高数 多元函数微分学

第九章多元函数微分学第一节多元函数的概念、极限与连续

一、多元函数的概念二、二元函数的极限与连续例1

圆柱体的体积和它的底半径,高之间的关系为,其中、、是三个变量,当变量、在一定范围（，）内取定一对数值时,根据给定的关系，就有一个确定的值与之对应.1.引例一、多元函数的概念

2.二元函数的定义定义1

设是三个变量.如果当变量在一定范围内任意取定一对数值时,变量按照一定的法则总有确定的数值与它们对应,则称变量是变量的二元函数,记为其中称为自变量,称为因变量.自变量的取值范围称为函数的定义域．二元函数在点所取得的函数值记为，或例2设求解3.二元函数的定义域二元函数的定义域较复杂，它可以是一个点，也可能是一条曲线或几条曲线所围成的部分平面，甚至可能是整个平面．整个平面或由曲线围成的部分平面称为区域；围成区域的曲线称为该区域的边界;不包括边界的区域称为开区域，连同边界在内的区域称为闭区域．以点为中心，为半径的圆内所有点的集合称为点的邻域，记作．如果一个区域可以被包含在原点的某个邻域内，则称该区域为有界区域，否则称为无界区域．开区域如:闭区域如:

例3

求下列函数的定义域，并画出的图形．

(1)

解

要使函数有意义，应有即

定义域为有界开区域

（2）

解：要使函数有意义，应有

即

定义域为无界闭区域

设是二元函数的定义域内的任一点,则相应的函数值为有序数组确定了空间一点,称点集为二元函数的图形.

二元函数的图形通常是一张曲面.4.二元函数的几何意义当1．二元函数的极限邻域内有定义（点定义2

设二元函数在点可以除外）,如果当点沿任意路径趋于点时,函数趋于常数,那么称为函数的某一总无限AA时的极限，记为或二、二元函数的极限与连续说明：（1）定义中的方式可能是多种多样的，方向可能任意多，路径可以是千姿百态的，所谓极限存在是指当动点从四面八方以可能有的任何方式和任何路径趋于定点时，函数都趋于同一常数.（2）二元函数的极限运算法则与一元函数类似如局部有界性、局部保号性、夹逼准则、无穷小、等价无穷小代换等。xyoP0例4

求．解例5

求极限

解:其中例6

证明不存在．证：其值随k的不同而变化，故极限不存在．确定极限不存在的方法：（1）令点

沿趋向于极限值与有关,则在点处极限不存在;，若（2）找出两种不同趋近方式，使存在，但两者不相等，则此时在点处极限不存在．2．二元函数的连续性定义3

设函数在点的某一邻域内,则称函数在点如果函数在区域内每一点都连续,则在区域如果函数在点不连续，则称点是函数的间断点.有定义.如果内连续.处连续.称函数例7

求．解因为函数是初等函数,且点在该函数的定义域内,故例8

讨论函数

的连续性．时，为初等函数,故函数在点处连续.当解当不存在,所以函数在点处不连续，即原点是函数的间断点．时,由例5知3．有界闭区域上连续函数的性质性质1（最值定理）在有界闭区域上连续的二元函数，在该区域上一定有最大值和最小值．性质2（介值定理）在有界闭区域上连续的二元函数，必能取得介于函数的最大值与最小值之间的任何值．第二节偏导数

一、偏导数二、高阶偏导数1.偏导数的定义

．在点定义

设函数的某邻域内有定义,,而在取得增量时,函数相应取得如果极限存在,在点处对或增量(称为偏增量):固定的偏导数,记为则称此极限值为函数一、偏导数

类似地,函数在点处对记为

或偏导数定义为:的2.偏导数的求法例1

求z=x2+3xy+y2在点(1,2)处的偏导数.解

把

y看成常数,得把

x看成常数,得例2

求函数的偏导数．解:例3

设,证明:证

因为

所以例4

已知理想气体的状态方程PV=RT(R为常数.)证:

因为求证:所以=1偏导数的记号是一个整体,不能看成微商,否则导致运算错误．例5求在点(0,0)处的偏导数.解:=0

注意:

二元函数在某点存在偏导数,并不能保证函数在该点连续,与一元函数可导必连续是不相同的．3.偏导数的几何意义是曲面与平面的交线在点处的切线轴的斜率.

