概率论第二章

第二章随机变量及其分布

一、随机变量

二、离散型随机变量及其分布

三、随机变量的分布函数

四、连续型随机变量及其分布

五、随机变量的函数的分布第一节为了全面研究随机试验的结果，数学处理上的方便，

第二章要将随机试验的结果数量化。随机变量

对于随机试验而言，它的结果未必是数量化的。例1、掷一枚硬币，X=X(e)=1,e=H0,e=T例3.测量某灯泡的寿命,令例2、在n张已编号的考签中任抽一张，观察号码，X=“抽到考签的号码”定义：设E是随机试验，它的样本空间为则称实值单值函数

X=X(e)为随机变量。由于X的取值根据试验结果而定，而试验各结果出现有一定的概率，所以X取各值也有一定的概率。随机变量定义在样本空间上,定义域可以是数也可以不是数；而普通函数是定义在实数域上的。2.

随机变量函数的取值在试验之前无法确定,有一定的概率；而普通函数却没有。

随机变量的分类：随机变量非离散型随机变量离散型随机变量连续型随机变量其它

随机变量函数和普通函数的区别：1.定义域不同离散型随机变量及其分布

第二章一、离散型随机变量的定义二、常用的离散型随机变量第二、三节定义1.若随机变量X的全部可能取值是有限个或可列无限多个,则称X是离散型随机变量。定义2.设离散型随机变量的所有可能取值为,其中事件的概率：一、离散型随机变量的定义eg:抛骰子，X={1,2,3,4,5,6};火车站候车人数，X={0,1,2,…}称为X的概率分布或分布律。分布律也可用如下表格的形式表示：性质：例1、袋中有2个白球和3个黑球,每次从中任取1个,直到取到白球为止，X—取球次数，求(1)无放回，(2)有放回情况下X的分布律。解:(1)1234解:(2)123n……注：对于有放回选取是一个独立性的现象。例2.设一汽车在开往目的地的道路上需经过三盏信号灯，每盏信号灯以概率允许汽车通过,变量表示汽车停车次数(设各信号灯的工作是相互独立的）,求的分布律。解由题意可知的分布律为，则Ⅰ.(0—1)分布定义1.如果随机变量的分布律为则称服从参数为的(0—1)分布。二、常用的离散型随机变量及其分布（重点）（0—1）分布的分布律也可写成注：如果随机试验只有两个结果，总能定义一个服从(0—1)分布的随机变量。

1.伯努利概型①n重独立试验在相同的条件下对试验E重复做n次，若n次试验中各结果是相互独立的，则称这n次试验是相互独立的。②伯努利概型设随机试验E只有两种可能结果，设,将试验E独立地重复进行n次，则称这n次试验为n重伯努利试验，或称n重伯努利概型。Ⅱ.二项分布n重伯努利试验中,X—事件A发生的次数则注：定义2.如果随机变量的分布律为则称服从参数为其中记为2、二项分布的二项分布,特别,当时,二项分布为这就是（0—1）分布，常记为某班有30名同学参加外语考试，每人及格的概率解：X012……30例1、例2、设100件产品中有95件合格品，5件次品，先从中随机抽取10件，每次取一件，X—10件产品中的次品数，(1)有放回的抽取，求X的分布律；(2)无放回的抽取，求X的分布律；(3)有放回的情况，求10件产品中至少有2件次品的概率。解：(1)A—一次中取得次品，P(A)=0.05,k=0,1,2,3,4,5“无放回”，各次试验条件不同，不是伯努利概型。(3)注：明确告知有放回抽样时，是n重贝努利试验；若没有告知，当总数很大，且抽查元件的数量相对于总数很小，可以当作放回抽样。3.二项分布的分布形态若，则由此可知，二项分布的分布律(右图)先是随着到其最大值后再随着的增大而减小.这个使得达到其最大值的称为该二项分布的最可能次数。的增大而增大，达可以证明：例3.某人购买彩票,设每次买一张,

中奖的概率为0.01，共买800次，求他至少中奖两次的概率。解:

把每次购买彩票看成一次随机试验设中奖的次数为

，则即定理1（泊松Poisson定理)

设是一常数，n是正整数，若，则对任一固定的非负整数注

(1)不可忽略小概率事件。很小，若中奖不到2次故怀疑“中奖率0.01”是否为真，即中奖率不到0.01。(2)此例中例4、设有80台同类型设备，各台工作是相互独立的，发生故障的概率都是0.01，且一台设备的故障能由一个人处理。考虑两种配备维修工人的办法：1、有四人维护，每人负责20台；2、三人共同维护80台。比较这两种方法哪种较好。解：1、

设表示“第一个人维护的20台中同时发生故障的台数”所以，4个人维护80台，发生故障而不能及时维修的概率：=0.0169.表示“第i个人维护的20台中发生故障而不能及时维修”，2、设Y—80台同一时刻发生故障的台数，则Y~b(80，0.01)=0.0087所以,1、2两种方案，选取第二种。Ⅲ.泊松分布定义：若随机变量X的分布律称服从参数为的泊松分布,记为其中是常数,注：①②泊松分布的图形特点：当n

