率的区别与联系．知识点一曲线上一点处的切线思考1曲线的切线与曲线只有一个公共点吗？思考2曲线上在某一点处的切线的含义是什么?设Q为曲线C上不同于P的一点，这时,直线PQ称为曲线的割线，随着点Q沿曲线C向点P运动，割线PQ在点P附近越来越逼近曲线C.当点Q无限逼近点P时，直线PQ最终就成为在点P处最逼近曲线的直线l，这条直线l称为曲线在点P处的切线．知识点二瞬时速度与瞬时加速度思考运动物体在某一时刻的瞬时加速度为0，那么该时刻物体是否一定停止了运动？1．如果Δt无限趋近于0时，运动物体位移S（t）的平均变化率eq\f(St0＋Δt－St0,Δt）无限趋近于一个常数，那么这个常数称为物体在t＝t0时的瞬时速度，即位移对于时间的瞬时变化率．2．如果当Δt无限趋近于0时，运动物体速度v（t）的平均变化率eq\f（vt0＋Δt－vt0,Δt）无限趋近于一个常数，那么这个常数称为物体在t＝t0时的瞬时加速度，即速度对于时间的瞬时变化率．知识点三导数及其几何意义1．导数设函数y＝f（x)在区间（a,b）上有定义，x0∈(a,b)，若Δx无限趋近于0时，比值eq\f(Δy，Δx）＝eq\f（fx0＋Δx－fx0，Δx）无限趋近于一个常数A，则称f(x)在x＝x0处可导，并称该常数A为函数f(x）在x＝x0处的导数，记作f′(x0)．2．导数的几何意义导数f′（x0）的几何意义就是曲线y＝f(x)在点P(x0,f（x0）)处的切线的斜率，切线PT的方程是y－f（x0）＝f′（x0）(x－x0）.类型一求瞬时速度、瞬时加速度例1已知质点M的运动速度与运动时间的关系为v＝3t2＋2（速度单位：cm/s，时间单位：s）．(1)当t＝2,Δt＝0。01时,求eq\f(Δv,Δt)；(2）求质点M在t＝2时的瞬时加速度．反思与感悟（1)求瞬时速度的关键在于正确表示“位移的增量与时间增量的比值”,求瞬时加速度的关键在于正确表示“速度的增量与时间增量的比值”，注意二者的区别．(2)求瞬时加速度：①求平均加速度eq\f（Δv，Δt)；②令Δt→0，求出瞬时加速度．跟踪训练1质点M按运动方程s(t)＝at2＋1做直线运动(位移单位：m,时间单位：s），若质点M在t＝2s时的瞬时速度为8m/s，求常数a的值．类型二求曲线在某点处的切线方程例2已知曲线C：y＝eq\f（1，3）x3＋eq\f(4,3)。（1)求曲线C在横坐标为2的点处的切线方程；（2）第（1)小题中的切线与曲线C是否还有其他公共点?反思与感悟（1）根据导数的几何意义知函数y＝f(x)在点x0处的导数就是曲线在该点处切线的斜率，再由直线方程的点斜式便可求出曲线在该点处的切线方程．注意若在点（x0，y0)处切线的倾斜角为eq\f(π，2)，此时所求的切线平行于y轴，所以直线的切线方程为x＝x0.(2）曲线的切线与曲线的交点可能不止一个．跟踪训练2曲线y＝x3＋11在点P（1，12）处的切线与y轴交点的纵坐标是________．类型三求切点的坐标例3已知抛物线y＝2x2＋1分别满足下列条件，求出切点的坐标．(1)切线的倾斜角为45°；(2）切线平行于直线4x－y－2＝0；(3）切线垂直于直线x＋8y－3＝0.反思与感悟根据切线斜率求切点坐标的步骤：（1）设切点坐标（x0，y0）；(2)求导函数f′(x)；(3）求切线的斜率f′(x0)；（4)由斜率间的关系列出关于x0的方程,解方程求x0；(5)点(x0，y0）在曲线f（x)上，将x0代入求y0得切点坐标．跟踪训练3已知直线l：y＝4x＋a与曲线C：y＝2x2相切，求a的值及切点坐标．1．若做直线运动的物体的速度（单位：m/s）与时间（单位：s)的关系为v（t)＝t2－2，则在前4s内的平均速度是________m/s，在t＝4s时的瞬时速度是________m/s。2．已知曲线y＝2x2上一点A（1，2）,则A处的切线斜率为________．3．若曲线y＝x2＋ax＋b在点(0,b）处的切线方程是x－y＋1＝0,则a＝________，b＝________.4．