2022年高考数学一轮复习 直线方程（精讲）（解析版）

9.1直线方程（精讲）思维导图思维导图常见考法常见考法考法一直线的斜率与倾斜角【例1】（1）（2021·全国高三专题练习（文））将直线绕着原点逆时针旋转，得到新直线的斜率是（） B． C． D．（2）（2021·全国高三专题练习（理））已知集合，.若，则实数（）A．3 B． C．3或 D．或1（3）（2021·长宁区·上海市延安中学高三月考）“”是“直线和直线垂直”的（）A．充分非必要条件 B．必要非充分条件C．充要条件 D．既非充分又非必要条件【答案】（1）B（2）A（3）A【解析】（1）原直线的倾斜角为，旋转后倾斜角为，所以新直线的斜率为.故选：.（2）因为，所以直线与直线没有交点，所以直线与直线互相平行，所以，解得或，当时，两直线为：，，此时两直线重合，不满足，当时，两直线为：，，此时两直线平行，满足，所以的值为，故选：A.（3）若直线和直线垂直，则，解得或，则“”是“直线和直线垂直”的充分非必要条件.故选：A.【一隅三反】1．（2021·浙江高三专题练习）直线的倾斜角的大小为（）A． B． C． D．【答案】D【解析】由可得，所以直线的斜率为，设直线的倾斜角为，则，因为，所以，故选：D.2．（2021·全国高三月考）设，则“”是“直线与直线垂直”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】由题知，当时，直线的方程为，斜率，直线的方程为，斜率．因为，所以两直线垂直，故充分性成立；若直线与垂直，则有，解得或，故必要性不成立.故选：A．3．（2021·江西南昌·（理））直线，，则“”是“”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】当时，直线，，，所以，故充分；当时，，解得或，故不必要；所以“”是“”的充分不必要条件，故选：A4．（2021·全国高三专题练习（理））已知，，直线，，且，则的最小值为（）A．2 B．4 C． D．【答案】D【解析】因为，所以，即，因为，，所以，，所以，当且仅当，时，等号成立．故选：D.考法二直线方程【例2】（1）（2021·山东高考真题）如下图，直线的方程是（）A． B．C． D．（2）（2021·浙江高三专题练习）已知直线在轴上的截距为3，在轴上的截距为-2，则的方程为（）A．3x-2y-6=0 B．2x-3y+6=0C．2x-3y-6=0 D．3x-2y+6=0（3）（2021·浙江高三专题练习）经过直线与的交点，且与直线垂直的直线方程为（）A． B． C． D．（4）（2021·全国高三专题练习）直线y＝k(x－2)＋3必过定点，该定点坐标是（）A．(－2，3) B．(2，3) C．(3，－2) D．(3，2)【答案】（1）D（2）C（3）D（4）B【解析】（1）由图可得直线的倾斜角为30°，所以斜率，所以直线与轴的交点为，所以直线的点斜式方程可得：，即．故选：D（2）由题意可得直线的方程为，整理可得2x-3y-6=0.故选：C（3）由题意，联立方程组，解得，即交点为，设与直线垂直的直线方程为，把点代入，即，解得，即所求直线方程为.故选：D.（4）将直线方程化为点斜式得y－3＝k(x－2)，所以该直线过定点(2，3)，故选：B.【一隅三反】1．（2021·浙江高三专题练习）已知，，，则过点且与线段垂直的直线方程为（）．A． B．C． D．【答案】D【解析】因为，所以与垂直的直线的斜率为，所以过点且与线段垂直的直线方程为，即，故选：D2．（2021·浙江高三专题练习）过点且倾斜角为的直线方程为（）A． B．C． D．【答案】D【解析】因为直线的倾斜角为，所以直线的斜率为，所以直线方程为，即，故选：D3．（2021·全国（文））已知双曲线的左､右焦点分别为，，点，则的平分线的方程为（）A． B．