2022年高考数学一轮复习 三定问题及最值（精讲）（解析版）

9.6三定问题及最值（精讲）思维导图思维导图常见考法常见考法考法一定点【例1】（2021·贵州贵阳市·贵阳一中高三月考（理））已知椭圆：的离心率为，且过椭圆的右焦点有且仅有一条直线与圆：相切.（1）求椭圆的标准方程；（2）设圆与轴的正半轴交于点.已知直线斜率存在且不为0，与椭圆交于，两点，满足(为坐标原点)，证明：直线过定点.【答案】（1）；（2）证明见解析.【解析】（1）因过椭圆的右焦点有且仅有一条直线与圆：相切，则点在圆：上，即，而椭圆的离心率，解得，则，所以椭圆的标准方程为；（2）圆：与轴的正半轴交于点，依题意，设直线的方程为，，两点的坐标分别为，，由知直线AP，BP斜率与互为相反数，又，，即，化简整理得：，又，，于是得，由消去y得：，则，，从而有，即，解得，此时直线的方程为，所以直线恒过定点.【一隅三反】1．（2021·海口中学高三月考）设椭圆的左右焦点分别为，，右顶点为，已知，其中为原点，为椭圆的离心率.（1）求椭圆的方程；（2）若过的直线与坐标轴不垂直，它与椭圆交于，两点，是点关于轴的对称点，试判断直线是否过定点，如果过定点，求出定点坐标，如果不过定点，请说明理由.【答案】（1）；（2）过定点，且定点为.【解析】（1）依题意，，即，，所以椭圆的方程为.（2），依题意可知直线的斜率存在且不为，设直线的方程为，设，消去并化简得，，直线的方程为，根据椭圆的对称性可知，若直线过定点，则定点在轴上，由此令得，即，所以定点为.2．（2021·九龙坡区·重庆市育才中学）阿基米德(公元前287年---公元前212年，古希腊)不仅是著名的哲学家、物理学家，也是著名的数学家，他利用“逼近法”得到椭圆面积除以圆周率等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积.在平面直角坐标系中，椭圆的面积等于，且椭圆的焦距为.（1）求椭圆的标准方程；（2）点是轴上的定点，直线与椭圆交于不同的两点，已知A关于轴的对称点为，点关于原点的对称点为，已知三点共线，试探究直线是否过定点.若过定点，求出定点坐标；若不过定点，请说明理由.【答案】（1）；（2）直线恒过定点.【解析】（1）椭圆的面积等于，，，椭圆的焦距为，，，椭圆方程为（2）设直线，，则，，三点共线，得，直线与椭圆交于两点,,，，由，得，，，代入中，，，当，直线方程为，则重合，不符合题意；当时，直线,所以直线恒过定点.3．（2021·湖北）已知椭圆T：经过以下四个不同点中的某三个点：，，，．（1）求椭圆T的方程；（2）将椭圆T上所有点的纵坐标缩短为原来的倍，横坐标不变，得到椭圆E．已知M，N两点的坐标分别为，，点F是直线上的一个动点，且直线，分别交椭圆E于G，H（G，H分别异于M，N点）两点，试判断直线是否恒过定点？若过定点，求出定点坐标；若不过定点，请说明理由．【答案】（1）；（2）直线恒过定点.【解析】（1）由题意可得A，C一定在椭圆上，即①，若B在椭圆上，则②，由①②可得，不存在，所以D在椭圆上，可得③，由①③可得，，所以椭圆的方程为：；（2）将椭圆T上所有点的纵坐标缩短为原来的倍，横坐标不变，设E上的点为：，对应的点，由题意可得，，所以，，所以E的方程，设，，，，所以直线的方程为：，直线的方程，联立直线与椭圆的方程整理可得，所以，，即，联立直线NF与椭圆的方程：整理可得，所以，即，所以直线的斜率为：，所以直线的方程为：，整理可得，当，.所以直线恒过定点．考法二定值【例2】（2021·河南高三月考（文））已知椭圆：的左焦点为，离心率为，过且垂直于轴的直线被椭圆截得的线段长为.（1）求椭圆的方程；（2）已知点，过的直线交椭圆于，两点，证明：直线的斜率与直线的斜率之和为定值.【答案】（1）；（2）证明见解析.