乘法公式-完全平方公式【知识素养提升+备课精讲精研】 七年级数学下册 教学课件（浙教版）

全平方公式授

课

人

：完01.了解并掌握完全平方公式.02.会推导完全平方公式，知道推导完全平方公式的理论依据.03.应用完全平方公式进行计算.目标复习回顾任取两个多项式相乘能列出哪些算式？x+yx-y2x+yx-yx+y其它算式用什么方法计算？你能最快算出哪个算式？以上算式具有什么样的特征？(x+y)(x-y)=x2-y2平方差公式多项式的乘法法则(x+y)(x+y)(x-y)(x-y)

猜想：(a+b)2=a2+2ab+b2；(a-b)2=a2-2ab+b2.探究新知(1)用多项式乘法证明：(a-b)2=(a-b)(a-b)(a+b)2=a2-ab-ab+b2=a2-2ab+b2=(a+b)(a+b)=a2+ab+ab+b2=a2+2ab+b2将(ɑ-b)2看成[ɑ+(-b)]2=ɑ2+2ɑ(-b)+(-b)2

[ɑ+(-b)]2转化思想(2)借助几何图形证明：如图，边长为(a+b)的正方形的面积是(a+b)2

.它的面积还可以视为两个小正方形和两个小长方形面积的和，所以(a+b)2=a2+2ab+b2baaba2ababb2即a2+ab+ab+b2=a2+2ab+b2

.它的面积还可以视为大正方形的面积减去两个小长方形面积的差，如图，边长为(a-b)的正方形的面积是(a-b)2

.所以(a-b)2=a2-2ab+b2.(a-b)2(a-b2)a-bbba-bababb2=a2-ab-ab+b2

=a2-2ab+b2即总结归纳两数和(或差)的平方，等于它们的平方和，加(或减)它们的积的2倍。

(ɑ+b)2=ɑ2+2ɑb+b2

(ɑ-b)2=ɑ2

-2ɑb+b2公式结构特征：

记忆口诀：“首平方，尾平方，积的2倍放中央，符号看前方”1.左边是二项式的平方，右边是二次三项式；3.公式中的字母ɑ，b可以表示单项式，多项式.2.右边是两项的平方和与这两项积的2倍；强化练习两数和（或差）的平方与公式中a对应的项与公式中b对应的项写成a2±2ab+b2的形式计算结果2xmab3c例1

运用完全平方公式计算：（1）=(4m)2+2•(4m)•n+n2(a+b)2=a2+2ab+b2典例精讲(1)(ɑ+b)2与(-ɑ-b)2相等吗?(2)(ɑ-b)2与(b-ɑ)2相等吗?==想一想(ɑ+b)2=(-ɑ-b)2(ɑ-b)2=(b-ɑ)2总结简化运算例2

运用完全平方公式计算：解：512=(50+1)2=2500+100+1=2601=502+2×50×1+12

（1）

（2）

512982解：982=9604=(100–2)2=1002-2×100×2+22=10000-400+4例3

妙用完全平方公式解决问题：

已知

x+y=5，xy＝－6，求:(1)x2＋y2的值;(2)(x-y)2的值．【规范解答】依题意得：(1)∵x+y=5，xy＝－6.∴(x+y)2＝25.∴(x+y)2＝x2+2xy+y2＝x2+y2－12＝25∴x2＋y2=37.(2)解：由（1）知

x2＋y2=37，∴(x-y)2=x2-2xy+y2=37-2×(-6)=49

总结归纳(2x+5y-3)(2x-5y+3)(a+b

-c)2解:(1)(2x+5y-3)(2x-5y+3)=[2x+(5y–3)][2x-(5y-3)]=4x2-(5y-3)2=4x2-(25y2-30y+9)=4x2-25y2+30y-9.(a+b-c)2=[(a+b)-c]2=(a+b)2-2(a+b)c+c2=a2+2ab+b2-2ac-2bc+c2=a2+b2+c2+2ab-2bc-2ac.例4