C． D．【答案】A【解析】如图，依题意知，，而点在双曲线上，故，，.设的平分线交x轴于M，设，则，有，即，，化简解得，故的平分线所在直线的斜率，所以的平分线的方程为，即.故选：A.4．（2021·四川凉山·高三（文））若表示两条直线，则实数的值为（）A．3 B．2 C．1 D．0【答案】B【解析】若表示两条直线，则其左边一定可以表示为两个一次式的乘积，又因缺少项，则可设，即，则，解得.故选：B.考法三直线的交点与距离【例3】（1）（2021·湖南高考真题）点到直线的距离为（）A． B． C． D．（2）（2021·浙江高三专题练习）已知直线，直线，则与之间的距离为（）A． B． C． D．（3）（2021·沙坪坝·重庆八中）抛物线的焦点到直线的距离为（）A． B．1 C． D．【答案】（1）D（2）D（3）D【解析】（1）点到直线的距离为，故选：D.（2）直线的方程可化为，则与之间的距离．故选：D（3）由抛物线可得焦点坐标为，根据点到直线的距离公式，可得，故选:D.【一隅三反】1．（2021·四川德阳·（文））在平面直角坐标系中，已知点，，那么（）A．2 B． C． D．4【答案】A【解析】.故选：A2．（2021·全国高三专题练习（理））若点是曲线上任意一点，则点到直线的最小距离为（）A． B． C． D．【答案】C【解析】因为点是曲线任意一点，所以当点处的切线和直线平行时，点到直线的的距离最小，因为直线的斜率等于，曲线的导数，令，可得或（舍去），所以在曲线与直线平行的切线经过的切点坐标为，所以点到直线的最小距离为.故选：C.3．（2021·全国高三专题练习（理））点到直线的距离为（）A． B． C． D．【答案】B【解析】根据距离公式可得：点到直线的距离，故选：B.4．（2021·全国高三专题练习（理））函数图象上一点到直线的最短距离为（）A． B． C． D．【答案】C【解析】设与直线平行且与曲线相切的直线的切点坐标为，因为，则，所以，则切点坐标为，最短距离为点到直线的距离，即，即点到直线的最短距离为.故选：C.5．（2021·全国高三专题练习（理））若直线：与直线：平行，则直线与之间的距离为______．【答案】【解析】∵直线与平行，∴，解得，∴直线：，直线：，∴直线与之间的距离．故答案为：考法四对称问题【例4】（1）（2021·浙江高三）点关于直线的对称点是（）A． B． C． D．（2）（2020·青铜峡市高级中学高二月考（文））已知直线与直线关于直线对称，则直线的方程为（）A． B．C． D．【答案】（1）B（2）A【解析】（1）设点关于直线的对称点是，则有，解得，，故点关于直线的对称点是.故选：B.（2）直线取两点，其关于对称的点为在直线上，故斜率为，即方程为，即.故选：A.【一隅三反】1．（2021·陕西高一期末）已知直线，则点P(2，2)关于对称的点的坐标为（）A．(1，3) B．(-1，-1) C．(-1，5) D．(-2，-2)【答案】C【解析】设点，根据对称得到,解得：，所以(-1，5).故选：C.2．（2020·南京市大厂高级中学高一开学考试）已知直线，直线与关于直线对称，则直线的方程为A． B．C． D．【答案】A【解析】在上任取一点，设关于直线的对称点为，所以，解得，代入，得：，所以直线的方程为.故选：A3．（2020·福建省仙游县枫亭中学高一期末）点M(1,4)关于直线l:x-y+1=0对称的点的坐标是（）A．(4,1) B．(3,2) C．(2,3) D．(-1,6)【答案】B【解析】设关于直线对称点的坐标为，线段的中点坐标为，且在直线上，即①.由于直线的斜率为，所以线段的斜率为②.解由①②组成的方程组得，即关于直线对称点的坐标为.故选：B4．（2021·全国高一课时练习）已知直线（1+k）x+y﹣k﹣2=0