应力状态与应变状态分析

应力状态与应变状态分析第一页，共四十页，2022年，8月28日第七章应力状态与应变状态分析

§7–1应力状态的概念§7–2平面应力状态分析——解析法§7–3平面应力状态分析——图解法§7–4

梁的主应力及其主应力迹线§7–5

三向应力状态研究——应力圆法§7–6

复杂应力状态下的应力--应变关系

——（广义虎克定律）§7–7

复杂应力状态下的变形比能第二页，共四十页，2022年，8月28日§7–１应力状态的概念应力状态与应变状态一、引言1、铸铁与低碳钢的拉、压、扭试验现象是怎样产生的？M低碳钢铸铁PP铸铁拉伸P铸铁压缩2、组合变形杆将怎样破坏？MP第三页，共四十页，2022年，8月28日四、普遍状态下的应力表示

三、单元体：单元体——构件内的点的代表物，是包围被研究点的无限小的几何体，常用的是正六面体。单元体的性质——a、平行面上，应力均布；

b、平行面上，应力相等。二、一点的应力状态：

过一点有无数的截面，这一点的各个截面上应力情况的集合，称为这点的应力状态（StateofStressataGivenPoint）。xyzs

xsz

s

y应力状态与应变状态txy第四页，共四十页，2022年，8月28日xyzs

xsz

s

y应力状态与应变状态txy五、剪应力互等定理（TheoremofConjugateShearing

Stress):

过一点的两个正交面上,如果有与相交边垂直的剪应力分量,则两个面上的这两个剪应力分量一定等值、方向相对或相离。第五页，共四十页，2022年，8月28日tzx六、原始单元体（已知单元体）：例1

画出下列图中的A、B、C点的已知单元体。

应力状态与应变状态PPAAsxsxMPxyzBCsxsxBtxztxytyx第六页，共四十页，2022年，8月28日七、主单元体、主面、主应力：主单元体(Principalbidy)：各侧面上剪应力均为零的单元体。主面(PrincipalPlane)：剪应力为零的截面。主应力(PrincipalStress

）：主面上的正应力。主应力排列规定：按代数值大小，应力状态与应变状态s1s2s3xyzsxsysz第七页，共四十页，2022年，8月28日单向应力状态（UnidirectionalStateofStress）：一个主应力不为零的应力状态。

二向应力状态（PlaneStateofStress）：一个主应力为零的应力状态。应力状态与应变状态三向应力状态（Three—DimensionalStateof

Stress）：三个主应力都不为零的应力状态。AsxsxtzxsxsxBtxz第八页，共四十页，2022年，8月28日§7–2

平面应力状态分析——解析法应力状态与应变状态sxtxysyxyzxysxtxysyO第九页，共四十页，2022年，8月28日规定：截面外法线同向为正；

ta绕研究对象顺时针转为正；

a逆时针为正。图1设：斜截面面积为S，由分离体平衡得：一、任意斜截面上的应力应力状态与应变状态xysxtxysyOsytxysxsataaxyOtn图2第十页，共四十页，2022年，8月28日图1应力状态与应变状态xysxtxysyOsytxysxsataaxyOtn图2考虑剪应力互等和三角变换，得：同理：第十一页，共四十页，2022年，8月28日二、极值应力´´应力状态与应变状态xysxtxysyO第十二页，共四十页，2022年，8月28日xysxtxysyO在剪应力相对的项限内，且偏向于x

及y大的一侧。应力状态与应变状态222xyyxminmaxtsstt+-±=îí좢）（第十三页，共四十页，2022年，8月28日例2

分析受扭构件的破坏规律。解：确定危险点并画其原始单元体求极值应力应力状态与应变状态txyCtyxMCxyOtxytyx第十四页，共四十页，2022年，8月28日破坏分析应力状态与应变状态低碳钢铸铁第十五页，共四十页，2022年，8月28日§7–3

平面应力状态分析——图解法对上述方程消去参数（2），得：一、应力圆（

StressCircle）应力状态与应变状态xysxtxysyOsytxysxsataaxyOtn此方程曲线为圆—应力圆（或莫尔圆，由德国工程师：OttoMohr引入）第十六页，共四十页，2022年，8月28日建立应力坐标系，如下图所示，（注意选好比例尺）二、应力圆的画法在坐标系内画出点A(x，xy)和B(y，yx)

AB与sa

轴的交点C便是圆心。以C为圆心，以AC为半径画圆——应力圆；应力状态与应变状态sxtxysyxyOnsataaOsataCA(sx,txy)B(sy,tyx)x2anD(sa,

ta)第十七页，共四十页，2022年，8月28日应力状态与应变状态sxtxysyxyOnsataaOsataCA(sx,txy)B(sy,tyx)x2anD(sa,

ta)三、单元体与应力圆的对应关系面上的应力(，)