很大，p很小时，泊松定理表明：泊松分布是二项分布的极限分布，参数=np

的泊松分布二项分布就可近似看成是例1

一交通路口一段时间内汽车发生交通事故的次数服从参数为的泊松分布，求至少发生两次事故的概率。解

随机变量则解由已知得：所以分布律为例2

随机变量,已知求λ的值，并写出的分布律。

近数十年来，泊松分布日益显示其重要性,成为概率论中最重要的几个分布之一。泊松分布在管理科学、运筹学以及自然科学的某些问题中都占有重要的地位。泊松分布的应用①排队问题：在一段时间内窗口等待服务的顾客数②生物存活的个数③放射的粒子数随机变量的分布函数教师：金花分布律常用表格形式表示：性质：回顾：离散型随机变量思考：若X不是离散的，怎么讨论分布？目的：找一个适用于离散又不限于离散的描述分布的工具随机变量的分布函数一、分布函数的概念二、分布函数的性质三、离散型分布函数的求法为X的分布函数。设X是一个随机变量，定义1的函数值的含义：内的概率.分布函数一、分布函数的概念是任意实数，则称函数表示X落在∴可以使用分布函数值描述随机变量落在区间里的概率。(1)(2)同理，还可以写出二、分布函数的性质(2)

单调不减：(3)右连续性：(1)，且，则上述三条性质，也可以理解为判别函数是否是分布函数的充要条件。注：解:例1.

已知随机变量X的分布律为求分布函数当时,

当

时,

当时,

所以，一般地，设离散型随机变量的分布律为由概率的可列可加性得的分布函数为12离散型的分布函数为阶梯函数；xk为间断点；例2

已知离散型随机变量X的分布函数为求X的分布律。解

X的可能取值为3，4，5。所以X的分布律为解例3

已知分布函数，求

A、B。所以例4、

向[0,1]区间随机抛一质点，以X表示质点坐标.又解：长度成正比，求

X的分布函数.假定质点落在[0,1]区间内任一子区间内的概率与区间当时,当

时,当时,例：人们对产品的了解是，寿命不超过500小时的概率为0.71，寿命在500到800小时之间的概率是0.22，在800到1000小时之间的概率为0.07.可画图示意，用矩形的面积表示相应的概率。o0.710.220.075008001000O2004006008001000为了更精确，无限细分下去，…，得到一条曲线f(x)x图中“曲边梯形”（阴影区域）的面积即为X

落在区间[a,b]上的概率.f(x)完全描述了X

的规律.可求X

落于任何区间的概率.如谢谢大家！分布律常用表格形式表示：性质：回顾：离散型随机变量思考：若X不是离散的，怎么讨论分布？目的：找一个适用于离散又不限于离散的描述分布的工具随机变量的分布函数

第二章一、分布函数的概念二、分布函数的性质第四节三、离散型分布函数的求法为X的分布函数。设X是一个随机变量，定义1的函数值的含义：上的概率.分布函数一、分布函数的概念是任意实数，则称函数表示X落在∴可以使用分布函数值描述随机变量落在区间里的概率。(1)(2)同理，还可以写出二、分布函数的性质⑴

单调不减性：⑶右连续性：⑵，且，则上述三条性质，也可以理解为判别函数是否是分布函数的充要条件。解:例1.

已知随机变量X的分布律为求分布函数当时,

当

时,

当时,

所以，12离散型的分布函数为阶梯函数；xk为间断点；一般地，设离散型随机变量的分布律为由概率的可列可加性得的分布函数为例2

已知离散型随机变量X的分布函数为求X的分布律。解

X的可能取值为3，4，5。所以X的分布律为解例3

已知，求A、B。所以例4、

向[0,1]区间随机抛一质点，以X表示质点坐标.特别,当解：长度成正比，求

X的分布函数.假定质点落在[0,1]区间内任一子区间内的概率与区间当时,当

时,当时,例5：人们对产品的了解是，寿命不超过500小时的概率为0.71，寿命在500到800小时之间的概率是0.22，在800到1000小时之间的概率为0.07.可画图示意，用矩形的面积表示相应的概率。o0.710.220.075008001000O2004006008001000为了更精确，无限细分下去，…，得到一条曲线f(x)x图中“曲边梯形”（阴影区域）的面积即为X

落在区间[a,b]上的概率.f(x)完全描述了X

的规律.可求X

落于任何区间的概率.如连续型随机变量及其分布

第二章一、连续型随机变量的定义二、常用的连续型随机变量第五、六节一、连续型随机变量的定义定义1.

