CNC的轨迹控制原理

数控技术第四章计算机数控（CNC）系统第二节CNC的轨迹控制原理主讲教师罗哲插补的任务：按照给定进给速度的F值，在零件轮廓段的起点和终点之间计算出若干在允许误差范围内的中间点的坐标值。一、轨迹控制算法的要求与类别1、对插补算法的要求①对插补所需的输入数据最少。②插补理论误差要满足精度要求。保证插补曲线精确通过给定的基点，即工件轮廓的两相邻几何元素的交点，实现无累积误差；另外，局部误差不超过所允许的误差。③沿插补路线或称插补矢量的合成进给速度要满足轮廓表面粗糙度一致性的工艺要求。④控制联动坐标轴数的能力要强。⑤插补算法要简单、可靠。2、插补算法的类别①按插补输出的标量不同，有数字脉冲增量法和数据采样法。数字脉冲增量法是以行程为标量。每来一个F脉冲进行插补运算一次，相应有一个脉冲当量的位移输出。数据采样法以时间为标量。当选定插补周期的时间后，根据给定F值，在一个插补周期内输出相应的一小段步长数据（称粗插补），这一步长通过对实际位置采样值比较的伺服位置控制进行细化插补输出。②按插补算法的规则不同来分，有逐点比较法、数字积分法、比较积分法等。逐点比较法的规则是每次插补进给只有一个坐标轴，且按判别、进给、偏差计算、终点判别四节拍进行。数字积分法规则是利用寄存器长度的有限性把给定的行程数据进行数字微分分析累加，取累加寄存器的溢出脉冲作为进给输出脉冲。比较积分法规则是直接比较各坐标轴的积分值，并把积分值在时间上看做一个时间间隔，然后利用逐点比较法的判别式引入一个判别函数来判别各坐标轴总的时间间隔。③按几何规律不同来分有直线和圆弧的插补算法。其他的分类方法包括：软件插补和硬件插补；软硬件兼有的混合插补。二、数字脉冲增量法插补1、逐点比较法(区域判别法)原理：计算机在控制加工轨迹过程中，逐点计算和判别加工偏差以控制坐标进给方向，从而按规定的图形加工出合格工件。其四个节拍为：第一，偏差判别。判别加工点对规定几何轨迹的偏离位置，然后决定滑板的走向。第二，进给。控制某坐标的工作台进给一步，向规定的轨迹靠拢，缩小偏差。第三，偏差计算。计算新加工点对规定轨迹的偏差，作为下一步判别走向的依据。第四，终点判别。判断是否到达程序规定的加工终点。1）加工偏差公式如图，设要在xy平面第一象限内加工以坐标原点O为起点，以A(xe

,ye)为终点的直线段，OA与x坐标轴的夹角为a，对于某一时刻加工点M的坐标(xi,yj)，直线起点O到加工点M的连线OM与x轴的夹角为ai。（1）逐点比较法的直线插补OxyA(xe

,ye)M(xi,yj)aai若ai>a，表示加工点M在规定直线的上方，为了缩小偏差，应控制拖板沿+x方向进给一步；若ai<a，表示加工点M在规定直线的下方，为了缩小偏差，应控制拖板沿+y方向进给一步；对于ai=a，表示加工点M在规定直线上，为了继续加工，应控制拖板沿+x方向进给一步。OxyA(xe

,ye)M(xi,yj)+x+yaai由三角函数可知：

tgai=

yj/xi

tg

a=ye/xe比较ai与a的大小只要比较tg

ai与tg

a的大小即可，故tgai

–tga

=

yj/xi

-ye/xe=(xeyj

-

xiye)/xexi由于在同一象限内xe、xi同号，所以xexi>0。比较tgai与tga的大小就归结为比较xeyj和xiye的大小。因此取Pi,j=xeyj-xiye作为直线加工偏差公式。OxyA(xe

,ye)M(xi,yj)aai当加工点M(xi,yj)在直线上时，Pi,j=0；当加工点M(xi,yj)在直线上方时，Pi,j>0；当加工点M(xi,yj)在直线下方时，Pi,j<0；这里称Pi,j的值为偏差。OxyA(xe

