应用多元分析第四章 多元正态总体

应用多元分析第四章多元正态总体第一页，共一百四十八页，2022年，8月28日第二页，共一百四十八页，2022年，8月28日第三页，共一百四十八页，2022年，8月28日1、单个正态总体均值的置信区间第四页，共一百四十八页，2022年，8月28日第五页，共一百四十八页，2022年，8月28日2、两个正态总体均值之差的置信区间第六页，共一百四十八页，2022年，8月28日第七页，共一百四十八页，2022年，8月28日第八页，共一百四十八页，2022年，8月28日第九页，共一百四十八页，2022年，8月28日二、假设检验

在研究实际问题时,为了对实际问题作出决断,需要作适当的假设,然后根据样本进行判断,作出接受或拒绝假设的选择.H0称为“零假设”或“原假设”.当原假设被拒绝,而准备接受的另一假设称为“备择假设”.记为H1.“零假设”或“原假设”第十页，共一百四十八页，2022年，8月28日第十一页，共一百四十八页，2022年，8月28日第十二页，共一百四十八页，2022年，8月28日两类错误第一类错误第二类错误拒绝域原假设为真,但由于样本点落入拒绝域中,原假设被拒绝.“弃真”原假设不真,但由于样本点落入接受域中,原假设被接受.“取伪”检验规则第十三页，共一百四十八页，2022年，8月28日第一类错误的概率:第二类错误的概率:(1)第十四页，共一百四十八页，2022年，8月28日以样本方差代替总体方差构造统计量第十五页，共一百四十八页，2022年，8月28日第十六页，共一百四十八页，2022年，8月28日2、两个正态总体均值的比较检验检验统计量:两总体方差已知第十七页，共一百四十八页，2022年，8月28日检验规则为:(2)两总体方差未知,但检验统计量:检验规则为:第十八页，共一百四十八页，2022年，8月28日3、检验的p值设U为检验统计量,u为其观察值,称为检验的p值.对于给定的显著性水平α检验规则为:第十九页，共一百四十八页，2022年，8月28日三、假设检验与置信区间的关系例

单个正态总体均值的检验第二十页，共一百四十八页，2022年，8月28日四、多个总体均值的比较检验（方差分析）

今欲检验记第二十一页，共一百四十八页，2022年，8月28日第二十二页，共一百四十八页，2022年，8月28日第二十三页，共一百四十八页，2022年，8月28日计划学时：2学时教学课型：理论课教学目的与要求：掌握单个多元正态总体均值向量的推断原理与方法教学重点：单个多元正态总体均值向量的推断原理与方法教学难点：单个多元正态总体均值向量的推断原理与方法教学方法、手段与媒介：根据教材用多媒体课件课堂讲授教学过程与内容：第二十四页，共一百四十八页，2022年，8月28日§4.2单个总体均值的推断一、均值向量的检验第二十五页，共一百四十八页，2022年，8月28日第二十六页，共一百四十八页，2022年，8月28日第二十七页，共一百四十八页，2022年，8月28日

例4.2.1对某地区农村的6名2周岁男婴的身高、胸围、上半臂围进行测量，得样本数据如表所示。根据以往资料，该地区城市2周岁男婴的这三个指标的均值。欲在多元正态性假定下检验该地区农村男婴是否与城市男婴有相同的均值。解：根据题意，要检验假设

因总体为正态总体，总体协方差矩阵未知，故可用检验。第二十八页，共一百四十八页，2022年，8月28日

经计算得第二十九页，共一百四十八页，2022年，8月28日

编号

身高(cm)

