2.2 基本不等式 -(人教A版2019必修第一册) (学生版)

基本不等式1基本不等式若a>0,b>0，则a+b≥2ab(当且仅当a=b时，等号成立②基本不等式的几何证明(当点D、O重合，即a=b时，取到等号③运用基本不等式求解最值时，牢记：一正，二定，三等.一正指的是a>0,b>0；二定指的是ab是个定值，三等指的是不等式中取到等号.2基本不等式及其变形2(调和均值≤几何均值≤算术均值≤平方均值)以上不等式把常见的二元关系(倒数和，乘积，和，平方和)联系起来，我们要清楚它们在求最值中的作用.①a+b≥2ab，3对勾函数①概念形如y=x+ax②图像③性质函数图像关于原点对称，在第一象限中，当0<x<a时，函数递减，当x>a④与基本不等式的关系由图很明显得知当x>0时，x=a时取到最小值y其与基本不等式x+ax≥2x∙【题型一】对基本不等式“一正，二定，三等”的理解情况1一正：a求函数y=x情况2二定：ab定值求函数y=x情况3三等：取到等号求函数y=x2【题型二】基本不等式运用的常见方法方法1直接法【典题1】设x>0、y>0、z>0，则三个数1x+4y、1yA．都大于4 B．至少有一个大于4C．至少有一个不小于4 D．【典题2】设x>0,y>0①(x+1x)(y+1y)≥4③x2+9x2+5≥4A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【典题3】已知实数a，b满足ab>0，则aa+b方法2凑项法【典题1】若x>1，则函数y=4x+1x-1的最小值为【典题2】若x>1，则2x+9x+1+1x-1【典题3】设a>b>0，则ab+4b2+1b(a-b)方法3凑系数【典题1】若0<a<12，则a(1-2a)的最大值是【典题2】已知a,b为正数，4a2+b2=7，则a方法4巧“1”法【典题1】已知x>0，y>0，x+y=2，则x+y的最大值是【典题2】已知x>0，y>0，且2x+1y=2，则【典题3】设a>2，b>0，若a+b=3，则1a-2+1b的最小值为方法5换元法【典题1】若x>1，则y=x-1x2+x-1的最大值为【典题1】若a,b∈R*，a+b=1，则a+12+b+1【典题2】设a、b是正实数，且a+2b=2，则a2a+1方法6不等式法【典题1】已知a,b∈(0,+∞)，且1+2ab=9a+b，则【典题2】已知2a+b+2ab=3，a>0，b>0，则2a+b的取值范围是.巩固练习1(★★)已知a+b+c=2，则ab+bc+ca与2的比较．2(★★)已知x，y∈R+，若x+y+xy=8，则xy的最大值为(★★)若x，y∈R+，且3x+1y=5，则3x+4y4(★★)函数y=x2+x-5x-2(x>2)5(★★)已知实数a、b,ab>0，则aba2+b2+a6(★★)[多选题]下列说法正确的是()A．x+1x(x>0)的最小值是2C．x2+5x2+4的最小值是7(★★★)[多选题]设a>0，b>0，且a+2b=4，则下列结论正确的是()A．1a+1b的最小值为2 B．C．1a+2b的最小值为98(★★★)若实数m，n>0，满足2m+n=1，以下选项中正确的有()A．mn的最小值为18 B．1m+C．2m+1+9n+2的最小值为5 D9(★★★)已知正实数a，b满足a+b=1，则2a2+1a+2b10(★★★)若正数x、y满足x+4y-xy=0，则4x+y的最大值为11(★★★)已知0<a<1，则11-a+4a的最小值是12(★★★)已知a，b∈R，a+b=2，则1a2+1+1b13(★★★)若正数a，b满足1a+1b=1，则aa-114(★★★★)已知实数a>0，b>－2，且满足