2023年微积分初步形成性考核册题解秋

微积分初步形成性考核作业题解作业（一）————函数,极限和连续一、填空题（每小题2分，共２0分)１．函数的定义域是．答案：提醒：对于，规定分母不能为０,即,也就是；对于,规定，即;所以函数的定义域是2．函数的定义域是.答案：提醒:对于,规定分母不能为0，即,也就是;对于，规定,即;所以函数的定义域是3.函数的定义域是.答案:提醒：对于，规定分母不能为0,即，也就是；对于,规定,即；对于,规定，即且;所以函数的定义域是4.函数,则 ﻩ ﻩﻩ.答案:提醒:由于,所以5．函数,则．答案:提醒：由于当是在区间，应选择进行计算，即６．函数，则.答案:提醒：由于,所以7．函数的间断点是．答案：提醒：若在有下列三种情况之一,则在间断：①在无定义;②在极限不存在;③在处有定义,且存在，但。题中在处无定义8.．答案:１提醒：9．若，则．答案：2提醒:由于,所以１0．若,则．答案:1.５提醒：由于，所以二、单项选择题(每小题2分,共24分)1.设函数,则该函数是(）.A.奇函数Ｂ.偶函数C.非奇非偶函数Ｄ．既奇又偶函数答案:Ｂ提醒:奇函数是指,关于坐标原点对称;偶函数是指，关于轴对称。题中，所以函数是偶函数。２．设函数,则该函数是（)．Ａ．奇函数B.偶函数Ｃ．非奇非偶函数D.既奇又偶函数答案:A提醒:由于,所以是奇函数。３．函数的图形是关于()对称．Ａ.Ｂ.轴C．轴D.坐标原点答案:Ｄ提醒：由于,是奇函数,所以的图形是关于坐标原点对称４．下列函数中为奇函数是(ﻩ无ﻩ）．A.ﻩB．C．Ｄ．提醒：Ａ．,即是偶函数；B.的图形只在一、四象限,既非奇函数，也非偶函数;C．的图形只在一、四象限,既非奇函数,也非偶函数;D．,既非奇函数，也非偶函数。所以本题没有一个待选答案是奇函数5.函数的定义域为( ）.A．Ｂ．C.且D.且答案:D提醒：对于,规定分母不能为0,即;对于,规定,即。所以函数的定义域为且6．函数的定义域是(）.A.B.C.D.答案:D提醒:对于，规定分母不能为0，即;对于,规定,即。所以函数的定义域是7．设，则(）A.B.Ｃ.D.答案：C提醒:注意比少１,所以８．下列各函数对中，(ﻩﻩ）中的两个函数相等.A．, Ｂ．，C.,Ｄ．,答案:D提醒:两个函数相等,必须是相应的规则相同,定义域相同。上述答案中，Ａ定义域不同；B相应的规则不同；C定义域不同;D相应的规则相同，定义域相同9．当时,下列变量中为无穷小量的是(）.A．B.C．D．答案:C提醒:以0为极限的变量称为无穷小量。上述答案中,当时,A趋向∞;Ｂ的极限为1;C的极限为０；D趋向∞。10．当(）时,函数，在处连续．A.0B．1C．D．答案:B提醒：当时,称函数在连续。由于，所以当１时，函数，在处连续11．当(）时,函数在处连续.Ａ．０B．1C．D．答案：Ｄ提醒：当时，称函数在连续。由于，所以当3时,函数，在处连续１2.函数的间断点是（）A. B． C．D．无间断点答案:A提醒：若在有下列三种情况之一,则在间断：①在无定义;②在极限不存在;③在处有定义，且存在，但。题中，分母，所以在和处无定义三、解答题(每小题７分，共５6分)⒈计算极限．解＝=＝＝2.计算极限解3.解4.计算极限解5.计算极限.解6.计算极限．解7．计算极限解8．计算极限.解作业(二)————导数、微分及应用一、填空题（每小题2分，共20分）1．曲线在点的斜率是．答案：提醒：若已知曲线方程，则它在任一点处的斜率为。题中,将代入上式，得２．曲线在点的切线方程是.答案:提醒:若已知曲线方程,则它在任一点处的斜率为。若给定曲线上的一点,则通过该点的切线方程为。题中，将代入上式,得,所以通过点(０,1)切线方程为，即３.曲线在点处的切线方程是 ﻩﻩ .答案:提醒:若已知曲线方程，则它在任一点处的斜率为。