弹性力学第十二章复变函数法

第十二章复变函数法一些弹性力学问题采用复变函数求解比较方便，例如对于由椭圆、双曲线以及其它曲线构成物体边界的平面向题，对于含有裂纹平面问题等，利用曲线坐标及复变函数方法求解十分适宜。应用复变函数的理论和方法，例如保角变换等，可使弹性力学问题求解的范围进一步扩大，本章只限于介绍复变函数方法在弹性力学中的一些简单应用。第一节复变函数的基本概念第二节应力函数,应力的表示

第三节位移的表示第四节应力边界条件第五节园域问题的解第六节多连通域内应力与位移的单值条件

第七节保角映射与与曲线坐标第八节含圆孔口的无限大板问题第九节椭圆孔口问题第一节复变函数的基本概念复变函数的表示分别为f(z)的实部和虚部。复数的表示共轭复数复变函数的共轭函数的表示一般，而应将所有i,换为-i.复变函数的概念和性质复数对应平面上的点，用复数和复变函数来描述和解平面问题是十分自然的。复变函数w=f(z)

将平面z上的点变换为平面w上的点，将平面z上的图形变换为平面w上的图形，将平面z上的一个区域变换为平面w上的的一个区域。第一节复变函数的基本概念复变函数w=f(z)

是单值函数时，当z平面上的一点绕行一周，回到原来的位置时，对应于w平面上的点也绕行一周，回到原来的位置。当z平面上一点再绕行一周，回到原来的位置时，对应于w平面上的点也再绕行一周，回到原来的位置。复变函数z=f(s)

是多值函数时，当s平面上的一点绕行一周，回到原来的位置时，对应于z平面上的点并不绕行一周，回到原来的位置，而是到达新的一点。当z平面上的一点再绕行一周，回到原来的位置时，对应于z平面上的点从新的一点出发，画出新的曲线，到达另一个新的点的位置。我们通常用到的多值函数是对数函数lnz.当应力和位移由复变函数组成时,为了保证他们的单值性,应考虑这一点。当z为单位圆周上的点时，绕行一周后，z的值重复，而对数函数lnz值不重复，也就是多值函数。解析函数的概念和性质在一个区域D的每一个点处都可微的函数，叫在这个区域内的解析函数。性质1如果函数在一区域内是解析的，那么对于所有的在这个区域内而且具有两个公共端点的那些曲线C来说，积分的值相同。性质2如果函数在一个单连通区域内是解析的，并且在一个区域D内是连续的，那么沿区域D的边界C所取的积分等于零。对于多连通区域来说如果函数在一个区域内是解析的，并且在一个区域D内是连续的，那么沿区域D的边界C所取的积分等于零，但在通过这个区域的边界时，其通过的方向要使区域D始终保持在同一个侧。DC性质3如果函数f(z)在一区域内是解析的，并且在一个区域D内是连续的，那么柯西公式成立其中C是区域D的边界，其通过的方向是使区域D始终保持在其左面的。并z点应包含在区域D内,也就是说柯西积分被积函数,以z为奇点.具体例子请看mathcad中柯西积分的例子.另外有性质4函数为解析函数的必要条件是柯西－黎曼条件当这些偏导数连续时，也是充分条件。根据柯西－黎曼条件，可知解析函数的实部和虚部都是调和函数:解析函数的实部和虚部是共轭的，其等值线相互垂直。性质5设f(z)在以z=a为圆心的圆内和圆周上是解析的，那么对圆内所有的点有泰勒级数表示：设f(z)在a点不是解析的，则称为该点为一个奇点，如除该点外解析，则称为孤立奇点。如果奇点的形式如下，则成为极点（φ(z)解析

）：设f(z)在z=a处有一m阶极点，但在以z=a为圆心的圆内和圆周上其他点上是解析的，那么对圆内所有的点有罗朗级数表示：设f(z)在z=a处有一阶极点，但在以z=a为圆心的圆内和圆周上其他点上是解析的，那么对圆内所有的点有罗朗级数表示：于是有另由包含a在内的柯西积分可得残数定理如果柯西积分包含a,b两个单极点在内，则有复变函数w=f(z)