,ye)M(xi,yj)Pi,j<0Pi,j>0M(xi,yj)M(xi,yj)Pi,j=02）递推法偏差计算利用上述偏差公式进行插补计算，涉及乘法、减法运算较为繁琐，可如下处理：刀具每走一步，新加工点的加工偏差用前一点的加工偏差递推出来。若加工点M(xi,yj)在OA直线上方（或在直线上），即Pi,j≥0，则沿x轴正向每发一个进给脉冲，使加工点移动一步至点M1(xi+1,yj)，得：xi+1=xi+1,yj=yj,所以M1点的偏差为：Pi+1,j=xeyj-(xi+1)ye=

xeyj-xiye-ye=Pi,j-yeOxyA(xe

,ye)M(xi,yj)M1(xi+1,yj)Pi,j≥0若加工点M1在直线下方，即Pi,j<0，则向y轴正向发一进给脉冲，使加工点到达M2(xi+1,yj+1)，得：xi+1=xi+1,

yj+1=yj+1,所以M2点的偏差为：OxyA(xe

,ye)M(xi,yj)M1(xi+1,yj)M2(xi+1,yj+1)Pi+1,j+1=xeyj+1-xi+1ye=xe(yj

+1)-xi+1ye

=xeyj

-xi+1ye+xe

=Pi+1,j+xePi,j<03）第一象限偏差公式与进给关系如表所示：4）终点判断按照逐点比较法插补过程，在计算偏差的同时，还要进行一次终点判断，以确定是否到达程序加工终点，如已到达，就不再进行运算，发出停机或转换新程序段输入信号。插补总步数:E=

xe+ye终点判别：E=0?5）不同象限的直线插补公式设L1、L2、L3、L4分别表示第一、第二、第三、第四象限的四种线型，其偏差运算和进给脉冲分配方向如表所示。例:现要加工第一象限直线OA，终点坐标为xe=5,ye=3解：总步数E=5+3=8开始时，刀具对准在直线OA的起点，表示在直线上，此时P0,0=0。加工运算过程如表所示。在实现过程中，设定了几条寄存器：Jp、Jx、Jy、JE6）直线插补的计算程序如图为第一象限的逐点比较法直线插补运算程序。如图所示为第一象限逆时针圆弧插补计算程序。JP：寄存Pi,j

Jx：寄存x终点坐标值Xe。Jy：寄存y终点坐标值yeJE：寄存圆弧终点总的x、y坐标轴方向上的步长，即终点判别值E。（2）逐点比较法的圆弧插补1）加工偏差公式如图，设要加工第一象限逆时针走向的圆弧AE，其圆心为坐标原点O，半径为R，起点坐标为A(x0,y0)。加工圆弧时，考虑用加工点到圆心的距离和圆弧半径相比较来反映加工偏差，取加工点M(xi,yj)到圆心的距离为RM。OxyA(x0

,y0)M(xi

,

yj)RRME若RM>R，表示加工点M在圆外，为了缩小偏差，应控制拖板向圆内进给一步；在-x和-y轴向都能向圆内进给的情况下，-x轴向与规定的圆弧加工方向相符。若RM<R，表示加工点M在圆内，应控制拖板沿+y轴向往圆外进给一步；对于RM=R，加工点正好在圆上，为了继续加工，并入RM>R的情况，控制拖板沿-x轴向往圆内进给一步。OxyA(x0

,y0)M(xi

,

yj)RRMM1(xi+1,yj)M2(xi+1,yj+1)P<0P>0E由勾股定理可知：

RM2=xi2+yj2比较RM与R的大小只要比较RM2与R2的大小即可，故取

PM=RM2-R2=xi2+yj2-R2作为加工点M与规定圆弧的加工偏差公式。当加工点M(xi,yj)在圆弧外或圆弧上，满足条件Pi,j≥0时，向x轴发出一负向移动的进给脉冲-Δx；当加工点M(xi,yj)在圆弧内侧，满足条件Pi,j<0时，向y轴发出一正向移动的进给脉冲+Δy；2）递推法偏差计算设加工点M(xi,yj)在圆弧外侧或圆弧上，则加工偏差为

Pi,j=xi2+yj2-R2

≥0，需沿x轴负向进给一步-Δx，移到新的加工点M1(xi+1,yj)，得：xi+1=xi-1,yj=yj,所以M点的加工偏差为：OxyA(x0

,y0)M(xi

,

yj)RRMM1(xi+1,yj)P>0EPi+1,j=(xi-1)2+yj2-R2=xi2-2xi+1+yj2-R2=Pi,j-2xi+13）终点判别

E=|(x0-xe)|+|(y0-ye)|设加工点M1(xi+1,yj)在圆弧内，则加工偏差为

Pi,j=xi2+yj2-R2

<0，需沿y轴负向进给一步+Δy，移到新的加工点M2(xi+1,yj+1)，得：xi+1=xi+1,yj=yj+1,所以M2点的加工偏差为：Pi+1,j+1=xi+12+(yj+1)2-R2=xi+12+yj2+2yj+1-R2=Pi+1,j+2yj+1OxyA(x0