胸围(cm)上半臂围(cm)17860.616.527658.112.539263.214.548159.014.058160.815.568459.514.0表4.2.1某地区农村男婴体格测量数据第三十页，共一百四十八页，2022年，8月28日Datal421;inputx1x2x3@@;cards;7860.616.57658.112.59263.214.58159.014.08160.815.58459.514.0;Proccorrdata=l421nosimplecov;Run;第三十一页，共一百四十八页，2022年，8月28日

prociml;x={7860.616.5,7658.112.5,9263.214.5,8159.014.0,8160.815.5,8459.514.0};E={[6]1};Xbar=t(x)*t(e)/6;A=t(x)*x-6*xbar*t(xbar);s=a/5;mu={90,58,16};T=6*t(xbar-mu)*inv(s)*(xbar-mu);t1=5*29.5;PrintxbarasTt1;第三十二页，共一百四十八页，2022年，8月28日二、置信区间第三十三页，共一百四十八页，2022年，8月28日

三、联合置信区间第三十四页，共一百四十八页，2022年，8月28日第三十五页，共一百四十八页，2022年，8月28日邦弗伦尼(Bonferroni)联合置信区间

其置信度至少为第三十六页，共一百四十八页，2022年，8月28日第三十七页，共一百四十八页，2022年，8月28日

编号12345678甲项成绩6280668475805479乙项成绩7077758787916184

例4.2.2为评估某职业培训中心的教学效果,随机抽取8名受训者,进行甲、乙两个项目的测试,其数据列于表4.2.2.假定服从二元正态分布.求其均值的置信区间.表4.2.2两个项目的测试成绩第三十八页，共一百四十八页，2022年，8月28日

解:由题设知,第三十九页，共一百四十八页，2022年，8月28日第四十页，共一百四十八页，2022年，8月28日

proc

iml;X={62

80

66

84

75

80

54

79,

70

77

75

87

87

91

61

84};Xbar=x*t({[8]1})/8;(或x[,+]/8)；S=(x*t(x)-8*xbar*t(xbar))/7;Mul=xbar-2.841*sqrt(vecdiag(s)/8);Muu=xbar+2.841*sqrt(vecdiag(s)/8);Mulb=xbar-2.3646*sqrt(vecdiag(s)/8);Muub=xbar+2.3646*sqrt(vecdiag(s)/8);Printmulmuumulbmuub;第四十一页，共一百四十八页，2022年，8月28日709080608070第四十二页，共一百四十八页，2022年，8月28日Exec41proc

iml;x={3.7

48.5

9.3,5.7

65.1

8.0,

3.8

47.2

10.9,3.2

53.2

12.0,

3.1

55.5

9.7,4.6

36.1

7.9,

2.4

24.8

14.0,7.2

33.1

7.6,

6.7

47.4

8.5,5.4

54.1

11.3,

3.9

36.9

12.7,4.5

58.8

12.3,

3.5

27.8

9.8,4.5

40.2

8.4,

1.5

13.5

10.1,8.5

56.4

7.1,

4.5

71.6

8.2,6.5

52.8

10.9,

4.1

44.1

11.2,5.5

40.9

9.4};E={[20]1};(或j(1,20))Xbar=t(x)*t(e)/20;A=t(x)*x-20*xbar*t(xbar);s=a/19;mu={4,50,10};T=20*t(xbar-mu)*inv(s)*(xbar-mu);t1=3*19/17*3.2;Mul=xbar-sqrt(t1)*sqrt(vecdiag(s)/20);Muu=xbar+sqrt(t1)*sqrt(vecdiag(s)/20);Mulb=xbar-2.5395*sqrt(vecdiag(s)/20);Muub=xbar+2.5395*sqrt(vecdiag(s)/20);PrintxbarasTt1mulmuumulbmuub;第四十三页，共一百四十八页，2022年，8月28日计划学时：2学时教学课型：理论课教学目的与要求：掌握单个多元正态总体均值分量间结构关系的推断原理与方法教学重点：单个多元正态总体均值分量间结构关系的推断原理与方法教学难点：单个多元正态总体均值分量间结构关系的推断原理与方法教学方法、手段与媒介：根据教材用多媒体课件课堂讲授教学过程与内容：第四十四页，共一百四十八页，2022年，8月28日

