第二十八章282解直角三角形第3课时(人教版九下)

28.2解直角三角形第3课时

1.理解坡度、方位角等概念.（重点）2.掌握数学建模的方法，解决方位、坡面测量等问题.（重点、难点）解直角三角形应用中的概念1.坡度、坡角的概念：如图，我们通常把坡面的_____高度h和_____宽度l的比叫做坡度（或坡比），用字母i表示，即i=tanα=，这里，α是坡面与_____面的夹角，这个角叫坡角.垂直水平水平2.方位角：指北或指南方向线与目标方向线所成的小于90°的角，叫做方位角.如图中的目标方向线OA，OB，OC，OD的方位角分别表示为__________，_________，___________，____________.北偏东30°东南方向南偏西80°北偏西60°（打“√”或“×”）(1)坡度是指坡的度数.（）(2)坡度是一个比值.（）(3)若从点A观察点B的方位角是北偏东50°，那么从点B观察点A的方位角是南偏西50°.（）××√知识点1与方位角有关的计算【例1】（2013·黄石中考）高考英语听力测试期间，需要杜绝考点周围的噪音.如图，点A是某市一高考考点，在位于A考点南偏西15°方向距离125m的C点处有一消防队.在听力考试期间，消防队突然接到报警电话，告知在位于C点北偏东75°方向的F点处突发火灾，消防队必须立即赶往救火.已知消防车的警报声传播半径为100m，若消防车的警报声对听力测试造成影响，则消防车必须改道行驶.试问：消防车是否需要改道行驶？说明理由.（取1.732）【思路点拨】作AB⊥CF.先求∠ACB的度数，再求AB的长，最后比较100与AB的长下结论.【自主解答】作AB⊥CF,垂足为B，由题意知∠ACF=75°-15°=60°,在Rt△ABC中，∵sin∠ACB=,∴AB=125×sin60°=125×≈125×=108.25（m）,∵108.25＞100,∴消防车不需要改道行驶.【总结提升】解答与方位角有关的计算问题的方法1.弄清航行中方位角的含义，根据题意画出图形，画图时要先确定方向标，把实际问题转化为数学问题是解题的关键所在.2.船在海上航行，在平面上标出船的位置、灯塔或岸上某目标的位置，关键在于确定基准点.当船在航行时，基准点在转移，画图时要特别注意.3.常说的东南、西南、东北、西北是特指方向，均与南、北方向成45°角.知识点2与坡度有关的计算【例2】学校校园内有一小山坡AB，经测量，坡角∠ABC=30°，斜坡AB长为12m，为方便学生行走，决定开挖小山坡，斜坡BD的坡比是1∶3（即为CD与BC的长度之比），A，D两点处于同一铅垂线上，求开挖后小山坡下降的高度AD.【解题探究】（1）在Rt△ACB中如何求AC，BC的长？提示:在Rt△ACB中，∠ABC=30°，AC=AB=6（m），BC=AB·cos∠ABC=12×(m).（2）在Rt△DCB中如何先求CD的长，再求AD的长？提示:∵斜坡BD的坡比是1∶3，∴CD=BC=（m），AD=AC－CD=6－（m）.答：开挖后小山坡下降的高度AD为(6－)m.【总结提升】解答坡度问题的方法1.坡度问题需明确坡度的概念，即坡度i=tanα，然后根据具体情况代入计算.当给出的条件是坡面长度和坡度时，根据定义，构建方程来求解.应用时要注意与三角函数的结合.2.坡度是坡角的正切值，坡度越大，坡角也越大.3.与坡度有关的问题常与水坝有关，即梯形问题，常用的方法一般是过上底的顶点作下底的垂线，构造直角三角形和矩形来求解.题组一:与方位角有关的计算1.如图，轮船从B处以每小时50nmile的速度沿南偏东30°方向匀速航行，在B处观测灯塔A位于南偏东75°方向上，轮船航行半小时到达C处，在C处观测灯塔A位于北偏东60°方向上，则C处与灯塔A的距离是（）A.25nmileB.25nmileC.50nmileD.25nmile 【解析】选D.如图所示，∠BCA=90°,∠ABC=75°-30°=45°,BC==25（nmile）,∴AC=BC=25nmile.2.在一自助夏令营活动中，小明同学从营地A出发，要到A地的北偏东60°方向的C处，他先沿正东方向走了200m到达B地，再沿北偏东30°方向走，恰能到达目的地C（如图），那么，由此可知，B，C两地相距_____m．【解析】由已知得：∠ABC=90°+30°=120°，∠BAC=90°-60°=30°，∴∠ACB=180°-∠ABC-∠BAC=180°-120°-30°=30°，∴∠ACB=∠BAC，∴BC=AB=200m．答案:2003.（2013·泰安中考）如图，某海监船向正西方向航行，在A处望见一艘正在作业渔船D在南偏西45°方向，海监船航行到B处时望见渔船D在南偏东45°方向，又航行了半小时到达C处，望见渔船D在南偏东60°方向，若海监船的速度为50nmile/h，则A，B之间的距离为_____（取≈1.7，结果精确到0.1nmile）．【解析】∵∠DBA=∠DAB=45°，∴△DAB是等腰直角三角形，过点D作DE⊥AB于点E，则DE=AB.设DE=x，则AB=2x，在Rt△CDE中，∠DCE=30°，则CE=DE=x，在Rt△BDE中，∠DBE=45°，则DE=BE=x，由题意得，CB=CE-BE=x-x=25，解得≈35.7，∴AB=2x=2×35.7=71.4（nmile）.答案:71.4nmile4.某海滨浴场东西走向的海岸线可近似看作直线l（如图）．救生员甲在A处的瞭望台上观察海面情况，发现其正北方向的B处有人发出求救信号．他立即沿AB方向径直前往救援，同时通知正在海岸线上巡逻的救生员乙．乙马上从C处入海，径直向B处游去．甲在乙入海10s后赶到海岸线上的D处，再向B处游去．若CD＝40m，B在C的北偏东35°方向，甲、乙的游泳速度都是2m/s．问：谁先到达B处？请说明理由．（参考数据：sin55°≈0.82,cos55°≈0.57,tan55°≈1.43）【解析】由题意得，∠BCD＝55°，∠BDC＝90°，∵tan∠BCD=，∴BD=CD·tan∠BCD=40×tan55°≈57.2（m）．∵cos∠BCD=,∴≈70.2（m）．∴t甲=+10=38.6（s），t乙==35.1（s）．∵t甲>t乙，∴乙先到达B处．5.（2013·遂宁中考）钓鱼岛自古以来就是我国的神圣领土，为维护国家主权和海洋权利，我国海监和渔政部门对钓鱼岛海域实现了常态化巡航管理.如图，某日在我国钓鱼岛附近海域有两艘自西向东航行的海监船A，B，B船在A船的正东方向，且两船保持20nmile的距离，某一时刻两海监船同时测得在A的东北方向，B的北偏东15°方向有一我国渔政执法船C，求此时船C与船B的距离是多少．（结果保留根号）【解析】作BD⊥AC于D，由题意可知，∠BAC＝45°，∠ABC＝105°，∴∠ACB＝180°－∠BAC－∠ABC＝30°，在Rt△ABD中，BD=AB·sin∠BAD=20×=10（nmile），在Rt△BCD中，=20（nmile），答：此时船C与船B的距离是20nmile.题组二:与坡度有关的计算1.如图，某游乐场一山顶滑梯的高为h，滑梯的坡角为α，那么滑梯长l为（）