为解析函数时，在它所实现的条件下，若在两曲线交点处的导数不为零，则变换前后曲线在该交点处的夹角的大小和旋转方向保持不变，这种变换称为保角映射。应力函数的复变函数表示在第二章中已经证明，在平面问题里，如果体力是常量，就一定存在一个应力函数φf，它是位置坐标的重调和函数，即第二节应力函数,应力的表示

现在，引用复变数z=x＋iy和z＝x－iy以代替实变数x

和y。注意可以得到变换式又可以进而得到变换式于是可将方程式变换成为令由可知，P是调和函数可由解析函数的实部得到，设f(z)为解析函数，可令由令将上式对z积分，得到令即将上式对z积分，得到注意上式左边的重调和函数φf是实函数，可见该式右边的四项一定是两两共轭，前两项已经是共轭的，后两项也应是共轭的：令即得有名的古萨公式它也可以再改写为于是可见，在常量体力的平面问题中，应力函数φf总可以用复变数z的两个解析函φ1(z)和χ(z)来表示，称为K-M函数。在这里我们研究了重调和函数的结构，具体的函数应由问题的边界条件得到。根据应力分量和应力函数的关系可得到应力分量的复变函数表示由可得另又有可得和显然,φ1(z)及ψ1(z)具有同样的因次［力][长度]-1。只要已知φ1(z)及ψ1(z)，就可以把上述公式右边的虚部和实部分开，由虚部得出τxy，由实部得出σy-σx。

就是应力分量的复变函数表示。当然也可以建立公式，把σx、σy

、τxy三者分开用φ1(z)和ψ1(z)来表示，但那些公式将比较冗长，用起来很不方便。现在把位移分量用复变函数φ1(z)和ψ1(z)来表示。假定这里讲的是平面应力问题。由几何方程及物理方程有第三节位移的表示可得其中根据注意到同理将上两式分别对x及y积分，得其中的f1及f2为任意函数。将上式代入式其中根据将得到于是可以得到刚体位移

f1(y)＝u0－ωy，f2(x)＝v

0＋ωx不计刚体位移，即得到得到由式(*)将结果代入式(*),两边除以1+ν而得这就是位移分量的复变函数表示。如果已知φ1(z)及ψ1(z)，就可以将该式右边的实部和虚部分开，从而得出u和v。上述公式是针对平面应力情况导出的。对于平面应变情况，须将式中的E改换为E/(1－ν2)，ν改换为ν/(1－ν)。应力和位移公式是柯洛索夫首先导出的。

