第3章点线面投影

物体的三面投影视图主讲：刘林教授机械制图主讲人：刘林教授第3章正投影法基本知识第3章正投影法基本知识

3.1

三面投影体系与物体的三视图3.2

点的投影

3.3

直线的投影3.4

平面的投影

第3章正投影法基本知识

本章学习目标了解三面投影体系；

了解点、直线、平面的投影特性。本章学习内容三面投影体系的建立；

点的三面投影及其规律，两点的相对位置；各种位置直线的投影特点，直角三角形法求直线的实长，两直线的相对位置；

各种平面的表示法，各种位置平面的投影特点，直线与平面、平面与平面的相对位置。

第3章正投影法基本知识

本章学习重难点正投影的概念、三面视图。点的三面投影，点的投影规律；重影点。特殊位置直线的投影特性；一般位置直线的投影；直线与点的相对位置；使用直角三角形法求直线的实长及倾角；两直线平行、两直线相交、两直线交叉、两直线垂直。投影面垂直面、投影面平行面、一般位置平面的投影、平面上取点和直线、直线和平面的相对位置、平面和平面的相对位置。1.投影的产生物体在光线的照射下，就会在地面或墙壁上出现物体的影子。光线也称为投射线。投射线通过物体，向选定的平面投射，并在该平面上得到图形的方法称为投影法。

一、投影法3.1

三面投影体系与物体的三视图2.

投影法的分类

投影法可以分为中心投影法和平行投影法。投射线物体投影面投影投射中心中心投影法

投射中心、物体、投影面三者之间的相对距离对投影的大小有影响。中心投影法主要用于绘制建筑物的透视图。

度量性较差投影大小与物体和投影面之间的距离无关。度量性较好工程图样多数采用正投影法绘制。平行投影法正投影法斜射影法投射线垂直投影面投射线倾斜投影面

仅有单面投影不能唯一确定几何元素的空间位置及物体的真实形状。

1.单面投影

投影面空间形体1空间形体2空间点二、三投影面体系与物体的三视图2.

三投影面体系

三个相互垂直的投影面V、H和W构成三投影面体系。

将空间分为八个区域称为分角，分别称第一、二……八分角。

我国国家标准优先采用第一角法。

3.

三视图的形成

物体分别对三个投影面投影，形成三面投影。

在画物体投影图时，需将三个投影面展开到同一平面上。V面保持不动，H面绕OX轴向下旋转90°与V面重合，W面绕OZ轴向右旋转90°与V面重合。三视图正面投影，即物体从前向后投射所得的投影，称为主视图；

水平投影，即物体从上向下投射所得的投影，称为俯视图；侧面投影，即物体从左向右投射所得的投影，称为左视图。在作三视图时，可不画出投影轴和投影面边框线。三、三视图的投影规律及方位对应关系

主、俯视图——共同反映物体的长度方向的尺寸，简称“长对正”；主、左视图——共同反映物体的高度方向的尺寸，简称“高平齐”；俯、左视图——共同反映物体的宽度方向的尺寸，简称“宽相等”。例1已知物体的轴测图，选择正确的三面投影视图。（a）（b）（c）（d）（a）一、点的三面投影

空间点用大写拉丁字母如A、B、C…表示；

水平投影用相应小写字母a表示；

正面投影用相应小写字母加一撇a’表示；

侧面投影用相应小写字母加二撇a”表示。3.2

点的投影二、点的三面投影规律aa’⊥OX，a’az=aayh=XA（A到W面的距离）a’a”⊥OZ，a’ax=a”ayw=ZA（A到H面的距离）aax=a”az=YA（A到V面的距离）点的投影

作图时，为了表示aax=a”az的关系，常用过原点O的45°斜线或以O为圆心的圆弧把点的H面与W面投影关系联系起来。例2已知点A的两面投影，求其第三面投影。(1)

过原点O作45°辅助线；(2)

过a作平行于OX轴的直线与45°辅助线相交一点；(3)

过交点作垂直于OYW的直线；(4)

该直线与过a’且平行于OX轴的直线相交于一点，即为a”

。解题步骤：例3

已知点A（11，8，15），求它的三个投影。●a15811aXaZayhZYwXYhO3、过O点作45°辅助线，过

ayh点作垂直于OYh轴的直线，交辅助线于一点，再由此点向上作垂直于OYw轴的直线，与过aZ点的垂直于OZ轴的直线交于点a。1、由原点O向左沿OX轴量取11mm得aX

;

由原点O向前沿OYh轴量取8mm得ayh;

由原点O向上沿OZ轴量取15mm得aZ。2、过aX作垂直于OX轴的直线，在此直线上自aX向前量取8mm得a，向上量取15mm得a。4、a

、a

、a即为点A（11，8，15）的三面投影。45°●a●●a三、点的相对位置及重影点

两点的相对位置指两点在空间的上下、前后、左右位置关系。判断方法：x

坐标大的在左；

y

坐标大的在前；z

坐标大的在上。A点在B点的上、后、左1.