如图，函数y＝f（x）的图象在点P处的切线方程是y＝－x＋8，则f(5)＋f′（5）＝________.1．平均变化率和瞬时变化率的关系平均变化率eq\f(Δy,Δx）＝eq\f（fx0＋Δx－fx0,Δx），当Δx趋于0时，它所趋于的一个常数就是函数在x0点的瞬时变化率．即有:Δx趋于0是指自变量间隔Δx越来越小,能达到任意小的间隔，但始终不能为0，即对于瞬时变化率，我们通过减小自变量的改变量以致趋于零的方式，实现用割线斜率“逼近”切线斜率，用平均速度“逼近"瞬时速度．一般地，可以用平均变化率“逼近”瞬时变化率．2．不管是求切线的斜率、瞬时速度和瞬时加速度，还是求实际问题中的瞬时变化率，它们的解题步骤是一样的：(1）计算Δy；(2）求eq\f(Δy，Δx);(3)看Δx→0时，eq\f（Δy，Δx)无限趋近于哪个常数．提醒：完成作业1.1.2(一)

答案精析问题导学知识点一思考1切线与曲线不一定只有一个公共点,如图，曲线C在点P处的切线l与曲线C还有一个公共点Q.思考2曲线上某一点处的切线,其含义是以该点为切点的切线．知识点二思考不是．瞬时加速度刻画的是速度在某一时刻的变化快慢，瞬时加速度为0,并不是速度为0.题型探究例1解eq\f(Δv，Δt)＝eq\f(vt＋Δt－vt,Δt)＝eq\f(3t＋Δt2＋2－3t2＋2,Δt)＝6t＋3Δt.（1)当t＝2，Δt＝0.01时，eq\f（Δv，Δt）＝6×2＋3×0.01＝12.03（cm/s2）．（2）当Δt无限趋近于0时，6t＋3Δt无限趋近于6t，则质点M在t＝2时的瞬时加速度为12cm/s2。跟踪训练1解质点M在t＝2时的瞬时速度即为函数在t＝2处的瞬时变化率．∵质点M在t＝2附近的平均变化率eq\f（Δs，Δt)＝eq\f(s2＋Δt－s2,Δt）＝eq\f(a2＋Δt2－4a，Δt)＝4a＋aΔt，从而当Δt→0时，4a＋aΔt→4a，∴4a＝8，即a＝2。例2解(1）eq\f（Δy,Δx)＝eq\f（［\f(1,3）2＋Δx3＋\f(4,3）］－\f(1，3）×23＋\f（4,3），Δx）＝4＋2Δx＋eq\f(Δx2，3），当Δx→0时，eq\f(Δy，Δx)→4。∴曲线C在横坐标为2的点处切线的斜率为4,又切点的纵坐标为y＝eq\f（1，3）×23＋eq\f(4,3)＝4，∴所求切线方程为y－4＝4（x－2），即4x－y－4＝0.（2)由题意得：eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(4x－y－4＝0，,y＝\f(1,3)x3＋\f（4,3)，))得：x3－12x＋16＝0。可化为（x－2)2（x＋4）＝0，可得x＝2或x＝－4，当x＝－4时，y＝－20。故切线与曲线C还有一个公共点(－4，－20）．跟踪训练29例3解设切点坐标为（x0，y0）,则Δy＝2(x0＋Δx）2＋1－2xeq\o\al(2,0)－1＝4x0·Δx＋2（Δx)2，∴eq\f(Δy，Δx)＝4x0＋2Δx,当Δx→0时,eq\f(Δy,Δx）→4x0，即f′(x0)＝4x0.（1)∵抛物线的切线的倾斜角为45°，∴斜率为tan45°＝1，即f′（x0)＝4x0＝1，解得x0＝eq\f(1,4)，∴切点坐标为(eq\f(1，4)，eq\f(9，8））．（2）∵抛物线的切线平行于直线4x－y－2＝0，∴k＝4，即f′（x0）＝4x0＝4,解得x0＝1,∴切点坐标为(1，3）．(3)∵抛物线的切线与直线x＋8y－3＝0垂直,∴k·(－eq\f(1,8))＝－1，即k＝8，∴f′（x0）＝4x0＝8，解得x0＝2，∴切点坐标为(2，9)．跟踪训练3解设直线l与曲线C相切于点（x0,y0)，∵eq\f（Δy，Δx)＝eq\f(2x0＋Δx2－2x\o\al（2,0）,Δx）＝4x0＋2Δx，当Δx→0时，eq\f（Δy,Δx)→4x0。