§4.3单个总体均值分量间结构关系的检验检验假设检验统计量第四十五页，共一百四十八页，2022年，8月28日第四十六页，共一百四十八页，2022年，8月28日例

检验假设第四十七页，共一百四十八页，2022年，8月28日第四十八页，共一百四十八页，2022年，8月28日

例

在例中，假定人类有这样一个一般规律：身高、胸围、上半臂围的平均尺寸比例为6:4:1.希望检验表中的数据是否符合这一规律.解:根据题意要检验第四十九页，共一百四十八页，2022年，8月28日第五十页，共一百四十八页，2022年，8月28日

prociml;x={7860.616.5,7658.112.5,9263.214.5,8159.014.0,8160.815.5,8459.514.0};C={2-30,10-6};E={[6]1};Xbar=t(x)*t(e)/6;A=c*xbar;b=t(x)*x-6*xbar*t(xbar);s=b/5;D=c*s*t(c);F=inv(d);T2=6*t(a)*f*a;PrintaxbarbdfT2;第五十一页，共一百四十八页，2022年，8月28日某地区农村男婴的体格测量数据如下编号身高（cm）胸围（cm）上半臂长（cm）17860.616.527658.112.539263.214.548159.014.058160.815.568459.514.0检验三个指标的均值是否有关系第五十二页，共一百四十八页，2022年，8月28日第五十三页，共一百四十八页，2022年，8月28日proc

iml;s={31.600

8.040

0.500,

8.040

3.172

1.310,

0.500

1.310

1.900};mu={82.00

60.20

14.50};c={2-3

0,

1

0-6};a=c*t(mu);d=c*S*t(c);g=inv(d);T=6#(t(a)*g*a);Printt;T＝47.143第五十四页，共一百四十八页，2022年，8月28日计划学时：2学时教学课型：理论课教学目的与要求：掌握两个多元正态总体均值比较的检验原理与方法教学重点：两个多元正态总体均值比较检验的原理与方法教学难点：两个多元正态总体均值比较检验的原理与方法教学方法、手段与媒介：根据教材用多媒体课件课堂讲授教学过程与内容：第五十五页，共一百四十八页，2022年，8月28日§4.3两个总体均值的比较推断一、两个独立样本的情形希望检验检验统计量第五十六页，共一百四十八页，2022年，8月28日第五十七页，共一百四十八页，2022年，8月28日k较小时,

邦弗伦尼联合置信区间

第五十八页，共一百四十八页，2022年，8月28日

例（例续）表给出了相应于表的9名2周岁女婴的数据。我们欲在多元正态性假定下检验2周岁男婴与女婴的均值向量有无显著性差异。解：由例得由表计算得第五十九页，共一百四十八页，2022年，8月28日所以第六十页，共一百四十八页，2022年，8月28日由知第六十一页，共一百四十八页，2022年，8月28日Prociml;x={7860.616.5,7658.112.5,9263.214.5,8159.014.0,8160.815.5,8459.514.0};E={[6]1};Xbar=t(x)*t(e)/6;s1=t(x)*x-6*xbar*t(xbar);

y={8058.14.0,7559.215.0,7860.315.0,7557.413.0,7959.514.0,7858.114.5,7558.012.5,6455.511.0,8059.212.5};Ybar=t(y)*t({[9]1})/9;S2=(t(y)*Y-9*ybar*t(ybar));Sp=(s1+s2)/13;T2=6*9*t(xbar-ybar)*inv(sp)*(xbar-ybar)/(6+9);T0=3*13*3.59/11;Printybars1s2spt2t0;第六十二页，共一百四十八页，2022年，8月28日

编号

身高(cm)

胸围(cm)上半臂围(cm)18058.414.027559.215.037860.315.047557.413.057959.514.067858.114.577558.012.586455.511.098059.212.5表4.4.1某地区农村女婴的体格测量数据第六十三页，共一百四十八页，2022年，8月28日二、成对试验的统计量欲检验方法：化为一样本问题处理第六十四页，共一百四十八页，2022年，8月28日检验规则为第六十五页，共一百四十八页，2022年，8月28日