点的相对位置C点在E点之上；C点在E点之左。

C点在E点之后；1.

点的相对位置例4

已知A点在B点右10mm、后5mm、下10mm，求A点的三个投影。A()ZYHXYWOb'b''ba'a''a10,10,201015102020302.

重影点

若两点在某一投影面的投影重合在一起，则此两点称该投影面的重影点。不可见投影一般加括号表示

A、B为基于H面的重影点。由于B点在A点的下方，所以B点的水平投影看不见。思考：基于V面、W面的重影点的投影。例5

判断下列各点的可见性。c'd'a'Xa''d''c''ZYWYHb'b''Oabdc

和

点在V投影面上重影，

点可见。

和

点在H投影面上重影，

点可见。

和

点在W投影面上重影，

点可见。CDc’ABaADd”()()()

两点可以确定一条直线，将两点的同名投影用直线连接，就得到直线的同名投影。3.3

直线的投影1.直线对一个投影面的投影特性直线垂直于投影面，投影积聚为一点。积聚性直线平行于投影面，投影反映线段实长。

显实性直线倾斜于投影面，投影比空间线段短。

类似性一、直线的投影特性2.直线在三个投影面中的投影特性

其投影特性取决于直线与三个投影面之间的相对位置。若直线与投影面平行，称为投影面平行线；若直线与投影面垂直，称为投影面垂直线；若直线与三个投影面都倾斜，称为一般位置直线。1.

一般位置直线α为直线对H面的倾角，且ab=Abcosα；β为直线对V面的倾角，且a’b’=Abcosβ；γ为直线对W面的倾角，且a”b”=Abcosγ。

一般位置直线对三个投影面都倾斜二、

各种位置直线的投影2.

投影面平行线——水平线

水平投影ab=AB；正面投影a’b’‖OX，侧面投影a”b”

‖OYW，都不反映实长；

ab与OX夹角反映β实际大小，ab与OYH夹角反映γ实际大小。实长平行于H面，对V、W面倾斜

2.

投影面平行线——正平线

正面投影a’b’=AB；水平投影ab‖

OX，侧面投影a”b”

‖OZ，都不反映实长；

a’b’与OX夹角反映α实际大小，a’b’与OZ夹角反映γ实际大小。

实长平行于V面，对H、W面倾斜2.

投影面平行线——侧平线平行于W面，对H、V面倾斜

侧面投影a”b”=AB；水平投影ab‖OYH，正面投影a’b’

‖OZ，都不反映实长；

a”b”与OYW夹角反映α实际大小，a”b”与OZ夹角反映β实际大小。

实长直线AB与哪个投影面平行？名称水平线(‖H面，对V、W面倾斜)正平线(‖V面，对H、W面倾斜)侧平线(‖W面，对H、V面倾斜)投影图投影特性1.水平投影ab=AB；2.正面投影a’b’‖OX，侧面投影a”b”

‖OYW，都不反映实长；3.ab与OX夹角反映β实际大小，ab与OY夹角反映γ实际大小。1.正面投影a’b’=AB；2.水平投影ab‖OX，侧面投影a”b”

‖OZ，都不反映实长；3.a’b’与OX夹角反映α实际大小，a’b’与OZ夹角反映γ实际大小。1.侧面投影a”b”=AB；2.水平投影ab‖OYH，正面投影a’b’

‖OZ，都不反映实长；3.a”b”与OYW夹角反映α实际大小，a”b”与OZ夹角反映β实际大小。投影面平行线的投影特性

水平投影a(b)积聚成一点；正面投影a’b’⊥OX，侧面投影a”b”⊥OYW，a’b’=

a”b”=AB。

3.

投影面垂直线——铅垂线垂直于H面，平行于V、W面

实长实长积聚

正面投影a’(b’)积聚成一点；水平投影ab⊥OX，侧面投影a”b”⊥OZ，ab=a”b”=AB。3.

