2017-2018版高中数学第1章导数及其应用1.2.1常见函数的导数学案版2-2

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精PAGE13学必求其心得，业必贵于专精PAGE1．2.1常见函数的导数学习目标1.能利用导数定义，求几个常见函数的导数，领悟求导数算法的基本思想.2.牢记常见函数的导数公式，并能应用公式求基本初等函数的导数.3.掌握函数y＝ax(a＞0，a≠1）与y＝logax(a＞0,a≠1）的求导公式及应用．知识点一幂函数与一次函数的导数思考1由导数的几何意义能否确定y＝kx＋b(k≠0）的导数．思考2根据x′＝1，（x2）′＝2x，(x－1）′＝－x－2以及（xeq\f(1,2))′＝eq\f（1,2）x－eq\f(1，2)能归纳出幂函数f(x）＝xn的导数公式吗?1．(kx＋b）′＝k（k，b为常数），特别地,C′＝0(C为常数）．2．(xα）′＝αxα－1.知识点二基本初等函数的求导公式思考1计算过程（coseq\f（π，6)）′＝－sineq\f（π，6）＝－eq\f（1,2）正确吗？思考2如何利用（lnx）′推出（logax）′？原函数导函数f（x）＝sinxf′（x）＝______f(x)＝cosxf′(x)＝______f（x）＝ax(a＞0,且a≠1）f′（x)＝______f（x)＝exf′(x)＝exf（x）＝logax（a＞0，且a≠1)f（x）＝eq\f(1,xlna）f（x）＝lnxf′(x)＝eq\f(1,x）类型一基本初等函数求导公式的应用例1求下列函数的导数：（1)y＝eq\r（5，x2）；(2)y＝sin（x＋eq\f（π，2））；（3）y＝2sineq\f（x，2)coseq\f（x，2);(4)y＝logx2－logx.反思与感悟(1）基本初等函数的求导公式是解决求函数导数问题的基本工具，适当变形，恰当选择公式，准确套用公式是解决此类问题的关键．(2）不能直接求导的函数，应先对原函数变形化简,然后再求导运算．跟踪训练1求下列函数的导函数：（1)y＝xeq\r(x)；(2）y＝2－x;(3）y＝cos2eq\f（x，2)－sin2eq\f（x，2)。类型二利用导数公式解决切线有关问题例2(1)已知P，Q为抛物线y＝eq\f(1,2）x2上两点，点P，Q横坐标分别为4，－2，过P，Q分别作抛物线的切线，两切线交于点A，则点A的坐标为________．(2）已知两条曲线y＝sinx，y＝cosx，是否存在这两条曲线的一个公共点，使在这一点处两条曲线的切线互相垂直？并说明理由．反思与感悟(1）利用导数的几何意义解决切线问题的两种情况：①若已知点是切点，则在该点处的切线斜率就是该点处的导数．②若已知点不是切点，则应先设出切点,再借助两点连线的斜率公式进行求解．（2）求过点P与曲线相切的直线方程的三个步骤：跟踪训练2已知函数y＝kx是曲线y＝lnx的一条切线,则k＝________.类型三利用导数公式求最值问题例3求抛物线y＝x2上的点到直线x－y－2＝0的最短距离．反思与感悟利用基本初等函数的求导公式，可求其图象在某一点P(x0,y0)处的切线方程，可以解决一些与距离、面积相关的几何的最值问题，一般都与函数图象的切线有关．解题时可先利用图象分析取最值时的位置情况，再利用导数的几何意义准确计算．跟踪训练3已知直线l：2x－y＋4＝0与抛物线y＝x2相交于A、B两点，O是坐标原点，试求与直线l平行的抛物线的切线方程,并在弧上求一点P，使△ABP的面积最大．1．下列结论:(1)若y＝cosx，则y′＝－sinx；（2)若y＝eq\r(x)，则y′＝eq\f(\r（x)，2)；(3)若f（x)＝eq\f(1,x2)，则f′（3）＝－eq\f(2,27）；（4)若y＝ex，则y′＝y。