若给定曲线上的一点,则通过该点的切线方程为。题中，将代入上式，得，所以通过点(0,1）切线方程为，即4．.答案：提醒：根据复合函数求导法则计算。5.若y=ｘ(x–1)(x–2)（x–３)，则(０）=ﻩ ﻩﻩﻩﻩ.答案：提醒：根据有限多个函数的乘积的求导法则（见Ｐ45)，+６．已知，则=.答案:提醒：7.已知，则=．答案:提醒:，8．若,则ﻩ .答案：９.函数的单调增长区间是．答案：10.函数在区间内单调增长,则a应满足ﻩ ．答案:提醒;当时，函数单调增长。题中,，所以函数在区间内单调增长，a应满足。二、单项选择题（每小题２分，共２4分）1.函数在区间是()A．单调增长B．单调减少C．先增后减D．先减后增答案：D提醒:当时,函数单调增长当时，函数单调减少。题中，，令，得驻点。当时，，函数单调减少;当时,，函数单调增长。所以函数在区间是先减后增。2．满足方程的点一定是函数的()．Ａ.极值点B.最值点C.驻点D.间断点答案：C提醒:使的点,成为函数的驻点（Ｐ69定理3.2)3.若，则=（）．A.２Ｂ.1C.-1D.–2答案：C提醒：4．设，则（).A．B．Ｃ．D．答案：B提醒：5．设是可微函数，则（)．A.B.C．Ｄ．答案：d提醒：6.曲线在处切线的斜率是（)．Ａ．B．C.D．答案：C提醒:若已知曲线方程,则它在任一点处的斜率为。,将代入上式得７．若，则()．A．Ｂ.Ｃ.Ｄ．答案:C提醒:8．若，其中是常数，则（).A.B.C.D．答案:C提醒:，9.下列结论中（）不对的.A.在处连续,则一定在处可微.B．在处不连续,则一定在处不可导．C.可导函数的极值点一定发生在其驻点上．D.若在[a,b]内恒有,则在[ａ,ｂ]内函数是单调下降的.答案：Ｃ提醒：极大值也许出现在:①驻点（驻点是的点）；②连续但导数不存在的点。10．若函数f(x)在点x０处可导，则()是错误的．A.函数f(ｘ)在点x0处有定义B．，但C．函数f（x）在点x０处连续D．函数f(x）在点x0处可微答案:B提醒：若函数在点可导，则它在点一定连续（P83定理2.５)。，但即在点不连续。１1．下列函数在指定区间上单调减少的是( )．A.sｉｎxＢ．exＣ．ｘ2ﻩD.３–x答案:B提醒:D是周期函数；B是单调增函数;C是偶函数，先减后增；D是单调减函数12.下列结论对的的有（ ）．A.x0是f(ｘ)的极值点,且(x0)存在，则必有(x0)＝0B．x0是f（x)的极值点，则ｘ０必是ｆ(ｘ)的驻点Ｃ．若(x0)=0,则x０必是f(x)的极值点Ｄ.使不存在的点ｘ0，一定是f(x)的极值点答案:A提醒：A对的;B不对的,由于驻点不一定是极值点；C不对的,(ｘ0)=0就是驻点,驻点不一定是极值点；D不对的,由于极大值也许出现在：①驻点和②连续但导数不存在的点。三、解答题（每小题7分，共56分)⒈设,求.解2.设，求．解3.设,求dy.解4．设，求dy.解5.设，求有ｙ｀解６.设是由方程拟定的隐函数,求.解对方程两边求导，得7.设是由方程拟定的隐函数,求.解对方程两边求导,得８.设ｙ=ｙ(x）是由方程拟定的隐函数,求．解对方程两边求导,得作业（三）———不定积分，极值应用问题一、填空题（每小题２分，共20分)1．若的一个原函数为，则。答案:`（c为任意常数)提醒:参见教材P９0，根据定义４.１，若,则称为的原函数,根据题意，对求导的结果就是，即2．若的一个原函数为，则。答案：提醒:参见教材P9０,根据定义4.1，若，则称为的原函数，根据题意,对求导的结果就是,即，所以3.若，则．答案:提醒：验算：4.若，则．答案:提醒:验算：5.若,则．答案:提醒:６．若,则.答案:提醒：7. ﻩﻩ ﻩ .答案：提醒：是的原函数,对原函数求导就等于被积函数,所以对原函数求微分就等于被积函数的微分8．ﻩﻩ ．答案：提醒：9．若,则.答案:提醒：10.