设F(x)是随机变量

X的分布函数，若存在非负，使对任意实数则称

X为连续型随机变量，称为

X的概率密度函数，简称概率密度或密度函数。函数1.概率密度f(x)的意义：随机变量X在点x处分布的密集程度。注：连续型随机变量的分布函数F(x)连续。概率密度的性质⑴

非负性⑵

由于(3)

f(x)在点x处连续，则3、连续性随机变量的特点(1)(2)f(x)x设r.v

X

的密度函数为f(x)求F(x).解：例1.合并即可例2、设连续型随机变量X的概率密度为求A的值，解：例3、求常数a,b,及概率密度函数f(x)。例4、，求A,B及f(x)。解：例3、，求A,B及f(x)。解：

二、常用的连续型随机变量定义、若连续型随机变量X的概率密度为：则称X服从[a,b]上的均匀分布，X

～U[a,b]1、均匀分布记作：分布函数为:因为由此可得，如果随机变量X服从区间上的均匀分布，则随机变量X在区间上的任一子区间上取值的概率与该子区间的长度成正比，而与该子区间的位置无关。均匀分布的概率背景

某公共汽车站从上午7时起，每15分钟来一班车，即

7:00，7:15，7:30,7:45

等时刻，如果乘客到达此站时间X

是7:00到7:30之间的均匀随机变量,试求他候车时间少于5分钟的概率.解：依题意，例1.X

～U(0,30)即为使候车时间少于5分钟，乘客必须在7:10到7:15之间，或在7:25到7:30之间到达车站例2、

设随机变量X服从[1，6]上的均匀分布，求一元二次方程有实根的概率。解因为当时，方程有实根，故所求概率为从而2、指数分布定义：若随机变量X的概率密度为：指数分布。为常数，则称随机变量X服从参数为其中的指数分布的分布函数为例3

假设顾客在某银行窗口等待服务的时间(单位:分钟)X服从参数为的指数分布。若等待时间超过10分钟，则他离开。假设他一个月内要来银行5次，以Y表示一个月内他没有等到服务而离开窗口的次数，求Y的分布律及至少有一次没有等到服务的概率解Y是离散型，，其中现在X的概率密度为解(2)已知该电子元件已使用了1.5年，求它还能使用2.电子元件的寿命X(年）服从λ＝3的指数分布例4(1)求该电子元件寿命超过2年的概率。年的概率为多少？由已知得X的概率密度为指数分布具有无记忆性，即3、正态分布定义1：若随机变量X的概率密度函数为则称X服从参数为的正态分布或高斯分布，f(x)的图形：高斯应用最广的分布十八世纪由高斯推广高尔顿钉板试验这条曲线就近似我们将要介绍的正态分布的密度曲线.特点：(48页）(1)

f(x)关于(2)

f(x)在(3)定义2、称X服从标准正态分布，性质：思考：怎样证明定理：

若，则证明：求的分布函数例1、解：=0.8413.=0.0668.若结论：例2.某电子元件的寿命服从求:1)电子元件寿命在250个小时以上的概率2)求k,使元件寿命在之间的概率为0.9解:设X=“电子元件的寿命”2)由题意,查表，例3.解:求:及查表得

公共汽车车门的高度是按男子与车门顶头碰头机会在0.01以下来设计的.设男子身高X～N(170,62),问车门高度应如何确定?

解

设车门高度为hcm,按设计要求即0.99故查表得例4、因为分布函数非减例5.在电压不超过200伏,在200-240伏和超过240伏三种情况下,某种元件损坏的概率分别为0.1,0.001和0.2.假设电压求:1)该元件损坏的概率2)该元件损坏时,电压在200-240伏的概率解:设分别表示电压不超过200伏,在200-240伏,超过240伏＝“元件损坏”由题意由全概公式由题意由全概公式2)由贝叶斯公式例5.0此时由图可知所以查表可得故则称点为标准正态分布的上α分位点。定义

设，若满足条件4、上α分位点随机变量的函数的分布

第二章第七节回顾：随机变量的分布(1)离散型的分布律(2)由分布函数进而给出了连续型随机变量的概率密度函数随机变量的函数设X是一个随机变量，Y是X的函数，Y=g(X),则Y也是一个随机变量,本节的任务：已知X的分布，求随机变量Y的分布(分布律或分布密度)一、离散型随机变量的函数的分布二、连续型随机变量的函数的分布如例1.

已知X的分布律为求Y=2X－1，Z=X2＋1的分布律。解⑴Y的分布律为一、离散型随机变量函数的分布…⑵故Z的分布律为Z=X2＋1总结⒈设互不相等时，则由可得⒉当，则把那些相等的值合并，并根据概率的可加性把对应的概率相加得到Y的分布律。Ⅰ.分布函数法（一般的函数都适用）⑴先求的分布函数⑵

再利用分布函数与概率密度之间的关系求的概率密度为二、连续型随机变量的函数的分布区域找对至关重要解⑴先求Y=2X+8

的分布函数设随机变量X

具有概率密度：例2试求Y=2X+8

的概率密度

得Y=2X+8

的概率密度为分布函数法求解中结合作图法会更简单清晰如何讨论y的取值。

例3：解:

由题意可知的取值范围为设随机变量X

具有概率密度求

Y=X2

的概率密度.解：(1)分布函数例4(2)关于y复合求导，Ⅱ.公式法（只适用于单调函数）定理设⑴随机变量X具有概率密度处处可导,且是严格单调函数则Y=g(X)是连续型随机变量，其概率密度为其中h(y)是g(x)的反函数，α与β具体题中再定。注：