陕西西安高二参考答案

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山西省西安市202292022学年度第一学期期末考试

高二数学（理科）试题

一、选择题：（本大题共212小题，每题55分，共060分）

1.C

由抛物线的性质，写出它的准线方程即可．由于抛物线220xpyp的准线方程为2py，故抛物线2824xyy的准线方程是2y，故答案为C.此题测验了抛物线的准线方程，属于根基题．2.C

先根据题意，设出与a共线的单位向量可为(,,0)aa，再利用单位向量的模长为1，求得a的值即可得出答案.由于向量a=（1，1，0）

所以与a共线的单位向量可为(,,0)aa且2201aa

解得22a

所以可得与a共线的单位向量为22(,,0)22或22(,,0)22

应选C此题主要测验了向量共线的单位向量，属于根基题.3.D

结合向量的性质，对选项逐个分析即可选出答案．对于选项A，,,,ABCD四点可能共线，故A不正确；对于选项B，若b是零向量，

那么//ac不确定成立，故B错误；对于选项C，若ab、方向不同，那么ab，故C错误；对于D，零向量与任何向量都共线，正确．故答案为D.此题测验了零向量、平行向量、相等向量、单位向量等学识，测验了学生对根基学识的掌管处境．4.B

结合命题相关学识，对选项逐个分析即可得到答案．对于①，,pq可能为一真一假也可能两个都为假，故①错误；对于②，命题"若ab，那么221ab'的否命题为"若ab，那么221ab'，故②错误；对于③，"xR，211x'的否决是"xR，211x'，正确．故只有③正确，答案为B.此题测验了复合命题的性质，测验了命题的否决、原命题的否命题，属于根基题．5.A

根据椭圆的两个焦点与短轴的一个端点构成一个正三角形，得出2ca，然后求得离心率12cea即可.由题意，椭圆的两个焦点与短轴的一个端点构成一个正三角形，即2ca

所以离心率12cea

应选A此题主要测验了椭圆的简朴性质，熟谙性质是解题的关键，属于根基题.6.A

当1a时，22cossin=cos2yaxaxx，所以周期为2==2T，当22cossin=cos2axyaxax

的最小正周期为时，2a，所以1a，因此"1a'是"22cossinyaxax的最小正周期为'的充分不必要条件.应选A.7.D

根据椭圆标准方程可得101011kkkk，解不等式组可得结果.

曲线22111xykk表示椭圆，101011kkkk，解得11k，且0k，k的取值范围是10k或01k，应选D．此题主要测验椭圆的标准方程以及不等式的解法，意在测验对根基学识掌管的纯熟程度，属于简朴题.8.A

利用0aMP，结合选项可得到答案．由题意，aMP，那么0aMP，若2,3,3P，那么1,4,1MP，2420aMP，故A得志题意；若2,0,1P，那么3,1,1MP，6129aMP，故B不得志题意；若4,4,0P，那么5,5,2MP，105419aMP，故C不得志题意；若3,3,4P，那么2,2,2MP，42410aMP，故D不得志题意．应选A.此题测验了空间向量的坐标表示，测验了平面的法向量的性质，测验了计算才能，属

于根基题．9.B

由题意可得2,1cb,,故3a.设(,)Pmn,那么221,33mnm.222224(,)(2,)2212133mOPFPmnmnmmnmmmm关于34m对称,故OPFP在[3,)上是增函数,当3m时有最小值为323,无最大值,故OPFP的取值范围为[323,),应选B.10.D

由题意可知，动圆圆心到定点2,0的距离等于到直线20x的距离，可知其轨迹为抛物线，求出方程即可．设动圆圆心为O，半径为r，圆2221xy的圆心为2,0F,那么1OFr，由于O到直线10x的距离为r，所以O到直线20x的距离为1r，那么动点O到定点2,0的距离等于到直线20x的距离，故动点O的轨迹为抛物线，焦点为2,0F，准线为2x，轨迹方程为28yx.故答案为D.此题测验了抛物线的定义，测验了抛物线的轨迹方程，属于根基题．11.B

先根据题意，易知111ACABBCCCABBCCC，再分别求得,,xyz的值，然后求得答案即可.在平行六面体中，111ACABBCCCABBCCC

所以1,21,31xyz解得111,,23xyz

所以76xyz

应选B此题主要测验了向量的线性运算，属于较为根基题.12.A

方程20mxny即2myxn，表示抛物线，方程221(0)mxnymn表示椭圆或双曲线，当m和n同号时，抛物线开口向左，方程221(0)mxnymn表示焦点在y轴的椭圆，无符合条件的选项；当m和n异号时，抛物线2myxn开口向右，方程221(0)mxnymn表示双曲线，此题选择A选项.二、填空题：（本大题共44小题，每题55分，共020分）

13.10

设抛物线焦点为F，利用抛物线的焦半径可知，12ABAFBFxxp，求解即可．抛物线24yx，2p，设抛物线焦点为F，那么1210ABAFBFxxp.此题测验了抛物线的弦长，测验了焦半径学识，测验了学生的计算求解才能，属于根基题．14.