对是曲面与平面的交线在点处的切线轴的斜率.对二、高阶偏导数函数它们都是的函数,如果这两个函的偏导数也存在,则称它们的偏导数的二阶偏导数．

数关于

是的二个偏导数四个二阶偏导数二阶混合偏导数

类似地,可定义三阶、四阶以至阶偏导数，二阶及二阶以上的偏导数称为高阶偏导数，而和称为函数的一阶偏导数．例6

设

z=x3y23xy3xy+1,解:及

求

定理１如果函数的两个二阶混合偏导在区域内连续,则对任何有数即二阶混合偏导数连续的条件下,混合偏导数与求导的次序无关,对更高阶的偏导数也有类似的结论．例7

设函数，求．解

，

一、全微分的定义二、全微分在近似计算中的应用第三节全微分当边长当记称为函数,则面积,宽为一矩形金属片,长为分别有增量时,面积的增量为的全增量，

时,即,且时，是比高阶的无穷小.则

1、引例一、全微分的定义2.全微分的定义定义设函数在点的某邻域内有定义,如果在点处的全增量可表示为其中,则称为函数在点处的全微分，记作dz由定义可知：(1)如果函数处的两个偏导数在点处可微，则在该点、必都存在．(2)函数在点处可微,则函数在点处连续．(3)自变量的增量等于自变量的微分，即,则全微分又可记为注:若z=f(x,y)在(x,y)处,z=f(x,y)在(x,y)处可微分.都存在,不能保证在处,但它在处不可微分.例如：在点定理1(充分条件)

如果函数的两个处存在且连续,则函数处必可微．例１求函数的全微分．解偏导数在点注：关于二元函数全微分的定义及可微分的充分条件可以完全类似地推广到三元和三元以上的多元函数.解例２计算的全微分．例３

求

z=x4y3+2x在点(1,2)的全微分.解dz=34dx+12dy

极限,连续,可导,可微的关系:极限连续可导可微++++偏导连续二*、全微分在近似计算中的应用设函数在点处可微，当分别取得增量时，从而解

可看作函数例4

求的近似值．在的函数值.取第四节多元复合函数与隐函数的偏导数法

一、多元复合函数的偏导数二、隐函数偏导数三、复合函数、隐函数的高阶偏导数定理(复合函数的偏导数),在对应点在点处有偏导数,处有连续偏导数,在点处的偏导数存在,且设函数函数则复合函数一、多元复合函数微分

例1

设

,而,求,解例2

设函数,其中,求解,例3

设,而,求解例4

设,求解令，，则,1.一元隐函数求导公式方程

链式图

两边对x求导，得：

二、隐函数微分法

方程

得

两边对x求导：

两边对y求导：

得

，

2.二元隐函数求导公式例5

求方程所确定的隐函数的导数解设,则例6

求由所确定的二元隐函数的偏导数．当解令,则时,有方程组决定的隐函数的导数解运用公式推导的方法。将所给方程的两边对

x

求导并移项:将所给方程的两边对

y

求导，用同样方法得例2

设解：三、复合函数、隐函数的高阶偏导数第五节偏导数在几何上的应用

一、空间曲线的切线与法平面

二、曲面的切平面与法线

空间曲线

一、空间曲线的切线与法平面

对应于的一点

切线方程为向量是曲线在点处的切线的方向向量.若过点线在点且垂直于曲线在该点的切线的平面称为曲的法平面，则法平面的方程为例1

求螺旋线上对应于点处的切线与法平面方程．解因为所以在处的切向量为切点坐标为于是，螺旋线在点处的切线方程为即即法平面方程为例2

求曲线处的切线与法平面方程．在点解曲线的参数方程为点的切线的方向向量为在所以曲线在点即处的切线方程为法平面方程为二、曲面的切平面与法线过曲面上的点的任何曲线在点称该平面为曲面在点处的切平面,直于切平面的直线，称为曲面在点处的法线.处的切线均在同一个平面上，且垂法线方程为曲面在点处的切平面方程为过点例3

求圆锥面在点处的切平面及法线方程．解设,因为因此，圆锥面在点即即处的切平面方程为法线方程例4

求球面上平行于平面的切平面方程．解令则切点为过的切平面方程为即因为它与平面平行,所以解得又因为点在球面上，所以有即解得,于是点的坐标为所求切平面方程为第六节二元函数的极值

一、二元函数的极值二、二元函数的最大值与最小值三、条件极值

一、二元函数的极值,点为极大值点,为极大值定义：设函数

在点定义，若该邻域内

的某个邻域内有,点为极小值点,为极小值（亦称点

为驻点）

定理1（极值的必要条件）:若函数

在点有极值，且

在点偏导数存在,则

该点的偏导数必为零定理2（极值存在的充分条件）:设点是函数的驻点，且函数在点的某邻域内二阶偏导数连续，令则(1)当时,点时,点是极值点,且（i）当时,点是极大值点；(ii)当是极小值点.(２)当(３)当时,点不是极值点．时,点不是极值点．可能是极值点也可能（2）解方程组得驻点及例1

求函数的极值．解:（1）求偏导数结论:在处,在处,取得极大值

函数在处无极值函数在注意:对一般函数,可能的极值点包括驻点或至少一个偏导数不存在的点.