运用完全平方公式计算：遇“加”不变，遇“减”都变例5

若式子x2+(m+7)x+25是完全平方式，则m的值是______．解：∵式子x2+(m+7)x+25是完全平方式，∴x2+(m+7)x+25=x2±10x+25=（x±5)2,∴m+7=±10，解得m=3或m=-17,3或-17随堂演练1.计算：已知边长分别为a、b的长方形的周长为10，面积4，则ab2+a2b的值为（）

A．10

B．20

C．40

D．80B解：由边长分别为a、b的长方形的周长为10，面积4，则2（a+b）=10，ab=4，则a+b=5，故ab2+a2b=ab（b+a）=4×5=20.故选B.解：(1)

(2a+b)(2a-b)-(b-2a)2

=4a2-b2-(b2-4ab+4a2)=4a2-b2-

b2+4ab-4a2=4ab-2b2,∵a2+b2-4a-6b+13=0，∴(a2-4a+4)+(b2-6b+9)=0∴(a-2)2+(b-3)2=0∴a=2，b=32.已知

a,b满足a2+b2-4a-6b+13=0,求(2a+b)(2a-b)-(b-2a)2的值.原式=4×2×3-2×32=24-18=63.为了运用平方差公式计算(3x+2y-5)(3x-2y+5)，以下变形正确的是(）A.[3x-(2y+5)]2B.[3x+(2y-5)][3x-(2y-5)]C.[(3x-2y)+5][(3x-2y)-5]D.[3x+(2y-5)]2B4.图1是一个长为2a，宽为2b(a＞b)的长方形，用剪刀沿图中虚线（对称轴）剪开，把它分成四块形状和大小都一样的小长方形，然后按图2那样拼成一个正方形，则中间空余的部分的面积是()A.abB.(a+b)2C.(a-b)2D.a2-b2图1图2ab4ab(a+b)2C(a+b)2-4ab=a2+2ab+b2-4ab=(a-b)25.若(3x-a)2=9x2-bx+16，则a+b的值为（）

A.28B.-28C.24或-24D.28或-28D解：因为(3x-a)2=9x2-6ax+a2，所以9x2-6ax+a2=9x2-bx+16.则a2=16，6a=b,解得a=±4.当a=4时，b=24；当a=-4时，b=-24.所以a+b=28或-28.

47拓展提升

53．已知x满足（x﹣2020）2+（2022﹣x）2＝10，则（x﹣2021）2的值是

．【详解】解：∵（x﹣2020）2+（x﹣2022）2＝10∴[（x﹣2021）+1]2+[（x﹣2021）﹣1]2＝10，∴（x﹣2021）2+2（x﹣2021）+1+（x﹣2021）2﹣2（x﹣2021）+1＝10，∴2（x﹣2021）2+2＝10，∴（x﹣2021）2＝4．4

【详解】解：∵ax·ay=a5，(ay)x=a4，∴x+y=5，xy=4,∴x2+y2=(x+y)2-2xy=52-2×4=175417本题主要考查了同底数幂的乘法运算法则，幂的乘方运算法则，完全平方公式5．图1是一个长为2a、宽为2b的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四块小长方形，然后按图2的形状拼成一个正方形．(1)观察图2，请你写出下列三个代数式(a+b)2，(a-b)2，ab

之间的等量关系为

．(2)运用公式，计算：若m、n为实数，且mn=-3，m-n=4，试求(m+n)2的值．(3)如图3，点C是线段AB上的一点，以AC、BC为边向两边作正方形，设AB=8，两正方形的面积和S1+S2=38，求图中阴影部分面积．（1）利用等面积法，大正方形面积等于阴影小正方形面积加上四个长方形面积，得到关系式；由图形面积得(a+b)2=(a-b)2+4ab，（2）由（1）题所得(a+b)2=(a-b)2+4ab，∴

(m+n)2=(m-n)2+4mn，∴当mn=-3，m-n=4时，(m+n)2=42+4×(-3)=4，∴m+n=2或-2；（3）设AC=m，BC=n，则m+