例

一组学生共5人,采用两种不同的方式进行教学,然后对5个学生进行测验,得如下得分数：学生序号

教学方式AB数学物理数学物理189908285298888083375696170476706766590766365分析不同的教学方式是否有差异。第六十六页，共一百四十八页，2022年，8月28日dataa;inputx1x2y1y2@@;cards;8990828598888083756961707670676690766365;datad;seta;x12=x1-y1;y12=x2-y2;proc

corr

cov;varx12y12;run;proc

iml;s={63.50

21.000,21.00

18.200};mu={15.00,4.800};g=inv(s);r=t(mu)*g*mu;printr;第六十七页，共一百四十八页，2022年，8月28日计划学时：2学时教学课型：理论课教学目的与要求：掌握两个多元正态总体均值分量间结构关系、多总体均值的比较检验原理与方法教学重点：两个多元正态总体均值分量间结构关系、多总体均值的比较的检验原理与方法教学难点：两个多元正态总体均值分量间结构关系、多总体均值的比较的检验原理与方法教学方法、手段与媒介：根据教材用多媒体课件课堂讲授教学过程与内容：第六十八页，共一百四十八页，2022年，8月28日§4.4两个总体均值分量间结构关系的检验检验假设检验统计量第六十九页，共一百四十八页，2022年，8月28日第七十页，共一百四十八页，2022年，8月28日第七十一页，共一百四十八页，2022年，8月28日检验统计量为经计算得第七十二页，共一百四十八页，2022年，8月28日第七十三页，共一百四十八页，2022年，8月28日第七十四页，共一百四十八页，2022年，8月28日表4.5.1甲、乙两种品牌产品的指标值

指标样品12345

甲111181518152332731211732028272319418261818952223221610

均值20.824.422.619.214.0

乙1181720181823124312620314161720174252431261853628242629

均值24.821.824.623.220.4第七十五页，共一百四十八页，2022年，8月28日prociml;x={1118151815,3327312117,2028272319,182618189,2223221610};Y={1817201818,3124312620,1416172017,2524312618,3628242629};z={1,1,1,1,1};r={10000,01000,00100,00010,00001};c={1-1000,01-100,001-10,0001-1};x1=T(x)*z/5;y1=T(y)*z/5;s1=T(x)*(r-z*T(z)/5)*x;s2=T(y)*(r-z*T(z)/5)*y;s=(s1+s2)/8;e1=c*(x1-y1);y0=c*s*T(c);y4=inv(y0);y2=y4*e1;y3=t(e1)*y2;T2=5/2*y3;printse1y0y2y3y4x1y1t2;

第七十六页，共一百四十八页，2022年，8月28日dataa;inputclassx1x2x3x5@@;cards;1111815181513327312117120282723 191182618189122232216 1021817201820214161720 1722524312618236282426 29;run;procanova;classclass;modelx1-x5=class;manovah=classm=(1-1000,10-100,100-10,100-10);run;第七十七页，共一百四十八页，2022年，8月28日

MANOVATestCriteriaandExactFStatisticsfortheHypothesisofNoOverallclassEffectontheVariablesDefinedbytheMMatrixTransformationH=AnovaSSCPMatrixforclassE=ErrorSSCPMatrixS=1M=0.5N=2StatisticValueFValueNumDFDenDFPr>FWilks'Lambda0.188898778.59360.0137Pillai'sTrace0.811101238.59360.0137Hotelling-LawleyTrace4.293840718.59360.0137Roy'sGreatestRoot4.293840718.59360.0137第七十八页，共一百四十八页，2022年，8月28日

例在爱情和婚姻的调查中,对一个由若干名丈夫和妻子组成的样本进行了问卷调查,请他们回答以下几个问题：

(1)你对伴侣的爱情的“热度”感觉如何？

(2)伴侣对你的爱情的“热度”感觉如何？

(3)你对伴侣的爱情的“可结伴”水平感觉如何？

(4)伴侣对你的爱情的“可结伴”水平感觉如何？回答采用没有、很小、有些、很大和非常大

5个等级,得到结果如表.第七十九页，共一百四十八页，2022年，8月28日丈夫对妻子妻子对丈夫X1X2X3X4X1X2X3X4235544555544455545554455434445553355445533453344344443544455345545554454443334444455455555445555第八十页，共一百四十八页，2022年，8月28日

