弹塑性力学第二章

第二章

应力分析

§2-1内力和外力§2-2应力矢量和应力张量§2-3应力分量转换公式§2-4主应力和应力主方向、应力张量的不变量§2-5最大正应力和剪应力§2-6应力张量的分解

§2-7平衡微分方程、力的边界条件

2/6/20231§2-1内力和外力1.1外力：

物体承受外因而导致变形，外因可以是热力

作用、化学力作用、电磁力作用和机械力作用；另一方面从量纲分类，外力主要为体积力和表面积力。我们讨论的外力是属于机械力中的体力和面力的范围。

2/6/20232§2-1内力和外力1.外部体力：作用在物体单位体积（质量）x1Px3x2VF量纲：力/（长度）3。

求V中任意点P上承受体力采用极限方法：

上的力,如重力（或惯性力）2/6/20233§2-1内力和外力2.外部面力：作用在物体外部表面力其中

为沿三个坐标轴分量。x1Px3x2SF如静水压力、土压力等。量纲：力/（长度）2。求物体表面上任意一点P上受面力仍采用极限方法：2/6/20234§2-1内力和外力其中

为沿三个坐标轴分量。2/6/20235§1-1内力和外力1.2内力：

物体内部抵抗外力而产生相互作用的力。在材力和结力中以N、M、Q形式出现，但在弹力中常以应力来描述。2/6/20236§2-2应力和应力张量2.1应力矢量当变形体受外力作用时，要发生变形，同时引起物体内部各点之间相互作用力（抵抗力）——内力，为了描述物体内任意点P的内力可采取如下方法：过P点设一个截面S将V分为两部分：（相互有作用力与反作用力）2/6/20237§2-2应力矢量和应力张量FnSPV+F+F-n+n-V+V-S+S-一部分：V+、S+、外法线

、合力

；

另一部分：V-、S-、外法线

、合力

；

截面上的合力：

或

2.1应力矢量2/6/20238§2-2应力矢量和应力张量FnSPV+2.1应力矢量截面上P点上的内力情况，在V+上S面围绕P点取S，

S上合力为。应力矢量（作用在V+）：

应力矢量与P点位置有关，与截面方向（

方向）有关。2/6/20239§2-2应力矢量和应力张量量纲为力/（长度）2。

当截面不变时，应力矢量具有一个方向性。取V-：作用在V-上。

当P点的截面与坐标面平行时，

2/6/202310§2-2应力矢量和应力张量x2x3x1t(n)-t(3)-t(2)-t(1)fnPCBA定理：过P点以单位外法线截面上的应量、、力矢量是作用在通过P点坐标平面的应力矢的线性函数、其系数是的方向余弦，2/6/202311§2-2应力矢量和应力张量即：x2x3x1t(n)-t(3)-t(2)-t(1)fnPCBA2/6/202312§2-2应力矢量和应力张量则

设证：

可得

x2x3x1t(n)-t(3)-t(2)-t(1)fnPCBA2/6/202313§2-2应力矢量和应力张量而

代入上式，并忽略高阶微量

根据微元体的平衡，得

x2x3x1t(n)-t(3)-t(2)-t(1)fnPCBA2/6/202314§2-2应力矢量和应力张量或

展开为

或x2x3x1t(n)-t(3)-t(2)-t(1)fnPCBA2/6/202315§2-2应力矢量和应力张量2.2应力张量

每个坐标面上的应力矢量又可以沿三个坐标面分解三个分量，比如坐标面法线为x1

t1x1(x)x3(z)x2(y)1112132/6/202316§2-2应力矢量和应力张量沿三个坐标面的应力矢量由九个元素(分量)表示,这九个分量组成一个二阶张量：

2/6/202317§2-2应力矢量和应力张量这九个分量的两个下标：第一个表示应力矢量作用面的法线方向，第二个下标表示应力矢量的分量的方向。

应力分量的正负：在正面上应力分量指向坐标正向为正，反之为负；在负面上的应力分量指向坐标负向为正，反之为负。2/6/202318下面说明一下[]为张量：

柯西公式（Canchyformula）

由商法则可知

§2-2应力矢量和应力张量[]为一二阶张量

2/6/202319

斜面上的应力矢量沿正交坐标系分解

§2-2应力矢量和应力张量[]为一二阶张量，

2/6/202320根据柯西公式

斜面上的应力矢量沿正交坐标系分量：

§2-2应力矢量和应力张量2/6/202321§2-2应力矢量和应力张量定理：作用在过P点任一截面的应力矢量完全由该点的应力张量线性表出。量关系

且

是以三个坐标分量表示.柯西公式表示了应力张量与任一斜面上应力矢2/6/202322§2-2应力矢量和应力张量其中，斜面法向应力：

应力矢量也可沿斜面法向和切向分解2/6/202323§2-2应力矢量和应力张量2/6/202324§2-2应力矢量和应力张量2/6/202325作业：

1。在物体中一点P的应力张量为

，求（1）过P点且外法线为的面上的应力矢量；

（2）的大小；

（3）与的夹角

（4）求的法向分量；

（5）切向分量。

2/6/202326作业：2.在P点两斜面法线向量和，证：（用指标符号证）。2/6/202327§2-3应力分量转换公式

当物体受外力作用下，其内力和变形也是一定的，但这些物理量随着选取的直角坐标系不同他们的分量是不一样的，但不同坐标下它们（分量）之间转换应遵循一定的规律。2/6/202328§2-3应力分量转换公式