若，则．答案：提醒：二、单项选择题(每小题2分，共16分)１．下列等式成立的是().A.B．C.Ｄ.答案：A提醒:对原函数求导等于被积函数自身2.3．若，则(）．A.B.C．D.答案:Ａ提醒:4．若，则(）.A．B.C.D.答案：A提醒:即对被积函数先求导再积分等于被积函数自身(加不定常数)。５.以下计算对的的是()A.B．C．D．答案：A提醒：6.（)Ａ.B.C.Ｄ.答案:A提醒:运用分部积分法，设，,则，上式中运用了“对被积函数先求导再积分等于被积函数自身(加不定常数)”。7.=（ﻩ).A.B.ﻩC. D．答案：C提醒：所以对原函数求微分就等于被积函数的微分8.假如等式，则(）A．B．C．D．答案:B提醒:，比较上式左右两边,可知三、计算题（每小题7分，共35分)1.解２.解3.解4.解运用分步积分法：设,,则，５．解运用分步积分法：设,，则，四、极值应用题（每小题12分，共２4分）1．设矩形的周长为12０厘米，以矩形的一边为轴旋转一周得一圆柱体。试求矩形的边长为多少时,才干使圆柱体的体积最大。60-x060-x0xxy设矩形的一边边长为ｘ厘米,则另一边边长为（60-x)厘米,边长为x厘米的边绕轴旋转得一圆柱体，其底面积为π（60-ｘ）2,旋转体的体积为令,即其中是极小值点,此时体积为0;是极大值点，也是最大值点,相应的圆柱体最大体积值为2.欲用围墙围成面积为2１6平方米的一成矩形的土地，并在正中用一堵墙将其隔成两块,问这块土地的长和宽选取多大尺寸,才干使所用建筑材料最省？解设土地一边长为，另一边长为，共用材料为于是=３令得唯一驻点(舍去)10分由于本问题存在最小值，且函数的驻点唯一，所以,当土地一边长为,另一边长为18时,所用材料最省.五、证明题（本题5分)函数在(是单调增长的．证只需证明当时，有由于当时,,即有所以,当时,是单调增长的。作业(四)———定积分及应用、微分方程一、填空题（每小题2分,共20分）１．答案：提醒：上式被积函数第一项和是奇函数，在对称积分限下的积分结果为0，第二项数是偶函数，在对称积分限可化为，所以2．答案:提醒：被积函数的第一项和第二项都是奇函数,在对称积分限下的积分结果为0,第三项为是偶函数，在对称积分限下可化为，所以３．已知曲线在任意点处切线的斜率为，且曲线过,则该曲线的方程是。答案:提醒：切线在点(4，5)处的斜率为，根据切线方程，得该切线方程为,即4．若．答案:2提醒：上式被积函数第一项和第二项都是奇函数,在对称积分限下的积分结果为０,第三项为是偶函数,在对称积分限下可化为，所以5.由定积分的几何意义知,=。答案：，它是１／4半径为a的圆的面积。提醒：设，则。当;当。所以，它是１/4半径为a的圆的面积（参见P125(3)）6..答案：0提醒:由于定积分的结果是一个数值（即常数），常数的导数数为0。7.＝.答案:提醒:8.微分方程的特解为.答案:1提醒：将微分方程分离变量得两边积分得,即,所以微分方程的特解为９．微分方程的通解为．答案：提醒：将微分方程分离变量得两边积分得，即，所以微分方程的通特解为１0.微分方程的阶数为.答案:２提醒：微分方程的阶数是微分方程中出现的未知函数的导数的最高阶次。二、单项选择题(每小题2分,共20分）1．在切线斜率为２ｘ的积分曲线族中，通过点(１,4）的曲线为().A.y=x２＋3Ｂ.y=x2+4C．D.答案：Ａ提醒:曲线方程由拟定，将代入得,所以通过点(１,4)的曲线为。２.若＝2，则k＝(）．Ａ．1B．-１C．0答案：A提醒：，所以3．下列定积分中积分值为0的是（）．A.B．C.D．答案:Ａ提醒：由于积分式中的被积函数是奇函数,奇函数在对称积分限下的定积分为0。4.设是连续的奇函数,则定积分(）A．B.C．D.0答案：Ｄ提醒：奇函数在对称积分限下的定积分为0。5.()．A.0B．C．