投影面垂直线——正垂线垂直于V面，平行于H、W面

积聚实长直线AB垂直于哪个投影面?实长

侧面投影a”(b”)积聚成一点；水平投影ab⊥OYH，正面投影a’b’⊥OZ，ab=a’b’=AB。

3.

投影面垂直线——侧垂线垂直于W面，平行于H、V面

积聚实长直线AB垂直于哪个投影面?实长名称铅垂线(H面，‖V、W面)正垂线(V面，‖H、W面)侧垂线(W面，‖H、V面)投影图投影特性1.水平投影a(b)积聚成一点；2.正面投影a’b’⊥OX，侧面投影a”b”⊥

OYW，a’b’=a”b”=AB。1.正面投影a’(b’)积聚成一点；2.水平投影ab

⊥OX，侧面投影a”b”⊥

OZ，ab=a”b”=AB。

1.侧面投影a”(b”)积聚成一点；2.水平投影ab

⊥

OYH，正面投影a’b’⊥OZ，ab=a’b’=AB

投影面垂直线的投影特性例6

画出直线AB的第三投影，判断它与投影面的相对位置。ZXYWb''a''oabYH1)AB是（）线2)AB是（）线3)AB是（）线4)AB是（）线5)AB是（）线6)AB是（）线a'b'b''a''XYWYHXYWYHooa''b''ZZaba'b'b''a''ZXYWYHoZXYWYHa‘‘(b'')oaba'b'b''a''ZXYWYHo例6

画出直线AB的第三投影，判断它与投影面的相对位置。ZXYWb''a''oabYH1)AB是（正平）线2)AB是（铅垂）线3)AB是（侧平）线4)AB是（水平）线5)AB是（侧垂）线6)AB是（一般位置）线a'b'b''a''XYWYHXYWYHooa''b''ZZaba'b'b''a''ZXYWYHoZXYWYHa‘‘(b'')oaba'b'b''a''ZXYWYHoa'b'b(a)a'b'aba'b'ab

一般位置直线的三个投影，其长度都小于直线的实长；也不能反映其与投影面的夹角。

如何求一般位置直线的实长?直角三角形法三、直角三角形法三、直角三角形法

过点A作AB0

∥ab，则ΔABB0为直角三角形；

AB0=ab，

BB0=Zb－Za，即A、B两点Z坐标之差。AB实长与H面夹角例7

已知直线AB的水平投影及直线对H

面的倾角α=30°，点A的正面投影a’，求AB的正面投影和实长。(1)

在水平投影上，过点b作ab的垂线；AB的实长(2)

以α=30°作直角三角形abB0；

(3)

根据bB0和点的投影规律可求得b1’、b2’，连接a’b1’，

a’b2’即得直线AB的正面投影。例8

已知直线AB的正面投影及直线对V面的倾角β=30°，点A的水平投影a，求AB的水平投影和实长。(1)

在正面投影上，过点b'作a'b'的垂线；(2)

以β=30°作直角三角形a'b'B0；

(3)

根据b'B0和点的投影规律可求得b1、b2，连接ab1，

ab2即得直线AB的水平投影。AB的实长点在直线上，则点的投影必在直线的同面投影上。四、直线上的点1.

直线上的点

反之，若点的投影在直线的同面投影上，则点必在直线上；

根据点在直线上这一属性就可以判断点是否在直线上。

点C在直线AB上点D、E不在直线AB上ee’点分直线定比定理

直线上的点分直线为定比，其点的投影分直线的投影为空间相同的比例。BC：CA=

b’c’：c’a’=bc：ca2.

点分直线成定比例9

已知点K在直线EF上，及点K的水平投影k，求正面投影k’。efefXk

Okk1f1作图步骤：1.

过e任作一直线ef1=e’f’；2.

连接ff1,形成三角形

eff1

；3.

过k作直线与

ff1

平行，与ef1

交于点k1；4.

在e’f’上取e’k’=ek1，k’为所求。例10

在线段AB上取一点K，使AK=15mm，求K的投影k、k’。OXa'b'ab15AKkk'五、两直线的相对位置两直线的相对位置有三种情况：平行、相交、交叉。当两直线平行则两直线同面投影均相互平行；

反之，若两直线同面投影平行，则该两直线平行。直线AB∥CD

1.

平行两直线例12

试判断图中CD与AB是否平行？

但侧面投影a”b”

与c”d”相交。AB与CD不平行

作出第三面投影来判断。

虽然ab∥cd，并且a’b’∥c’d’，

若两直线相交，两直线的同面投影也相交，且交点符合点的投影规律。交点连线kk’⊥OX轴2.