3.1两个不同直角坐标系基向量的转换：

（旧）第一个直角坐标系：

（新）第二个直角坐标系：

x3x1x2x’1x’2x’32/6/202329§2-3应力分量转换公式新坐标基矢量由旧坐标基矢量表示

x3x1x2x’1x’2x’32/6/202330§2-3应力分量转换公式两边点积

2/6/202331§2-3应力分量转换公式与的方向余弦，共有九个元素。

或2/6/202332§2-3应力分量转换公式九个元素用矩阵表示

则新坐标基矢量用旧基矢量表示：

2/6/202333§2-3应力分量转换公式同理旧坐标基矢量用新坐标基矢量表示

注意

九个元素用矩阵表示

2/6/202334§2-3应力分量转换公式

旧坐标基矢量用新坐标基矢量表示：

2/6/202335§2-3应力分量转换公式3.2矢量（向量）的坐标转换

x3x2x1o2/6/202336§2-3应力分量转换公式用矩阵表示

2/6/202337§2-3应力分量转换公式3.3应力（二阶）张量的坐标变换

2/6/202338§2-3应力分量转换公式3.3应力（二阶）张量的坐标变换

2/6/202339§2-3应力分量转换公式3.4笛卡尔张量定义一般式

如物理量(r个下标）

两个不同笛卡尔直坐标下表示满足

则T为r阶张量。

2/6/202340§2-4主应力和应力主方向、应力张量的

不变量由柯西公式，已知一点的应力状态（或）,在xi

笛卡尔坐标系中，则任何方向的应力矢量

4.1主应力和应力主方向2/6/202341§2-4主应力和应力主方向、应力张量的

不变量这里

2/6/202342随着变化，也变化，

但肯定存在一个使,即或

§2-4主应力和应力主方向、应力张量的

不变量2/6/202343展开

（1）

§2-4主应力和应力主方向、应力张量的

不变量2/6/202344即

不全为零

有关的三次方程

§2-4主应力和应力主方向、应力张量的

不变量2/6/202345应力的第一不变量

应力的第二不变量

§2-4主应力和应力主方向、应力张量的

不变量（2）

2/6/202346应力的第三不变量

§2-4主应力和应力主方向、应力张量的

不变量2/6/202347应力的第一不变量

§2-4主应力和应力主方向、应力张量的

不变量（2）

由（2）求出三根分别为，代回（2）式

应力的第二不变量

2/6/202348应力张量第三不变量：

求出主应力后代回（1），并注意的三个方向余弦可决定每个主应力的主方向§2-4主应力和应力主方向、应力张量的

不变量2/6/202349

几点说明：（1）（因为由线性代数知实对称阵的特征值为实数）三个主应力均为实数，§2-4主应力和应力主方向、应力张量的

不变量2/6/202350（2）当有一个重根时，如，则与垂直平面内任何方向均为主应力，为（3）当，任意方向均为主方向，称为球形应力或静水应力状态。§2-4主应力和应力主方向、应力张量的

不变量2/6/202351§2-5最大正应力和剪应力

5.1最大正应力

一点P的三个主应力

可以取xi

轴为主轴，则

2/6/202352§2-5最大正应力和剪应力

5.1最大正应力

任意斜面的上应力矢量

，2/6/202353§2-5最大正应力和剪应力2/6/202354§2-5最大正应力和剪应力5.2最大剪应力

条件驻值问题

2/6/202355§2-5最大正应力和剪应力求出最大的方向

引入拉氏乘子：

2/6/202356§2-5最大正应力和剪应力莫尔园

：

max1213min22/6/202357§2-6应力张量的分解2/6/202358§2-6应力张量的分解为应力球张量；

为应力偏斜张量。

应力球张量是一种平均的等向应力状态（均匀拉压），对于各向同性材料，它引起体积膨胀（或收缩）2/6/202359§2-6应力张量的分解

应力偏斜张量表示（实际应力状态减去应力球形张量）了材料的形状畸变

实验证明，对于金属等材料，体积膨胀基本是纯弹性的。

而实验证明塑性变形基本是畸变变形，所以在塑性力学中非常重要。2/6/202360§2-7平衡微分方程、力的边界条件

§2—§6节较系统（不同侧面）讨论了一点应力张量（状态），这一节将讨论之间的关系：平衡微分方程和力的边界条件。

2/6/202361§2-7平衡微分方程、力的边界条件

7.1平衡微分方程

当变形体受外力作用包括体力和面力，研究某点P的应力与体力之间关系。取有限变形体V，考虑有限变形体总平衡（合力）fFx1x3x2oPr2/6/202362§2-7平衡微分方程、力的边界条件或

——将面积分转化为体积分

利用高斯定理

fFx1x3x2oPr2/6/202363§2-7平衡微分方程、力的边界条件即

在V上（对任意体积）

——平衡微分方程

2/6/202364§2-7平衡微分方程、力的边界条件用指标符号写成

或

2/6/202365§2-7平衡微分方程、力的边界条件

有限变形体V对坐标原点o取矩

而

除了合力等于零外，有限体还需对任意点取力矩为零（力矩平衡）：fFx1x3x2oPr2/6/202366§2-7平衡微分