材料力学梁的应力

材料力学第6章弯曲内力上一章学习了弯曲内力——弯矩、剪力（计算内力、画内力图）目的：为解决弯曲强度“铺路”

地球上的人造结构，弯曲现象最常见，太重要了！如何解决弯曲强度问题？为此，请回顾一下以往的强度问题拉压、扭转——由应力算强度（已清楚）

弯曲——应力（不了解）

如何求出弯曲应力？弯曲弯矩M剪力Q？拉（压）轴力N应力内力变形形式构件扭转扭矩T应力从内力出发，亦即

由弯曲内力求弯曲应力弯曲问题的整个分析过程：弯曲内力弯曲应力

弯曲变形强度问题刚度问题§6-1梁的正应力§6-2梁的正应力强度条件及其应用§6-3梁的合理截面形状及变截面梁§6-4矩形截面梁的切应力§6-7考虑材料塑性时梁的强度计算§6-5工字型截面及其他形状截面梁的切应力§6-6梁的切应力强度条件１.纯弯曲

梁的横截面上只有弯矩而无剪力的弯曲（横截面上只有正应力而无剪应力的弯曲）。剪力“Fs”——切应力“τ”；弯矩“M”——正应力“σ”2.横力弯曲（剪切弯曲）aaFBAFMxFsxFaFF

梁的横截面上既有弯矩又有剪力的弯曲（横截面上既有正应力又有剪应力的弯曲）。一、纯弯曲和横力弯曲的概念§6-1梁的正应力二、纯弯曲梁横截面上的正应力公式（一）变形几何关系：由纯弯曲的变形规律→纵向线应变的变化规律。1、观察实验：abcdabcdMM2、变形规律：⑴横向线：仍为直线，只是相对转动了一个角度且仍与纵向线正交。⑵纵向线：由直线变为曲线，且靠近上部的纤维缩短，靠近下部的纤维伸长。3、假设：（1）弯曲平面假设：梁变形前原为平面的横截面变形后仍为平面，且仍垂直于变形后的轴线，只是各横截面绕其上的某轴转动了一个角度。凹入一侧纤维缩短突出一侧纤维伸长

根据变形的连续性可知，梁弯曲时从其凹入一侧的纵向线缩短区到其凸出一侧的纵向线伸长区，中间必有一层纵向无长度改变的过渡层--------称为中性层

。中间层与横截面的交线－－中性轴（2）纵向纤维假设：梁是由许多纵向纤维组成的，且各纵向纤维之间无挤压。

梁的弯曲变形实际上是各截面绕各自的中性轴转动了一个角度，等高度的一层纤维的变形完全相同。ＢAabcd4、线应变的变化规律：dxyoo1abcdＢ１A１在弹性范围内，（二）物理关系：由纵向线应变的变化规律→正应力的分布规律。应力的分布图：MZyσmaxσmax中性轴的位置？为梁弯曲变形后的曲率yxMZ（中性轴Z轴为形心轴）（y轴为对称轴，自然满足）yzAσ——弯曲变形计算的基本公式（三）、静力方面：由横截面上的弯矩和正应力的关系→正应力的计算公式。弯曲正应力计算公式。

弯矩可代入绝对值，应力的符号由变形来判断。当M>0时，下拉上压；当M<0时，上拉下压。梁的抗弯刚度。ÞzEIyxMZyzAσ将上式代入式得：——弯曲变形计算的基本公式Wz

——截面的抗弯截面系数最大正应力的确定⑴截面关于中性轴对称⑵截面关于中性轴不对称几种常见截面的IZ和WZ圆截面矩形截面空心圆截面空心矩形截面工程中常见的平面弯曲是横力弯曲三、正应力公式的推广6-2

实验和弹性力学理论的研究都表明：当跨度l与横截面高度h之比l/h>5（细长梁）时，纯弯曲正应力公式对于横力弯曲近似成立。弯曲正应力公式可推广应用于横力弯曲和小曲率梁1m2mBA截面关于中性轴对称截面关于中性轴不对称(最大拉应力、最大压应力可能发生在不同的截面内)横力弯曲梁上的最大正应力FAYFBYBAl=3mq=60kN/mxC1m30zy180120K1.C截面上K点正应力2.C截面上最大正应力3.全梁上最大正应力4.已知E=200GPa，C截面的曲率半径ρFSx90kN90kN1.求支反力（压应力）解：xM2.C截面上K点正应力例BAl=3mFAYq=60kN/mFBYxC1m30zy180120KFSx90kN90kN3.C截面最大正应力C