,y0)M(xi

,

yj)RRMM1(xi+1,yj)M2(xi+1,yj+1)P<0P>0E4）不同象限的圆弧插补公式归纳起来有8种线型：SR1、SR2、SR3、SR4、NR1、NR2、NR3、NR48种线型的进给脉冲分配方向及偏差计算如下表所示：5）圆弧插补的计算程序如图所示为第一象限逆时针圆弧插补计算程序。JP：寄存Pi,j

Jx：寄存圆弧起点坐标值X0;在插补过程中寄存动点坐标Xi。Jy：寄存圆弧起点坐标值y0；在插补过程中寄存动点坐标yiJE：寄存圆弧终点总的x、坐标轴方向上的步长，即终点判别值E。2、数字积分法（又称微分分析器DDA）不仅能够实现一次、二次甚至高次曲线的插补，而且易于实现多坐标联动控制，只要输入不多的数据，就能加工出较为复杂的轮廓曲线。（1）基本原理如图，函数x=f(t)的积分运算就是求此函数曲线所包围的面积S。如果从t=0开始，取自变量t的一系列等间隔值为Δt，当Δt足够小时，可得近似公式：如果取Δt=1即一个脉冲当量δ，则若取的脉冲当量δ足够小，则用求和运算代替积分运算所引起的误差可以不超过容许的数值。如图，采用两个寄存器（被积函数寄存器JV和累加寄存器或称余数寄存器JR）和一个全加器Σ构成数字积分器。图中，每当来一个△t信号，就使寄存器JV中的xi值往寄存器JR中累加一次。取JR寄存器的容量作为一个单位面积值，则在累加过程中JR溢出一个脉冲表示获得一个单位面积值，JR的总溢出脉冲数ΔS即为求得的积分值。（2）数字积分法的直线插补如图设加工直线OA终点为xe,yex和y方向上的移动距离微小增量Δx,Δy为：Δx=vx·Δt,

Δy=vy·Δt对于直线，vx和vy是常数且有：vx/vy=xe/ye从而有：Δx=xe·Δt,Δy=ye·Δt设累加器的容量为N，n表示累加的次数，将xe经n次累加后的x值应为：取Δt=1（一个脉冲当量），则：式中的整数部分表示溢出脉冲数，而分数部分存放在累加器中，若n=N,则x=xe说明当累加次数与寄存器容量相等时，溢出脉冲数等于以脉冲当量为最小单位的终点坐标。如图，Jvx为x的被积函数寄存器，寄存数xe；JRx为Δx的累加器，累加结果大于1时（超过寄存器容量），整数部分丢失，同时分配出一个进给脉冲Δx，移动一步，小数部分保留在JRx中，待下次累加。如图，作直线插补时，可用两个积分器同时各自进行累加运算，其溢出脉冲分别控制两轴方向上的进给，从而获得直线运动轨迹。在数字积分直线插补中，如果选取终点坐标值为最大的一轴，在每次累加时均输出一脉冲当量位移的进给脉冲，那么，就可节省一个积分器，这称为比值积分插补。例：如图，欲从O点进行直线插补到点A(5,2)，试用DDA方式实现之。解：将xe=5及ye=2化成二进制数xe=101B及ye=010B存放在Jvx及Jvy中，选寄存器容量为三位，则累加次数n=23=8。插补轨迹见图带箭头实线轨迹；插补过程如下表所示。（3）数字积分法的圆弧插补如图设刀具沿圆弧AB移动，半径为r，刀具切向速度为v,P(x,y)为动点，圆心为坐标原点O。圆的方程为：x2+y2=r2，引入时间参数后可得：经微分求x,y方向上的速度分量为：由此可得：这表明速度分量vx和vy是变化的且与坐标瞬时值y和x值相等。与直线积分插补相同，在Δt时间内，x和y位移增量方程为：Δx=－yΔt,Δy=xΔt由此可得：与直线积分插补公式比较：第一，直线插补时为常值累加，而圆弧插补时为变量（动点坐标）的累加。第二，直线插补时，被积函数寄存器存放常值xe(ye)，在圆弧插补时则存放变量y(x)；由于变量y(x)是加工点P的瞬时坐标值，所以它们相应由y(x)坐标的余数寄存器的溢出脉冲Δy(Δx)来修改。如图。对于第一象限逆圆弧，经过若干次迭代，当溢出到x轴去的脉冲数为(x0-xe)、溢出到y轴去的脉冲数为(ye-y0)，就停止积分。对于顺、逆圆以及其他象限的插补运算过程和积分器结构基本上与第一象限逆圆弧是一致的。不同点在于控制各坐标轴Δx、Δy进给方向不同,以及修改被积函数时是+还是-,要由x、y坐标增减而定。数字积分法圆弧插补的终点判断不能像直线插补那样取决于累加次数。一般采用两条终点判别计数器分别累计两个坐标方向上的进给脉冲数，在运算前，把两坐标应走的步数（起点与终点坐标增量）各置入相应的计数器，在运算中，每发出一个进给脉冲，便在相应的终点判别计数器中减1，当两计数器均减为0时到达终点，发出插补结束信号。在DDA方式中，为了编程方便，所有坐标值统一以程序段起点为坐标原点。圆弧插补时还要给出以起点为原点的圆心坐标。若RM>R，表示加工点M在圆外，为了缩小偏差，应控制拖板向圆内进给一步；在-x和-y轴向都能向圆内进给的情况下，-x轴向与规定的圆弧加工方向相符。若RM<R，表示加工点M在圆内，应控制拖板沿+y轴向往圆外进给一步；对于RM=R，加工点正好在圆上，为了继续加工，并入RM>R的情况，控制拖板沿-x轴向往圆内进给一步。由勾股定理可知：RM2=xi2+yj2比较RM与R的大小只要比较RM2与R2的大小即可，故取PM2=RM2-R2=xi2+yj2-R2作为加工点M与规定圆弧的加工偏差判别式，即加工偏差公式。当加工点M(xi,yj)在圆弧外或圆弧上，满足条件Pi,j≥0时，向x轴发出一负向移动的进给脉冲-Δx；当加工点M(xi,yj)在圆弧内侧，满足条件Pi,j<0时，向y轴发出一正向移动的进给脉冲+Δy；2）偏差计算仍用递推法推算下一步新的加工偏差值。设加工点M(xi,yj)在圆弧外侧或圆弧上，则加工偏差为Pi,j=xi2+yj2-R2