二、二元函数的最大值与最小值类似一元函数,求多元函数在有界闭区域上的可能最值点包括驻点和偏导数不存在的点和边界点.分别求出各点处的函数值,比较其大小即可.例2

在坐标面上找一点使它到三点的距离平方和为最小．解设为面上的任一点,则到三点距离的平方和为求

的偏导数，有解方程组得驻点由问题的实际意义知，到三点距离平方和最小的点一定存在,又只有一个驻点,因此即为所求点．求函数在约束条件下的极值，其步骤为：(1)构造辅助函数,称为拉格朗日函数,其中参数称为拉格朗日乘数；(2)解联立方程组得可能极值点三、条件极值构造辅助函数,而体积为最大的长方体的体积．例8

求表面积为则长方体体积解设长方体长、宽、高分别为约束条件为即为,解联立方程组解得因为是唯一可能的极值点，所以由问题的实际意义知一、方向导数二、梯度第七节方向导数与梯度一、方向导数

设函数zf(x,

y)在点P0(x0

y0)的某一邻域U(P0)内有定义

l是xOy平面上以P0(x0

y0)为始点的一条射线与l同方向的单位向量为el(coscos)存在,

则称此极限为函数f(x,

y)在点P0沿方向l的方向导数,记为

取P(x0tcos

y0tcos)U(P0)

如果极限方向导数方向导数的意义方向导数就是函数f(x

y)在点P0(x0

y0)处沿方向l的变化率

方向导数的计算

如果函数zf(x,

y)在点P0(x0

y0)可微分,

那么函数在该点沿任一方向l(el(coscos))的方向导数都存在,

且有定理讨论

函数f(x,y)在点P沿x轴正向和负向,沿y轴正向和负向的方向导数如何?提示

例1

求函数zxe2y在点P(1,0)处沿从点P到点Q(2,1)的方向的方向导数.

解

所以所求方向导数为因为函数可微分且

对于三元函数f(x

y

z)来说它在空间一点P0(x0

y0

z0)沿el(cos

cos

cos)的方向导数为

如果函数f(x

y

z)在点(x0

y0

z0)可微分,

则函数在该点沿着方向el(cos

cos

cos)的方向导数为

例2

求f(x

y

z)xyyzzx在点(112)沿方向l的方向导数其中l的方向角分别为604560

解

与l同向的单位向量为

因为函数可微分且

所以fx(112)(yz)|(112)3

fy(112)(xz)|(112)3

fz(112)(yx)|(112)2

二、梯度梯度的定义

设函数zf(x,

y)在平面区域D内具有一阶连续偏导数,

则对于每一点P0(x0

y0)D,

都可确定一个向量fx(x0

y0)ify(x0

y0)j

这向量称为函数f(x,

y)在点P0(x0

y0)的梯度,

记作gradf(x0

y0),即gradf(x0

y0)fx(x0

y0)ify(x0

y0)j

函数在一点的梯度是这样一个向量,它的方向与取得最大方向导数的方向一致,而它的模为方向导数的最大值.二、梯度梯度的定义

函数zf(x,

y)在点P0(x0

y0)的梯度:

gradf(x0

y0)fx(x0

y0)ify(x0

y0)j

梯度与方向导数|gradf(x0

y0)|cos(gradf(x0

y0),^el)

如果函数f(x

y)在点P0(x0

y0)可微分

el(coscos)是与方向l同方向的单位向量,

则提示

梯度与等值线的关系

对于二元函数zf(x

y)

xOy面上的曲线f(x,

y)c称为函数zf(x,

y)的等值线

等值线f(x

y)c是曲面zf(x

y)被平面zc所截得的曲线在xOy面上的投影

若fx

fy不同时为零则等值线f(x

y)c上任一点P0(x0

y0)处的一个单位法向量为这表明梯度grad

f(x0

y0)的方向与等值线上这点的一个法线方向相同,

对于二元函数zf(x

y)

xOy面上的曲线f(x,

y)c称为函数zf(x,

y)的等值线

若fx

fy不同时为零则等值线f(x

y)c上任一点P0(x0

y0)处的一个单位法向量为梯度与等值线的关系而沿这个方向的方向导数等于|grad

f(x0

y0)|

于是梯度与等值线的关系

函数在一点的梯度方向与等值线在这点的一个法线方向相同它的指向为从数值较低的等值线指向数值较高的等值线梯度的模就等于函数在这个法线方向的方向导数

三元函数的梯度

设函数f(x,

y,

z)在空间区域G内具有一阶连续偏导数,

函数f(x,

y,

z)在点P(x

y

z)的梯度gradf(x

y

z)定义为gradf(x

y

z)fx(x

y

z)ify(x

y

z)jfz(x

y

z)k

三元函数的梯度是这样一个向量,它的方向与取得最大方向导数的方向一致,而它的模为方向导数的最大值.

函数f(x,y,z)在点P的梯度的方向与过点P的等量面f(x,y,z)c在这点的法线的一个方向相同,且从数值较低的等量面指向数值较高的等量面,梯度的模等于函数在这个法线方