其中正确的结论有________个．2．已知函数f（x)＝eq\r(x)，则f′(3）＝________.3．设正弦曲线y＝sinx上一点P，以点P为切点的切线为直线l,则直线l的倾斜角的范围是________．4．曲线y＝ex在点(2,e2)处的切线与坐标轴所围三角形的面积为________．1．利用常见函数的导数公式可以比较简捷地求出函数的导数,其关键是牢记和运用好导数公式．解题时，能认真观察函数的结构特征，积极地进行联想化归．2．有些函数可先化简再应用公式求导．如求y＝1－2sin2eq\f（x，2）的导数．因为y＝1－2sin2eq\f（x,2）＝cosx，所以y′＝(cosx）′＝－sinx.3．对于正弦、余弦函数的导数,一是注意函数名称的变化，二是注意函数符号的变化．提醒：完成作业1.2。1

答案精析问题导学知识点一思考1由导数的几何意义可得:y′＝(kx＋b）′＝k.思考2f′（x）＝（xn)′＝nxn－1.知识点二思考1不正确．因为coseq\f（π,6)＝eq\f（\r(3)，2）为常数,其导数为0。思考2（logax)′＝（eq\f（lnx,lna))′＝eq\f(1，lna)(lnx）′＝eq\f（1，lna)·eq\f（1，x）＝eq\f（1,x·lna）.cosx－sinxaxlna题型探究例1解（1）y′＝(eq\r（5,x2)）′＝（x)′＝eq\f（2，5)x－1＝eq\f(2，5)x.（2)∵y＝sin（x＋eq\f（π，2））＝cosx，∴y′＝（cosx)′＝－sinx.（3）∵y＝2sineq\f（x，2)coseq\f（x,2）＝sinx，∴y′＝（sinx）′＝cosx。（4）∵y＝logx2－logx＝logx，∴y′＝（logx）′＝eq\f(1，xln\f（1，2)）＝－eq\f（1，xln2)。跟踪训练1解(1)y′＝（xeq\r(x）)′＝（x）′＝eq\f(3，2）x.(2）∵y＝2－x＝（eq\f（1,2))x，∴y′＝[(eq\f（1，2）)x]′＝(eq\f(1，2))x·lneq\f（1，2)＝－(eq\f（1,2))xln2.（3）∵y＝cos2eq\f（x,2)－sin2eq\f(x，2）＝cosx，∴y′＝（cosx）′＝－sinx.例2(1）（1,－4)（2)解设存在一个公共点(x0，y0)使两曲线的切线垂直，则在点（x0，y0)处的切线斜率分别为k1＝cosx0，k2＝－sinx0，要使两切线垂直，必须k1k2＝cosx0(－sinx0)＝－1，即sin2x0＝2，这是不可能的．∴两条曲线不存在公共点,使在这一点处的两条切线互相垂直．跟踪训练2eq\f(1,e)例3解设切点坐标为（x0，xeq\o\al（2,0）),依题意知与直线x－y－2＝0平行的抛物线y＝x2的切线的切点到直线x－y－2＝0的距离最短．∵y′＝（x2）′＝2x，∴2x0＝1，∴x0＝eq\f(1,2），∴切点坐标为(eq\f（1，2)，eq\f(1,4)），∴所求的最短距离d＝eq\f（\b\lc\|\rc\｜（\a\vs4\al\co1(\f（1,2)－\f(1,4)－2）)，\r（2)）＝eq\f(7\r(2），8)。跟踪训练3解设P（x0，y0）为切点，过点P与AB平行的直线斜率k＝y′＝2x0,∴k＝2x0＝2，∴x0＝1，y0＝1.故可得P(1,1）,∴切线方程为2x－y－1＝0.由于直线l:2x－y＋4＝0与抛物线y＝x2相交于A、B两点,∴｜AB|为定值,要使△ABP的面积最大，只要P到AB的距离最大，故P（1，1）点即为所求弧eq\x\to（AOB)上的