现在我们关心均值分量间的差异是否满足某种结构关系。比如每个指标均值间的差异是否相等。

1、丈夫对妻子以及妻子对丈夫的回答在α＝0.05显著水平上没有差异。

2、在四个指标上他们是否会有相同的分数。即检验四个分数的平均值是否相等。第八十一页，共一百四十八页，2022年，8月28日

检验

在原假设为真的条件下，检验的统计量为：统计量与检验第八十二页，共一百四十八页，2022年，8月28日dataa;inputclassx1x2x3x4@@;cards;1235524455155442455514555244551434424555133552445513345233441344424354144552345514555 24454144332344414455 245551554425555;run;proc

anova;classclass;modelx1-x4=class;manovah=classm=(1-1

0

0,1

0-1

0,1

0

0-1);run;第八十三页，共一百四十八页，2022年，8月28日

MANOVATestCriteriaandExactFStatisticsfortheHypothesisofNoOverallgEffectontheVariablesDefinedbytheMMatrixTransformationH=AnovaSSCPMatrixforgE=ErrorSSCPMatrixS=1M=0.5N=9StatisticValueFValueNumDFDenDFPr>FWilks'Lambda0.831939801.353200.2876Pillai'sTrace0.168060201.353200.2876Hotelling-LawleyTrace0.202010051.353200.2876Roy'sGreatestRoot0.202010051.353200.2876第八十四页，共一百四十八页，2022年，8月28日prociml;sigma1={0.57586206900.3758620690-.1034482759-.1655172414,0.37586206900.5850574713-.0919540230-.1586206897,-.1034482759-.09195402300.43678160920.4137931034,-.1655172414-41379310340.4551724138};mu1={3.90000,3.96667,4.33333,4.40000};sigma2={0.4885057471-.01724137930.04022988510.0229885057,-.01724137930.43793103450.07241379310.1172413793,0.04022988510.07241379310.24022988510.2022988506,0.02298850570.11724137930.20229885060.2574712644};mu2={3.83333,4.10000,4.63333,4.53333};c={1-100,10-10,100-1};mu=(mu1+mu2)/2;a=c*mu;sigma=29#(sigma1+sigma2)/58;t2=60#t(a)*inv(c*sigma*t(c))*a;F=20/(3*22)*t2;printt2f;第八十五页，共一百四十八页，2022年，8月28日第八十六页，共一百四十八页，2022年，8月28日§4.6多个总体均值的比较检验

(多元方差分析)欲检验方法:方差分析检验统计量威尔克斯(Wilks)统计量第八十七页，共一百四十八页，2022年，8月28日第八十八页，共一百四十八页，2022年，8月28日第八十九页，共一百四十八页，2022年，8月28日

例4.6.1为了研究销售方式对商品额的影响,选择四种商品(甲、乙、丙、丁)按三种不同的销售方式(I,II,III)进行销,这四种商品的销售额分别为x1,x2,x3,x4,其数据见表4.6.1.问这三种销售方式的平均销售额是否显著不同?(设这三种销售方式的销售额x1,x2,x3,x4

均服从正态分布.)第九十页，共一百四十八页，2022年，8月28日经计算第九十一页，共一百四十八页，2022年，8月28日第九十二页，共一百四十八页，2022年，8月28日由附录4-3中(4-3.4)可得第九十三页，共一百四十八页，2022年，8月28日查F分布表得从而,在0.01的显著性水平下,拒绝原假设(p=0.004).差异的进一步分析(用一元方差分析).第九十四页，共一百四十八页，2022年，8月28日第九十五页，共一百四十八页，2022年，8月28日第九十六页，共一百四十八页，2022年，8月28日表4.6.1销售额数据

编号

销售方式I

销售方式II

销售方式III

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