相交两直线例13已知直线AB与CD相交，求CD的水平投影。c'b'k'a'd'ckabd空间两直线既不平行也不相交，称该两直线为交叉两直线，交叉两直线的同面投影可能相交，但其交点并不是空间交点的投影，而是重影点。3.

交叉两直线直线AB和CD是否相交?

“交点”不符合点的投影规律，两直线不相交。例14判断直线AB与CD的相对位置。a'b'b''a''ZXYWYHOabc'd'c''d''cda'b'c'd'Xa'b'c'd'abcda'b’(d’)c'a'b'c'd'ZXYWYHOZXYWYHOa(b)cdabcda'b'c'd'abcd1)AB和CD

2)AB和CD

3)AB和CD

XOOXO4)AB和CD

5)AB和CD

6)AB和CD

例14判断直线AB与CD的相对位置。a'b'b''a''ZXYWYHoabc'd'c''d''cda'b'c'd'Xa'b'c'd'abcda'c'a'b'c'd'ZXYWYHOZXYWYHOadabcda'b'c'd'abcd1)AB和CD

2)AB和CD

3)AB和CD

XOOXO4)AB和CD

5)AB和CD

6)AB和CD

平行交叉相交交叉交叉交叉b’(d’)(b)c例15作直线KL，与AB和CD相交，与EF平行。a'(b')d'c'cdabe'f'efOXk'l'kl六、直角投影定理

互相垂直的两直线，如果其中一条线平行于某一投影面时，两直线在该投影面上的投影也相互垂直。

AB⊥BC

DE⊥EF

BC∥H面，ab

∥

H面，又AB⊥BC，AB⊥平面BCcb，则ab⊥bc。DE∥V面则d’e’⊥e’f’例16

已知直线AB为正平线，且直线AC垂直于直线AB，求作直线AC的两面投影。

(1)

作a’c’⊥a’b’；(2)

由c’作OX轴的垂线；(3)

连接ac。

此题有多少个解？无数解例17

求点A到直线BC的距离。(1)

由点a作bc的垂线ad，交bc于点d

；(2)

由点d作OX轴的垂线，交b’

c’于点

d’；连接a’d’；(3)

运用直角三角形法，求出AD的实长。

距离分析题图可知，BC为水平线

例18

求点P到正平线AB的距离。p'k'b'a'XakpbPK实长O例19

完成等腰三角形ABC的投影，其中点C在直线BD上。a'c'd'b'k'backdXOP空间平面可用下列任意一组几何元素来表示。

不在同一直线上的三点P一直线和直线外一点P相交两直线PP平行两直线任意平面图形一、平面的表示法3.4

平面的投影平面对于三投影面的位置可分为三类：投影面垂直面

投影面平行面一般位置平面特殊位置平面垂直于某一投影面，倾斜于另两个投影面平行于某一投影面，垂直于另两个投影面与三个投影面都倾斜

正垂面

侧垂面

铅垂面

正平面

侧平面

水平面二、各种位置平面的投影一般位置平面对三个投影面都是倾斜的；三面投影都反映为类似形。

1.

一般位置平面的投影2.

投影面垂直面的投影——铅垂面水平投影积聚成一直线；正面投影和侧面投影均为原形的类似形。积聚

垂直于一个投影面与另外两个投影面倾斜的平面称为投影面垂直面。

垂直H面的平面称铅垂面。βγ2.

投影面垂直面的投影——正垂面垂直V面的平面称正垂面。

正面投影积聚成一直线，水平投影和侧面投影均为原形的类似形。

积聚平面垂直于哪个投影面?αγ2.

投影面垂直面的投影——侧垂面垂直W面的平面称侧垂面。

侧面投影积聚成一直线，水平投影和正面投影均为原形的类似形。积聚平面垂直于哪个投影面?αγ名称铅垂面(H面)正垂面(V面)侧垂面(W面)投影图投影特性1.水平投影积聚成一直线；2.正面投影和侧面投影均为原形的类似形。1.正面投影积聚成一直线；2.水平投影和侧面投影均为原形的类似形。1.侧面投影积聚成一直线；2.水平投影和正面投影均为原形的类似形。投影面垂直面的投影特性3.

投影面平行面的投影——水平面水平投影反映实形，正面投影积聚成一直线，并平行于OX轴，平行于一个投影面与另外两个投影面垂直的平面称为投影面平行面

平行H面的平面称水平面。侧面投影积聚成一直线，并平行于OYW轴。实形3.

