2017-2018学年高中数学4-5练习1.4.3几何法、反证法含解析

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精第3课时几何法、反证法课后篇巩固探究A组1.设实数a，b,c满足a+b+c=13,则a,b，c中(A。至多有一个不大于1B。至少有一个不小于1C。至多有两个不小于1D。至少有两个不小于1解析：假设a，b，c都小于19，即a〈19,b〈19,c<19,则a+b+c〈19+19+19=答案:B2。用反证法证明“若关于x的整系数一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0）有有理根,则a，b，c中至少有一个偶数"时，下列假设正确的是（)A。假设a,b,c都是偶数B.假设a,b，c都不是偶数C.假设a,b，c至多有一个偶数D。假设a,b，c至多有两个偶数答案：B3.设a，b,c均为正数，P=a+b—c,Q=b+c-a，R=c+a-b,则“PQR>0"是“P,Q,R同时大于零"的条件.

解析：必要性是显然成立的;当PQR〉0时，若P,Q,R不同时大于零，则其中两个为负，一个为正，不妨设P〉0，Q<0,R〈0，则Q+R=2c〈0，这与c〉0矛盾，即充分性也成立。答案：充要4。设a,b是两个实数,给出下列条件：①a+b>1；②a+b=2；③a+b>2；④a2+b2>2;⑤ab>1，其中能推出“a，b中至少有一个大于1”的条件是。(填序号）

解析:①a+b>1,可取a=0.5，b=0.6，故不正确;②a+b=2，可取a=1，b=1，故不正确;③a+b〉2，则a,b中至少有一个大于1，正确;④a2+b2〉2,可取a=-2，b=-1,故不正确；⑤ab〉1，可取a=—2，b=-1，故不正确。答案:③5.若a3+b3=2，求证：a+b≤2.证法一假设a+b>2，而a2-ab+b2=a-12b但取等号的条件为a=b=0，显然不成立.∴a2—ab+b2〉0，∴a3+b3=（a+b）(a2—ab+b2）>2(a2—ab+b2)。又a3+b3=2，∴a2-ab+b2<1。∴1+ab>a2+b2≥2ab，∴ab<1，∴a2+b2<1+ab〈2。∴（a+b）2=a2+b2+2ab〈2+2ab<4.∴a+b〈2，这与假设矛盾.∴a+b≤2。证法二假设a+b〉2，则a〉2—b。故2=a3+b3〉（2-b）3+b3。即2>8—12b+6b2，即(b-1)2〈0.这与(b—1)2≥0矛盾。∴a+b≤2。6。已知x>0，y〉0，且x+y〉2，试证：1+xy证明假设1+x1+xy≥2，且1+因为x〉0，y〉0，所以1+x≥2y,且1+y≥2x。把这两个不等式相加,得2+x+y≥2（x+y），从而x+y≤2，这与已知条件x+y>2矛盾。因此,1+xy7。设a,b∈R,0≤x≤1，0≤y≤1，求证:对于任意实数a,b必存在满足条件的x，y,使｜xy-ax—by｜≥13成立证明假设对一切0≤x≤1,0≤y≤1，结论不成立，则有|xy-ax-by｜〈13令x=0,y=1,有｜b|<13令x=1，y=0，有|a|〈13令x=y=1,得｜1-a-b|<13这与｜1-a—b｜≥1—|a｜-｜b|>1—13故假设不成立,原命题结论正确.B组1。用反证法证明命题:“若a，b∈N，ab能被3整除，则a,b中至少有一个能被3整除”时，假设应为(）A。a,b都能被3整除B。a，b都不能被3整除C。a,b不都能被3整除D.a不能被3整除解析:反证法证明命题时,应假设命题的反面成立.“a,b中至少有一个能被3整除”的反面是“a，b都不能被3整除”,故应假设a,b都不能被3整除，故选B。答案:B2。若△A1B1C1的三个内角的余弦值分别为△A2B2C2的三个内角的正弦值，则△A1B1C1一定是锐角三角形,△A2B2C2一定是（）A。锐角三角形B.直角三角形C。钝角三角形D。不能确定解析：因为三角形内角的正弦值均为正值,所以△A1B1C1的三个内角的余弦值均为正值,所以△A1B1C1为锐角三角形。由于sinA2=cosA1=sinπ2sinB2=cosB1=sinπ2sinC2=cosC1=sinπ2若△A2B2C2是锐角三角形，则A2+B2+C2=π2故△A2B2C2是钝角三角形。答案:C3.完成反证法证题的全过程。设a1，a2，…，a7是1,2,…,7的一个排列，求证：乘积p=(a1—1)（a2—2)…（a7—7)为偶数。证明：假设p为奇数,则a1-1，a2-2，…，a7-7均为奇数。因为奇数个奇数之和为奇数，所以奇数==。

但0≠奇数，这一矛盾说明p为偶数.解析:由题意，（a1-1)+(a2-2)+(a3-3）+…+(a7—7)=(a1+a2+…+a7)—（1+2+…+7).答案:（a1-1)+（a2—2）+…+(a7-7）(a1+a2+…+a7）—(1+2+…+7)4.某同学准备用反证法证明如下一个问题：函数f（x）在[0,1]上有意义,且f（0)=f(1），如果对于不同的x1，x2∈[0，1]，都有|f(x1）—f（x2）｜<|x1-x2|,求证：｜f(x1)-f（x2)｜〈12,那么它的假设应该是答案：|f(x1）—f（x2）|≥15。导学号35664023已知f(x）=1+x2,a≠b，且ab〉0，求证：｜f（a)—f（b）分析利用f（x)=1+x2证明f（a)=1+a2表示平面上点A(1，a）到点O(0，0)的距离，f（b）=1+b2表示平面上点B(1，b）到点O(0，0）的距离.而｜a-b｜表示A(1,a）与B∵a≠b，∴A,O,B三点组成一个三角形,由三角形两边之差的绝对值小于第三边可得|f（a）-f（b)｜〈|a—b｜.6。导学号35664024已知△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，面积为S.求证:（1)a2+b2+c2≥43S；（2）tanA2tanB2，tanB2tanC2，tanC2证明（1)要证明a2+b2+c2≥43S，只需证明a2+b2+a2+b2-2abcosC≥23absinC，只需证明a2+b2≥2absinC+只需证明a2+b2≥2ab，只需证明(a—b)2≥0,显然成立，故a2+b2+c2≥43S.（2）假设tanA2tanB2，tanB2tanC2，tanC2则tanA2tanB2+tanB2tanC2+tanC2tanA又tanA2tanB2+tanB2tanC2+=tanB2tanA2+t