应力圆上一点(，)面的法线应力圆的半径两面夹角两半径夹角2

；且转向一致。第十八页，共四十页，2022年，8月28日四、在应力圆上标出极值应力应力状态与应变状态OCsataA(sx,txy)B(sy,tyx)x2a12a0s1s2s3第十九页，共四十页，2022年，8月28日s3例3

求图示单元体的主应力及主平面的位置。(单位：MPa)AB

12解：主应力坐标系如图AB的垂直平分线与sa

轴的交点C便是圆心，以C为圆心，以AC为半径画圆——应力圆0应力状态与应变状态s1s2BAC2s0sata(MPa)(MPa)O20MPa在坐标系内画出点第二十页，共四十页，2022年，8月28日s3应力状态与应变状态s1s2BAC2s0sata(MPa)(MPa)O20MPa主应力及主平面如图

102AB第二十一页，共四十页，2022年，8月28日解法2—解析法：分析——建立坐标系如图60°应力状态与应变状态xyO第二十二页，共四十页，2022年，8月28日§7–4

梁的主应力及其主应力迹线应力状态与应变状态12345P1P2q如图，已知梁发生剪切弯曲（横力弯曲），其上M、Q>0，试确定截面上各点主应力大小及主平面位置。单元体：第二十三页，共四十页，2022年，8月28日应力状态与应变状态21s1s3s33s1s34s1s1s35a0–45°a0stA1A2D2D1COsA2D2D1CA1Ot2a0stD2D1CD1O2a0=–90°sD2A1Ot2a0CD1A2stA2D2D1CA1O第二十四页，共四十页，2022年，8月28日拉力压力主应力迹线（StressTrajectories)：主应力方向线的包络线——曲线上每一点的切线都指示着该点的拉主应力方位（或压主应力方位）。实线表示拉主应力迹线；虚线表示压主应力迹线。应力状态与应变状态1313第二十五页，共四十页，2022年，8月28日qxy主应力迹线的画法：11截面22截面33截面44截面ii截面nn截面bacd13应力状态与应变状态31第二十六页，共四十页，2022年，8月28日§7–5

三向应力状态研究——应力圆法应力状态与应变状态s2s1xyzs31、空间应力状态第二十七页，共四十页，2022年，8月28日2、三向应力分析弹性理论证明，图a单元体内任意一点任意截面上的应力都对应着图b的应力圆上或阴影区内的一点。图a图b整个单元体内的最大剪应力为：tmax应力状态与应变状态s2s1xyzs3第二十八页，共四十页，2022年，8月28日例4

求图示单元体的主应力和最大剪应力。（MPa）解：由单元体图知：yz面为主面建立应力坐标系如图，画应力圆和点1′,得:应力状态与应变状态5040xyz3010(M

Pa)sa（M

Pa）taABCABs1s2s3tmax第二十九页，共四十页，2022年，8月28日§7–6

复杂应力状态下的应力--应变关系

——（广义虎克定律）一、单拉下的应力--应变关系二、纯剪的应力--应变关系应力状态与应变状态xyzsxxyz

x

y第三十页，共四十页，2022年，8月28日三、复杂状态下的应力---应变关系依叠加原理,得:应力状态与应变状态

xyzszsytxysx第三十一页，共四十页，2022年，8月28日主应力---主应变关系四、平面状态下的应力---应变关系:方向一致应力状态与应变状态s1s3s2第三十二页，共四十页，2022年，8月28日主应力与主应变方向一致?应力状态与应变状态第三十三页，共四十页，2022年，8月28日五、体积应变与应力分量间的关系体积应变：体积应变与应力分量间的关系:应力状态与应变状态s1s3s2a1a2a3第三十四页，共四十页，2022年，8月28日例5已知一受力构件自由表面上某一点处的两个面内主应变分别为：1=24010-6，

2=–16010-6，弹性模量E=210GPa，泊松比为=0.3，试求该点处的主应力及另一主应变。所以，该点处的平面应力状态应力状态与应变状态第三十五页，共四十页，2022年，8月28日me3342.-=应力状态与应变状态第三十六页，共四十页，2022年，8月28日例6

图a所示为承受内压的薄壁容器。为测量容器所承受的内压力值，在容器表面用电阻应变片测得环向应变t

=350×l06，若已知容器平均直径D=500mm，壁厚=10mm，容器材料的E=210GPa，=0.25，试求:1.导出容器横截面和纵截面上的正应力表达式；2.计算容器所受的内压力。应力状态与应变状态pppxs1smlpODxABy图a第三十七页，共四十页，2022年，8月28日1、轴向应力:(longitudinalstress)解：容器的环向和纵向应力表达式用横截面将容器截开，受力如图b所示,根据平衡方程应力状态与应变状态psmsmx