投影面平行面的投影——正平面正面投影反映实形，水平投影积聚成一直线，并平行于OX轴，平行V面的平面称正平面。侧面投影积聚成一直线，并平行于OZ轴。实形平面平行于哪个投影面?3.

投影面平行面的投影——侧平面侧面投影反映实形，水平投影积聚成一直线，并平行于OYH轴，平行W面的平面称侧平面。正面投影积聚成一直线，并平行于OZ轴。实形平面平行于哪个投影面?名称水平面(‖H面)

正平面(‖V面)

侧平面(‖W面)

投影图投影特性1.水平投影反映实形；2.正面投影和侧面投影积聚成一直线。1.正面投影反映实形；2.水平投影和侧面投影积聚成一直线1.侧面投影反映实形；2.水平投影和正面投影积聚成一直线。投影面平行面的投影特性1.

平面上的点和线点在平面上的条件是：

若点在平面上的某一直线上，则点在该平面上。三、平面上的点和线、平面上的投影面平行线

点M在直线AB上，点N在直线BC上。1.

平面上的点和线直线在平面上的条件是：

若一直线通过平面上任意两已知点，则直线在该平面上。

点M在直线AB上，点N在直线BC上，因此，直线MN在平面ABC上。1.

平面上的点和线

若一直线通过平面上任一已知点，且平行于该平面内任一条不通过该点的已知直线，则直线在该平面上。

直线在平面上的条件是：2.

平面上的投影面平行线属于平面且又平行于一个投影面的直线称为平面上的投影面平行线。平面上平行于H面的直线称为平面上的水平线；

平面上平行于V面的直线称为平面上的正平线；

平面上平行于W面的直线称为平面上的侧平线。

例20

已知ΔABC内一点K的水平投影k，求其正面投影k’。解：通过在平面上作正平线求k’。

(1)在平面的水平投影△

abc上，过点k作OX轴的平行线12；

(2)

分别由1、2作OX轴的垂线与a’b’、b’c’分别交于1’和2’

；(3)

再从点k作垂线与直线1’2’相交于k'。例20

已知ΔABC内一点K的水平投影k，求其正面投影k’。解：运用点在平面上的条件求k’。(1)

在平面的水平投影△

abc上，连ak与bc相交于点3；

(2)

由点3作垂线与b’c’相交于点3’；

(3)

连a’3’与过k所作的垂线交于k’。例21

已知三角形ABC上一点K，其X坐标为25，其Z坐标为10，求它的投影。b'XOa'c'd'k'e'bdacek2510例22

完成平面四边形的正面投影。

由于四边形ABCD为一平面图形，因此可以利用它的对角线确定点D的正面投影d’，从而完成四边形的正面投影。例23

包含点A作一正垂面P（用三角形表示），并使P与H面的倾角为30°。XOaa作图步骤：(1)

先过a’作一与OX成30゜任意长的线段p’

，再在水平投影面上任作一三角形p与正面投影的线段p’对应。(2)

本题还可以先过a’向左作一与OX成30゜任意长的线段，作为三角形的正面投影，然后再作其对应的水平投影。30°pppp30°c()d()b例24

以水平线AB为一边作一正方形ABCD与H面垂直。分析：(1)

因为正方形ABCD为铅垂面，其水平投影有积聚性，所以正方形ABCD的水平投影与ab重合；(2)

正方形的四边相等，平行于H面两边的水平投影ab、cd反映实长，另外垂直于H面两边的正面投影a’d’、b’c’也反映实长。XOa'b'ad'c'作图步骤：(1)

先分别过a’b’作a’b’的垂线a’d’=b’c’=ab；(2)

再连接c’、d’，即得正方形ABCD的正面投影a’b’c’d’。例24

以水平线AB为一边作一正方形ABCD与H面垂直。c()d()bXOa'b'ad'c'3.

平面内的最大斜度线平面内垂直于各投影面的平行线的直线称为平面内的最大斜度线AB是对H面的最大斜度线平面对H面的最大斜度线的水平投影必垂直于该平面内的水平线的水平投影α为平面P对H面的倾角

例25

试求平面△ABC对H、V面的倾角α、β。解：欲求平面△ABC对H面的倾角α，也就是求△ABC平面内对H面的最大斜度线与H面的夹角α。1.在△ABC平面内作一水平线，并作出水平线的垂线，即为对H面的最大斜度线

2.