≥0，需沿x轴负向进给一步-Δx，移到新的加工点M(xi+1,yj)，得：xi+1=xi-1,yj=yj,所以M点的加工偏差为：Pi+1,j=(xi-1)2+yj2-R2=xi2-2xi+1+yj2-R2=Pi,j-2xi+1实现上述第一象限逆时针走向的圆弧插补，至少要四个寄存器参加运算，分别为：Jp、Jx、Jy、JE其中JE中，终点判别值E=|(x0-xe)|+|(y0-ye)|3）圆弧插补的计算程序如图所示为第一象限逆时针圆弧插补计算程序。4）不同象限的圆弧插补公式归纳起来有8种线型：SR1、SR2、SR3、SR4、NR1、NR2、NR3、NR48种线型的进给脉冲分配方向及偏差计算如下表所示：2、数字积分法（又称微分分析器DDA）不仅能够实现一次、二次甚至高次曲线的插补，而且易于实现多坐标联动控制，只要输入不多的数据，就能加工出较为复杂的轮廓曲线。（1）基本原理如图，函数x=f(t)的积分运算就是求此函数曲线所包围的面积S。如果从t=0开始，取自变量t的一系列等间隔值为Δt，当Δt足够小时，可得近似公式：如果取Δt=1即一个脉冲当量δ，则若取的脉冲当量δ足够小，则用求和运算代替积分运算所引起的误差可以不超过容许的数值。如图，取JR寄存器的容量作为一个单位面积值，则在累加过程中JR溢出一个脉冲表示获得一个单位面积值，JR的总溢出脉冲数ΔS即为求得的积分值。（2）数字积分法的直线插补如图设加工直线OA终点为xe,yex和y方向上的移动距离微小增量Δx,Δy为：Δx=vx·Δt,

Δy=vy·Δt对于直线，vx和vy是常数且有：vx/vy=xe/ye从而有：Δx=xe·Δt,Δy=ye·Δt设累加器的容量为N，n表示累加的次数，将xe经n次累加后的x值应为：取Δt=1（一个脉冲当量），则：式中的整数部分表示溢出脉冲数，而分数部分存放在累加器中，若n=N,则x=xe说明当累加次数与寄存器容量相等时，溢出脉冲数等于以脉冲当量为最小单位的终点坐标。如图，Jvx为x的被积函数寄存器，寄存数xe；JRx为Δx的累加器，累加结果大于1时（超过寄存器容量），整数部分丢失，同时分配出一个进给脉冲Δx，移动一步，小数部分保留在JRx中，待下次累加。如图，作直线插补时，可用两个积分器同时各自进行累加运算，其溢出脉冲分别控制两轴方向上的进给，从而获得直线运动轨迹。在数字积分直线插补中，如果选取终点坐标值为最大的一轴，在每次累加时均输出一脉冲当