四、应力边界条件为了求得边界上各结点处的φ值，须要应用应力边界条件，即：代入上式，即得：

l1=cos(N,x)=dy/ds,l2=cos(N,y)=-dx/ds,于是，前式可改写为：由图可见，由此得：

设A是边界上的固定点，B为任意一点，则从到边界上的合力，可用上式从A点到B点对s积分得到：将式把应力函数加上一个复常数，并不影响应力。因此，可把应力函数A处的值设为零，于是对于边界上的σ有代入，整理得：这就是应力边界条件。或只要我们要求出满足边界条件的两个解析函数，问题就得以解决，但要求出满足边界条件的两个解析函数，这仍旧是困难的，克罗索夫和穆斯赫利什维利(Kolosoff-Mushelishvili)根据边界条件和柯西积分解决了不少复杂的问题，在这下面我们将作一简要的介绍，通过一些例子，说明方法的应用。五、园域问题的解设圆的半径为R，在圆周L上给定外力，于是为已知函数，其中现在的问题是求两个解析函数，使在L上满足以2πi(σ-z)来除上式，这里z在圆内，并在L上积分得R现在逐个计算上式各积分，根据柯西积分公式有由于，在圆内解析，故可令由于代入上式得这里使用了现在来求常数a1，由a1＝φ’(0)，在对上式求导后，令z=0代入后得取a1的虚部为零，并不会影响应力值，可得最后得到以2πi(σ-z)来除上式，这里z在圆内，并在L上积分得现在逐个计算上式各积分，利用现在来求，将下式取共轭得求得的解析函数中，去掉与应力无关的常数得其中例边界上两点受水平拉力F的作用，于是FFxyδσ1σ2R可得根据计算可得Fxδσ1σ2r1φ1φ2r2z代入应力计算公式，并令最后可得六、多连通域内应力与位移的单值条件应力确定后，应力函数仍可差一个任意的线性函数，这时K-M函数并未完全确定，对于单连通区域，可以通过选取适当坐标系等办法，使得K-M函数完全确定。但对于多连通区域仍不能完成确定，本节讨论K-M函数在多连通区域内满足单值的条件。设有多连通区域，有一内边界C，设在边界上C的外力矢量已给定。通常的多值函数是对数函数，我们设DC前面的函数的导数是单值的，但他们本身是多值的，当z绕周边一周时，函数值ln(zk)产生一个增量2πi,于是φ1(z)和ψ1(z)的增量分别是2πiAk和2πiBk,这时应力主矢量按照公式左边将得到应力主矢量(沿整个边界），右边得到一增量：这里zk为内部边界内的任意一点，φf1和ψf1为单值的解析函数（全纯函数），而Ak，Bk为常数：结合可得到也将得到增量，根据单值性这个增量应为零：这时位移按照公式当有m个内边界时，取于是无限大多连体当多连体的外边界趋于无限远时，该多连体成为无限大的多连体，除上述条件外，还需考虑无限远的极限情况。以坐标原点为圆心，作充分大的圆周sR，将所有的内边界包围在其内，对于sR之外，弹性体之内的任意一点，可得到在sR之外的解析函数于是可写为其中Px,Py为m个边界上沿x,y方向的面力之和。将多连通区域内的全纯函数φ*f1和ψ*f1展开为罗郎级数：于是由于在无穷远处的应力分量应该是有限的，级数中n≥2的系数应为零。同样从中，由于在无穷远处的应力分量应该是有限的，应有其中略去了和应力无关的常数项。其中β与应力计算无关，可取为零，而于是这时当z→∞时，可得同样当z→∞时，从中，可得可以从中求得相应的系数，并可以看到在无限远处，应力的分布是均匀的。系数为设有平面ζ，复变函数z=w(ζ)将z平面上的区域变换为平面ζ上的一个区域，通常我们选择ζ平面为一个单位圆，下面我们首先推导在ζ平面上的应力函数及应力分量的表达式。七、保角映射与与曲线坐标为方便起见，我们仍然用φ1(ζ),ψ1(ζ)