利用直角三角形法求出它对H面的倾角α

用同样的方法可以求出平面△ABC对V面的倾角β1.

直线与平面平行若空间一直线平行于属于平面的任一直线，则该直线与该平面平行。

直线

CD平行于属于平面P的直线AB，

则CD与平面P平行。四、直线与平面、平面与平面平行例26

已知直线DE∥△ABC，试完成直线DE的水平投影。解：因为直线DE∥△ABC，所以在△ABC中必可找到一条直线与DE平行。该直线的投影也必然与DE的同面投影平行。例27

试判别直线DE是否平行于△ABC。

解：如果在△ABC所确定的平面内能找到平行于直线DE的直线，则直线DE∥△ABC，否则直线DE与△ABC不平行。

故直线ED与△ABC不平行。de∥cf，

但d’e’与c’f’不平行，2.

平面与平面平行若属于一平面的相交两直线与属于另一平面的相交两直线对应平行，则两平面平行。

平面P中的L1与平面Q中的L3平行，平面P中的L2与平面Q中的L4平行，可知平面P与平面Q平行。例28

过点K作平面与△ABC平行。解：要作一平面与△ABC平行，只要过点K作两条相交直线与属于三角形的两条相交直线（边）对应平行就可以了。

过点K作直线KF∥AC，过点K作直线KE∥AB，故平面KEF与△ABC平行。例29

判断△ABC与△DEF是否平行。

解：若在△ABC上任作一对相交直线，在△DEF上可以作出一对相交直线与其对应平行，则两三角形互相平行，否则不平行。

所以△ABC与△DEF不平行。

由于△ABC中水平线AⅡ与△DEF中水平线FⅢ不平行，1.

直线与平面相交直线与平面相交的交点是直线与平面的共有点，且交点又是直线投影可见与不可见的分界点。

五、直线与平面、平面与平面相交1.

直线与平面相交五、直线与平面、平面与平面相交例30

求直线AB与△

CDE的交点。直线AB为铅垂线，其水平投影积聚为一点a(b)

，交点K的水平投影k与a(b)重影。

(2)

判别可见性；(1)

求交点K；重影点

点Ⅱ与点Ⅲ在V面上是重影点，

其中点Ⅱ在CE上，点Ⅲ在AK上，

通过H面投影判断Ⅱ在Ⅲ之前，从而CE在AK之前。例31

求直线AB与△

CDE的交点。ΔCDE是铅垂面，

三角形的水平投影有积聚性，

交点K的水平投影k重合在Δcde

上，k点同时又在直线ab上。(2)

判别可见性；(1)

求交点K；

点Ⅰ、Ⅱ在V面上是重影点，

通过1和2的位置可判断空间点Ⅰ在点Ⅱ的前方，

因此可判断KB在KE的前方，k’b’可见。2.

平面与平面相交平面与平面相交的交线是两平面共有线，交线既在第一平面上又在第二平面上，且交线又是两平面可见与不可见的分界线。

例32

求作相交两平面△ABC与△

DEF的交线。△

DEF为水平面

，其正面投影有积聚性，交线KL的正面投影k’l’与d’e’f’

重合。(2)

判别可见性。(1)

求交线；重影点重影点例33

两平面相交例34

求作平面ABCD与△

EFG的交线。四边形ABCD为铅垂面，其水平投影有积聚性，交线KL的水平投影kl必与其重合。(2)

判别可见性。(1)

求交线；重影点

点Ⅰ、Ⅱ在V面上是重影点，通过1和2的位置可判断空间点Ⅰ在点Ⅱ的前方，

因此可判断DC在KG的前方，k’g’的部分被平面遮挡。因△DEF是一个铅垂面，所以它的H面投影具有积聚性。例35

求△ABC与△DEF两个平面的交线1.ab与△def的交点为k，bc与△def的交点为m；2.由于m’位于△d’e’f’图形外

，因此两平面的交线为KL；

3.

判别可见性。3.

一般位置直线与一般位置平面相交由于一般位置直线和一般位置平面的投影都没有积聚性，所以它们相交的交点的投影不能在图上直接确定需要采用辅助平面法e’例36

求直线DE与平面△ABC的交点K。

可过直线DE作铅垂面P然后求出辅助平面P与平面△ABC的交线MN，直线DE与交线MN的交点为K，则K点即为所求1.包含直线DE作辅助铅垂面P，求出辅助平面P与△ABC的交线MN