B.C.D.【解析】选A．由已知得：sinα＝，∴l＝2.如图，一个小球由地面沿着坡度i=1∶2的坡面向上前进了10m，此时小球距离地面的高度为()A.5mB.2mC.4mD.m【解析】选B.如图，∵AB=10m,tanA=设BC=x，则AC=2x,由勾股定理得，AB2=AC2+BC2,即100=4x2+x2,解得x=2∴AC=4m,BC=2m.3.（2013·聊城中考）河堤横断面如图所示，堤高BC=6m，迎水坡AB的坡比为1∶则AB的长为（）A.12mB.4mC.5mD.6m【解析】选A.根据坡比的意义可知BC∶AC=1∶，即6∶AC=1∶，所以AC=6m.由勾股定理得AB==12（m）.或者根据tanA=1∶，则∠A=30°，根据“在直角三角形中，30°所对的直角边等于斜边的一半”可知AB=2BC=12m.4.某水库大坝的横断面是梯形，坝内斜坡的坡度i1=1∶坝外斜坡的坡度i2=1∶1，则两个坡角的和为____.【解析】设坝内斜坡的坡角为α，坝外斜坡的坡角为β.坝内斜坡的坡度i1=1∶，说明tanα=，则α=30°，坝外斜坡的坡度i2=1∶1，说明tanβ=1，β=45°，两角和为75°．答案:75°5.（2013·广安中考）如图，广安市防洪指挥部发现渠江边一处长400m，高8m，背水坡的坡角为45°的防洪大堤（横截面为梯形ABCD）急需加固．经调查论证，防洪指挥部专家组制定的加固方案是：背水坡面用土石进行加固，并使上底加宽2m，加固后，背水坡EF的坡比i=1∶2．（1）求加固后坝底增加的宽度AF的长.（2）求完成这项工程需要土石多少立方米？【解析】（1）分别过点E，D作EG⊥AB，DH⊥AB交AB于G，H，∵四边形ABCD是梯形，且AB∥CD，∴DH平行且等于EG，故四边形EGHD是矩形，∴ED=GH.在Rt△ADH中，AH=DH÷tan∠DAH=8÷tan45°=8（m），在Rt△FGE中，i=1∶2=，∴FG=2