【解析】（1）设椭圆的半焦距为，则解得所以椭圆的方程为.（2）由题意知直线斜率存在，设其方程为，，，联立方程组代入消元并整理得：，，则，.，将，代入，整理得：，，将韦达定理代入化简得：.因为直线过点，所以，代入，得.【一隅三反】1．（2021·重庆高三月考）在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：的离心率为，且C过点.点P，Q在C上，且直线PQ不与坐标轴垂直.（1）求C的方程；（2）若直线MP，MQ的斜率存在，分别记为，，证明：PQ过O点的充要条件是.【答案】（1）（2）证明见解析.【解析】（1）由题意：所以椭圆C：代入得：，所以椭圆C：（2）设直线PQ为：的斜率分别为，联立得：必要性：若PQ过原点时，，则充分性：若时，，化简得：或，若，则过点，直线MP，MQ只有一条存在，故舍去.,则直线PQ过原点.2．（2021·全国高三（理））已知椭圆的离心率为，两焦点与短轴两顶点围成的四边形的面积为．（1）求椭圆的标准方程；（2）我们称圆心在椭圆上运动，半径为的圆是椭圆的“卫星圆”，过原点作椭圆的“卫星圆”的两条切线，分别交椭圆于，两点，若直线，的斜率存在，记为，．①求证：为定值；②试问是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由．【答案】（1）；（2）①，②．【解析】（1）依题意得，，，解得所以椭圆的标准方程为（2）①直线，的方程分别为，设椭圆的“卫星圆”的圆心为因为直线，为“卫星圆”的两条切线，则，化简得，所以，为方程的两根，故又因为，所以，故为定值；②设，由，则由于，所以，得所以为定值．3（2021·福建高三月考）已知椭圆：的左、右焦点分别为，，点，直线的倾斜角为60°，原点到直线的距离是．（1）求的方程；（2）过上任一点作直线，分别交于，（异于的两点），且，，探究是否为定值？若是，求出定值；若不是，请说明理由．【答案】（1）；（2）是定值，定值为6．【解析】（1）由题意，点，直线的倾斜角为60°，所以，在中，求得点到直线的距离是，又由原点到直线的距离是，则，所以，故的标准方程为.（2）①当点为椭圆右顶点时，，，所以；②当点为椭圆左顶点时，同理可得；③当点不为椭圆顶点，即直线，的斜率均不为零时，设直线的方程是，直线的方程是，分别代入椭圆方程，可得和，设，，，则，，由，可得，则，由直线的方程，可得，所以，由，同理可得，所以为定值．综上所述，为定值6．4（2021·沙坪坝区·重庆八中）与椭圆（，且）相关的两条直线称为椭圆的准线，拥有丰富的几何性质.已知直线是位于椭圆右侧的一条准线，椭圆上的点到的距离的最大值为，最小值为.（1）求椭圆的标准方程及直线的方程；（2）设椭圆的左右两个顶点分别为，，为直线上的动点，且不在轴上，与的另一个交点为，与的另一个交点为，为椭圆的左焦点，求证：的周长为定值.【答案】（1），；（2）证明见解析.【解析】（1）由题知，即，解得：又因为，所以椭圆C的标准方程为，直线的方程为.（2）证明：题意可知，，，，设，，直线的方程为，直线的方程为，联立方程组可得，可得，所以，则，故，由可得，可得，所以，则，故，故直线的方程为，化简得，即，故直线过定点，所以的周长为定值8.当时，，或，，可知是椭圆的通径，经过焦点，此时的周长为定值，综上可得，的周长为定值8.考法三定直线【例3】（2021·全国高三月考（理））在平面直角坐标系中，已知点，直线，动点到点的距离与到直线的距离之比为．（1）求动点的轨迹的方程；（2）设曲线与轴交于、两点，过定点的直线与曲线交于、两点（与、不重合），证明：直线，的交点在定直线上．【答案】（1）；（2）证明见解析．【解析】（1）设，根据题意，，整理得所以动点的轨迹是椭圆，方程为．