22

先求出ab，bc，ac，然后利用2222abcabc，开展计算即可．

由题意，111cos32ab，11cos02bc，11cos02ac，那么222222224421412008abcabcabcabbcac，那么222abc.此题测验了向量的数量积，向量的平方等于模的平方，测验了计算才能，属于根基题．15.x＋2y－8＝0

设直线l与椭圆相交于1122(,),(,)AxyBxy，代入椭圆方程相减得到121212yykxx，计算直线方程得到答案.设直线l与椭圆相交于1122(,),(,)AxyBxy．那么22111369xy且22221369xy，两式相减得121212120369xxxxyyyy

128xx，124yy，所以121212yykxx故直线l的方程为1242()yx，即x＋2y－8＝0.故答案为：x＋2y－8＝0.此题测验了点差法计算直线方程，意在测验学生对于点差法的生动运用.16.55

由题意，过点M作CD的垂线，垂足为F，可证明MF平面ABCD，设点N到平面MBD的距离为h，那么MBDNNBDMVV，即1133BDNBDMSMFSh,求解即可．由题意，BCCD，侧面PCD底面ABCD，故BC侧面PCD，那么BCMC，又由于M为棱PC的中点，所以225MBBCMC，222BDBC，由于2PCPDCD，所以PCD为正三角形，分别过点MP、作CD的垂线，垂足为FE、，那么113322222MFPE，3232MD，

由于222MDMBBD，所以MBMD，由于N为棱AD的中点，所以12112BDNS，设点N到平面MBD的距离为h，那么MBDNNBDMVV，即1133BDNBDMSMFSh,那么315215532BDNBDMSMFhS.故点N到平面MBD的距离为55.

此题测验了空间几何中点到平面的距离的求法，利用等体积法是解决此类问题的常见的方法，属于中档题．三、解答题：（本大题共66小题，共070分）

17.（1）焦点坐标F1(－5,0)，F2(5,0)，离心率e＝53，渐近线方程为y＝43x.（2）F1PF2＝90.

（1）将双曲线方程化为标准方程，即可求出ab、，从而可求出双曲线的实轴长和渐近线方程；（2）由双曲线的性质可得126PFPF，结合余弦定理2221212124cos2PFPFcFPFPFPF，即可求出12FPF.（1）将双曲线方程化为标准方程221916xy，那么3,4ab，长轴长为6，渐近线方程是43yx.（2）225cab，

126PFPF且1232PFPF,那么22222121212121212244cos22PFPFPFPFcPFPFcFPFPFPFPFPF,由于2212122436641000PFPFPFPFc，所以12cos0FPF，故1290FPF.此题测验了双曲线的方程，双曲线的长轴及渐近线等根基学识，测验了双曲线中焦点三角形，属于根基题．18.（1）证明见解析；（2）

60.

分析】

（1）由题意可知1AAAB，ABAC，1ACAA，设1ACABAAa,建立如下图的空间直角坐标系，分别表示出AE与1CB，计算得10AECB，可知1AEBC；（2）表示出1AC，利用111cosAEACAEACAEAC，即可求出异面直线AE与1AC所成的角的大小．（1）证明：由题意易知1AAAB，ABAC，1ACAA，设1ACABAAa,建立如下图空间直角坐标系，那么0,0,0A，,0,0Ba,0,,0Ca,10,0,Aa,,,022aaE,1,0,Baa,那么,,022aaAE，1,,CBaaa

1,,0,,022aaAECBaaa，故1AEBC.（2）

10,,ACaa，

12222,,00,,122cos20022aaaaAEACaaaa，故异面直线AE与1AC所成的角为60.

此题测验三棱柱的性质，测验了直线与直线垂直的证明方法，测验了异面直线的夹角，属于根基题．19.（1）证明见解析；（2）13

分别以1,,DADCDD所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，那么2,0,0A,12,0,2A,1,2,0E,0,0,0D,12,2,2B，（1）求出CF和平面1ADE的法向量n，经计算可知0CFn，从而可知//CF平面1ADE；（2）由题意可知0,2,0DC是面1ADA的法向量，那么cosnDCnDCnDC，计算可得到答案．分别以1,,DADCDD所在直线x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，那么2,0,0A,12,0,2A,1,2,0E,0,0,0D,12,2,2B，0,2,0C，0,0,1F，那么12,0,2,1,2,0DADE,0,2,1CF，（1）设平面1ADE的法向量是,,nabc，

那么122020nDAacnDEab，取2,1,2n，0,2,12,1,20CFn，所以//CF平面1ADE.（2）

0,2,0DC是平面1ADA的法向量，22222,1,20,2,01cos3212020nDC,即平面1ADE与平面1ADA夹角的余弦值为13.

此题测验了正方体的性质，测验了线面平行的证明方法，测验了二面角的求法，属于根基题．20.（1）24xy；（2）存在.

（1）由抛物线性质可知2PpPFy，计算可求出2p，即可得到抛物线方程；（2）设0,Pb为符合题意的点，设11,Mxy，22,Nxy，设直线,PMPN的斜率分别为12,kk,将1ykx代入抛物线C的方程可得关于k的一元二次方程，结合斜率表达式及根与系数关系可得10PMPNkkkb,从而可求出1b，即可说明存在P点．（1）2PpPFy

322p即2p，故抛物线的方程为24xy.

（2）设0,Pb为符合题意的点，设11,Mxy，22,Nxy，设直线,PMPN的斜率分别为12,kk,将1ykx代入抛物线C的方程得2440xkx，故12124,4xxkxx,1212121211PMPNybybkxbkxbkkxxxx1212122184114kxxbxxkkbkbxx,当1b时，有0PMPNkk.故存在点0,1P，使得当k变动时，总有0PMPNkk.此题测验了抛物线的性质，测验了抛物线方程的求法，测验了直线的斜率，测验了学生分析问题、解决问题的才能，属于中档题．21.（1）证明见解析；（2）36.

（1）如图建立空间直角坐标系，设ABa，那么2,0,0,2,,0,0,,0,0,0,2ABaCaP，分别表示出EFAB、、AP，经计算可知0EFAB，0EFAP，可知EFAB且EFAP，那么EF平面PAB，从而可证明平面AEF平面PA