,来表示φ1*(ζ),ψ1*(ζ)。于是有由此得到位移的表示式应力边界条件成为记在映射下边界条件成为其中除直角坐标系外，我们也可以使用其它曲线坐标，特别是正交曲线坐标，在正交曲线坐标ξ、η中，位移分量可以表示为uξ、uη，uξ为ξ增加方向上的位移，uη为η增加方向上的位移，设在某一点，正交曲线坐标ξ、η的方向由x,y的方向转动λ，位移分量可以根据直角坐标系下的位移分量根据坐标变换公式得到，有下列的结果坐标变换ξηλxyo上式可以写为复数的形式设有平面ζ，复变函数z=w(ζ)将z平面上的区域变换为平面ζ上的一个区域，同时将z平面上的一对垂直的方向，变换为ζ平面上的一对垂直的方向，但是转过了一个角度λ，如果在ζ平面选用极坐标，转过的角度λ为由下式给出证明如下。设沿ρ轴方向给z点以位移dz，而对应点ζ沿径线方向得到位移dζ，于是有可得两边取共轭，得到zρθλxyo于是可以得到保角变换后极坐标下的位移分量在正交曲线坐标ξ、η中，应力分量可以表示为σξ、ση和τξη，σξ为ξ＝常数的曲线上的正应力，ση为η＝常数的曲线上的正应力，τξη为这两曲线上的切应力，这些分量可以根据直角坐标系下的应力分量根据坐标变换公式得到，有下列的结果：可以写成特别在极坐标时于是可以得到保角变换后曲线坐标下的应力分量注意到注意上面式子中的导数应按复合函数求导进行。如果不作保角变换，仅仅改用极坐标，这时极坐标下的应力分量为在极坐标中，如物体的周界为圆，圆心与极坐标的原点重合，这时边界上的外力与应力有关系由前面两式相减可得在圆孔问题中将采用该边界条件。八、含圆孔口的无限大板问题以坐标原点为圆心，作充分大的圆周sR，将所有的内边界包围在其内，对于sR之外，弹性体之内的任意一点，可得到改写为其中对于孔边上的点将上列各式代入就得到极坐标下圆周边界上的级数形式的应力边界条件。设周边上的外力为已知，并将其展开为傅氏级数比较两边eikφ和e-ikφ的系数，可得由无限远处的应力条件，可得由位移的单值条件有及可求得再由可求得至此，全部系数均已求出。例设孔周边为均匀压力p，无限远处的应力为零，于是有于是可求得最后得到根据上述方法，圆孔口无限大板的一般问题都可以得到解决。现考察一无限大板，板中有一椭圆孔，其长半轴和短半轴分别为a和b。九椭圆孔在均匀受拉板中的问题这里Oab作变换该映射将椭圆外区域映射到单位圆外，这时有在映射下边界条件成为以2πi(σ-ζ)来除上式，这里ζ在圆外，并在圆周L上积分得在这里先设孔边无外力作用，即作用于圆周线上外力的合力为零。设无限远处的应力也为零。这时成为将其代入边界条件中去，并逐项积分。现在逐个计算上式各积分，根据柯西积分公式有由于在单位圆上有在圆内解析，根据柯西积分公式有相似可得到于是得到以2πi(σ-ζ)来除上式，这里ζ在圆外，并在单位圆周L上积分得现在来求，将下式取共轭得由于有可得到于是在孔边无外力作用，无限远处的应力为零时我们取得到当孔边有外力作用，无限远处的应力不为零时，在变换下将其代入边界条件得到其中这时的边界条件与先前的边界条件形式上类似，通过相同的步骤，可得到得到例设孔的周边不受力作用，在无限远处受大小为P的拉应力，其方向与x轴成θ角，这时有把上述结果带回上面K-M函数的表达式，我们就得到了带椭圆孔无限大板最一般条件下的K-M函数的表达式。yOabxθP在极坐标时在φ=θ无限远处时于是yOabxθP于是这时有其中各部分的柯西积分,根据残数定理和和柯西积分公式其中前两式计算如下代入得到最后得到利用他们来计算应力分量转换为极坐标应力分量在边界上在时这时，最大值在处达到其中称为应力集中因数，可以看到b越小，即孔越窄，应力集中因数越大，当b趋于零时，椭圆孔蜕化为一个长为2a的裂缝，应力集中因数将成为无限大，对此的详细分析将在断裂力学中讨论。采用椭圆曲线坐标

z=c

coshζζ＝ξ＋iη坐标变换将平面上的ξ＝ξ0变换为椭圆，椭圆的半径设为a,b，则有

a=ccosh

ξ0

b=c

sinh

ξ0c和ξ0可从中求得。附椭圆孔在均匀受拉板中的问题（曲线坐标解法）xy=常数=常数当当ξ＝常数，η从零到2π时，椭圆上的一点绕椭圆一周，位移和应力分量的单值性要求，这些分量在η方向上是以2π为周期的。现考察一无限大板，均匀受拉力S,板中有一椭圆孔，其半径为a和b，孔边无外力作用。其边界条件为:在无限远处，σx=σy=σξ=S，τξη=0在孔边ξ＝ξ0σξ=τξη=0O由z=ccosh

ζ可得取φ(z)=Ac

sinh

ζ，θ(z)=Bc2ζ

而ξ→∞时，ctanhζ=1,于是可得可得A

=S/2而ξ→∞时，sinhζ=→∞,于是可得并由于是在无限远处，ση－σξ=

0，τξη=0ση=σξ=S，τξη=0于是在无限远处的边界条件得到满足。xy=常数=常数由可得在孔边ξ＝ξ0令就可得到满足了