（2）由题意知，直线的斜率不为，设过点的直线方程为，代入椭圆的方程，整理得，因为，所以设，，，则，①，由（1）得，，则直线的方程为，直线的方程为，联立两直线方程，消去整理得，②将，代入②整理得，③把①式代入③，整理得，即直线与直线的交点的横坐标恒等于所以直线，的交点恒在定直线上．【一隅三反】1．（2021·安徽高三（理））已知椭圆过点，离心率为，抛物线的准线交轴于点，过点作直线交椭圆于，．（1）求椭圆的标准方程和点的坐标；（2）设，是直线上关于轴对称的两点，问：直线与的交点是否在一条定直线上？请说明你的理由．【答案】（1）；；（2）定直线，理由见解析.【解析】（1）由题意可得解得，即椭圆的方程为：，又由抛物线，可得准线方程为，所以．（2）设，，，，由，整理得，所以，，则即，直线为，即①，直线为，即②，②-①得：，即所以，解得：，所以直线与的交点恒在定直线上．2．（2021·福建莆田·高三）曲线C上任意一点P到点F(2,0)的距离与它到直线x=4的距离之比等于22，过点M(4,0)且与x轴不重合的直线l与C交于不同的两点A,B（1）求C的方程；（2）求证：△ABF内切圆的圆心在定直线上．【答案】（1）x2【解析】（1）设Px,y，由题意：x−2化简得：x28+y2（2）设直线l:x=my+4，Ax1,y1,Bx∴Δ=64设直线AF与BF的斜率分别为k1,=2m∴k1=−k2，则∠BFM=π−∠AFM，∴直线x=2平分∠AFB，而三角形内心在∠AFB的角平分线上，∴3（2021·江苏泰州市·高三）已知椭圆的右顶点为，点是椭圆上异于的一点，轴于点，是的中点，过动点的直线与直线交于点．（1）当时，求证：直线l与椭圆只有一个公共点；（2）求证：点在定直线上运动．【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析．【解析】(1)不妨设，当时，由得，所以直线l方程为，即，由，解得，故直线l与椭圆的交点坐标为，所以直线l与椭圆P只有一个公共点．(2)因为轴，B是的中点，所以，因为，所以，所以直线的方程为，即，联立，得，又因为，所以，因此，即，所以，所以点C在定直线上运动.考法四最值（范围）【例4】（2021·河南高三月考（文））已知抛物线：的焦点为，过的直线与抛物线交于，两点，当，两点的纵坐标相同时，.（1）求抛物线的方程；（2）若，为抛物线上两个动点，，为的中点，求点纵坐标的最小值.【答案】（1）；（2）当时，点纵坐标的最小值为；当时，点纵坐标的最小值为.【解析】（1）当，两点纵坐标相同时，，的纵坐标均为，由抛物线的定义知.因为，所以，所以抛物线的方程为.（2）由题意知直线的斜率存在，设直线的方程为，联立消去并整理，得，，设，，则，，，所以，符合，所以，所以点的纵坐标，令，则.当时，即时，函数在上单调递增，所以当，即时，；当，即时，函数在时取得最小值，，综上所述：当时，点纵坐标的最小值为；当时，点纵坐标的最小值为.【一隅三反】1．（2021·云南玉溪·高三月考（理））已知抛物线：，过点的直线交抛物线于，，且（为坐标原点）．（1）求抛物线的方程；（2）过作与直线垂直的直线交抛物线于，．求四边形面积的最小值．【答案】（1）；（2）64.【解析】（1）设直线为代入整理得设所以又所以由得综上：所求抛物线的方程为（2）由（1）得因为所以令，有故当时，四边形面积有最小值2（2021·长沙市·湖南师大附中）在平面直角坐标系中，已知，动点到直线的距离等于.动点的轨迹记为曲线.（1）求曲线的方程；（2）已知，过点的动直线与曲线交于，两点，记和的面积分别为和，求的最大值.【答案】（1）；（2）最大值为3.【解析】（1）设点，当时，到直线的距离显然小于，故不满足题意；故（），即，整理得，即，故曲线的方程为；（2）由题意可知直线的斜率不为0，则可设直线的方程为，，，联立，整理得，显然成立，所以，，所以，故，设，，则，则，因为，所以（