截面弯矩xMBAl=3mFAYq=60kN/mFBYxC1m30zy180120KFSx90kN90kN4.全梁最大正应力最大弯矩xMBAl=3mFAYq=60kN/mFBYxC1m30zy180120KFSx90kN90kN5.C截面曲率半径ρC截面弯矩xM例：求图示悬臂梁的最大、压应力。已知：№10槽钢解：1）画弯矩图2）查型钢表：3）求应力：σcmaxσtmax§6-2梁的正应力强度条件及其应用一、梁的正应力强度条件利用上式可以进行三方面的强度计算：①已知外力、截面形状尺寸、许用应力，校核梁的强度②已知外力、截面形状、许用应力，设计梁的截面尺寸③已知截面形状尺寸、许用应力，求许可载荷

例：主梁AB，跨度为l，采用加副梁CD的方法提高承载能力，若主梁和副梁材料相同，截面尺寸相同，则副梁的最佳长度a为多少？解：主梁AB的最大弯矩副梁CD的最大弯矩由即得

例：图示梁的截面为T形，材料的许用拉应力和许用压应力分别为［σt］和［σc］，则y1和y2的最佳比值为多少？（Ｃ为截面形心）解：

例：图示外伸梁，受均布载荷作用，材料的许用应力［σ］=160MPa，校核该梁的强度。解：由弯矩图可见该梁满足强度条件，安全

例：图示三种截面梁，材质、截面内Ｍmax、σmax全相同，求三梁的重量比。并指出哪种截面最经济。解：由题意可知即

例：图示铸铁梁，许用拉应力[σt

]=30MPa，许用压应力[σc

]=60MPa,Ｉz=7.63×10-6m4，试校核此梁的强度。C截面：B截面：

例：简支梁受均布荷载，在其Ｃ截面的下边缘贴一应变片，已知材料的E=200GPa，试问该应变片所测得的应变值应为多大？CL8TU14解：C截面下边缘的应力C截面的弯矩应变值一、合理安排梁的受力，减小弯矩。ABF/LMmax

=FL/8P/LMmax

=FL/400.2L0.2L§6-3梁的合理截面形状及变截面梁合理安排梁的受力，减小弯矩。FABL/2L/2Mmax=PL/4F/2Mmax

=FL/8L/4L/4F/2F合理截面形状应该是截面面积A较小，而抗弯截面模量大的截面。二、合理安排梁的截面，提高抗弯截面模量。竖放比横放要好。1）放置方式：2）抗弯截面模量/截面面积截面形状圆形矩形槽钢工字钢3）根据材料特性选择截面形状

对于铸铁类抗拉、压能力不同的材料，最好使用T字形类的截面，并使中性轴偏于抗变形能力弱的一方，即：若抗拉能力弱，而梁的危险截面处又上侧受拉，则令中性轴靠近上端。如下图：采用变截面梁，如右图：[]ssº=)()()(maxxWxMx三、设计等强度梁(变截面梁)。得：等强度梁复习弯曲正应力中性层EIz

抗弯刚度强度条件：曲率变化量中性轴用z表示yWz抗弯系数§6-4矩形截面梁的切应力裂纹发生在枕木的中间如何解释？力学模型qFS图M图若弯矩引起的破坏应当如何？剪力引起的破坏剪力的分布——切应力5-4弯曲切应力（剪应力）及强度条件一、矩形截面梁：假设所有的都平行于yFdxdxFSMFSM+dMbhbh假设同一高度y处相等M+dMMdxdFS’yyzN2N1A*---矩形截面梁横截面上任一点的切应力计算公式。---横截面上的剪力；---截面对中性轴的惯性矩；---截面的宽度；---面积对中性轴的静矩；---过欲求应力点的水平线到截面边缘间的面积。或：byFSzdx圆形截面梁：薄壁圆环截面：工字形截面：hmax二、其它形式截面梁：§6-6梁的切应力强度条件注意：对于受弯曲变形的构件，一般采用正应力强度条件进行设计，再采用剪应力强度条件进行校核。