弹性力学 第4章(1,2,3节)

1第4章平面问题的极坐标解答弹性力学

ElasticityChapter4.Solutionsofplaneproblemsinpolarcoordinates4.1极坐标下的平衡方程一、极坐标与直角坐标系Pxyoyxr直角坐标P(x,y)极坐标P(r，)r－向径，－极角求解平面问题时，对于圆，楔，扇型构件，因为极坐标使其边界与坐标线一致，因而使边界条件简单，使问题易于求解。4.2几何方程与物理方程4.3应力函数与相容方程4.4坐标变换式4.5轴对称问题4.6圆环和圆筒4.7压力隧洞4.8应力集中4.9半平面体受集中力4.10半平面体受分布力4.1平衡方程4.1平衡方程二、极坐标中应力与体力分量研究构件在极坐标中的受力状态：取一微元体［用一对r坐标线和一对j坐标线］记号：径向应力：(正应力)(剪应力)符号规定和直角坐标的情况相同。环向应力：(正应力)(剪应力)应力分量体力分量体力的径向投影：体力的切向投影：4.2几何方程与物理方程4.3应力函数与相容方程4.4坐标变换式4.5轴对称问题4.6圆环和圆筒4.7压力隧洞4.8应力集中4.9半平面体受集中力4.10半平面体受分布力4.1平衡方程4.1平衡方程4.1极坐标下的平衡方程三、平衡微分方程极坐标下的平衡微分方程可以通过坐标变换直接由直角坐标下的平衡微分方程得到。为了加深对极坐标下的应力应变的理解，这里仍旧由单元体的平衡来推导。研究对象：微元体厚度为1四边长度分别为:rdj,(r+dr)dj,dr,dr体力为4.2几何方程与物理方程4.3应力函数与相容方程4.4坐标变换式4.5轴对称问题4.6圆环和圆筒4.7压力隧洞4.8应力集中4.9半平面体受集中力4.10半平面体受分布力4.1平衡方程4.1平衡方程4.1极坐标下的平衡方程整理，略去高微量，除以r

dr

dj，利用剪应力互等定理，有：4.2几何方程与物理方程4.3应力函数与相容方程4.4坐标变换式4.5轴对称问题4.6圆环和圆筒4.7压力隧洞4.8应力集中4.9半平面体受集中力4.10半平面体受分布力4.1平衡方程4.1平衡方程4.1极坐标下的平衡方程三、平衡微分方程同理平衡微分方程：

4.2几何方程与物理方程4.3应力函数与相容方程4.4坐标变换式4.5轴对称问题4.6圆环和圆筒4.7压力隧洞4.8应力集中4.9半平面体受集中力4.10半平面体受分布力4.1平衡方程4.1平衡方程4.1极坐标下的平衡方程三、平衡微分方程（4-1）4.2极坐标中的几何方程及物理方程一、极坐标中的应变分量与位移分量1、应变分量：2、位移分量uj–径向位移ur-环向位移4.2几何方程与物理方程4.3应力函数与相容方程4.4坐标变换式4.5轴对称问题4.6圆环和圆筒4.7压力隧洞4.8应力集中4.9半平面体受集中力4.10半平面体受分布力4.1平衡方程4.2几何方程与物理方程二.几何方程（1）位移分两步来分析研究平面弹性体在极坐标下的变形urA'AdrPyj0xdjrB'p'B各点坐标为各点位移列表点径向位移环向位移000PAB第一步：PA、PB只有径向位移（不考虑环向位移）取径向线段PA=dr取环向线段PB=rdjPAP’A’PBP’B’4.2几何方程与物理方程4.3应力函数与相容方程4.4坐标变换式4.5轴对称问题4.6圆环和圆筒4.7压力隧洞4.8应力集中4.9半平面体受集中力4.10半平面体受分布力4.1平衡方程4.2几何方程与物理方程4.2极坐标中的几何方程及物理方程ur由径向位移产生的应变分量：

径向线PA的正应变：(a)

环向PB的正应变：(b)0BPP'A'B'jxydjrdrAB1点径向位移环向位移000PAB

径向线PA的转角：

(c)环向线PB的转角：(d)故剪应变:(e)β4.2几何方程与物理方程4.3应力函数与相容方程4.4坐标变换式4.5轴对称问题4.6圆环和圆筒4.7压力隧洞4.8应力集中4.9半平面体受集中力4.10半平面体受分布力4.1平衡方程4.2几何方程与物理方程第二步：PA、PB只有环向位移（不考虑径向位移）jdrP'A'B'droxyuA2P''A''B''A1000点径向位移环向位移4.2几何方程与物理方程4.3应力函数与相容方程4.4坐标变换式4.5轴对称问题4.6圆环和圆筒4.7压力隧洞4.8应力集中4.9半平面体受集中力4.10半平面体受分布力4.1平衡方程4.2几何方程与物理方程4.2极坐标中的几何方程及物理方程jdrP'A'B'droxyujA2P''A''B''A14.2几何方程与物理方程4.3应力函数与相容方程4.4坐标变换式4.5轴对称问题4.6圆环和圆筒4.7压力隧洞4.8应力集中4.9半平面体受集中力4.10半平面体受分布力4.1平衡方程4.2几何方程与物理方程4.2极坐标中的几何方程及物理方程000点径向位移环向位移径向线P‘A‘线应变：环向P‘B‘线应变：径向线P’A’转角：角A2P”A”环向线P‘B’的转角：

故，剪应变：（2）叠加后，总的径向正应变、环向正应变、剪应变为几何方程是由径向位移产生的环向应变；是由环向位移产生的刚体转动角度；4.2几何方程与物理方程4.3应力函数与相容方程4.4坐标变换式4.5轴对称问题4.6圆环和圆筒4.7压力隧洞4.8应力集中4.9半平面体受集中力4.10半平面体受分布力4.1平衡方程4.2几何方程与物理方程4.2极坐标中的几何方程及物理方程（4-2）三、

物理方程由于极坐标也是正交坐标系，故物理方程形式不变：平面应力：平面应变：4.2几何方程与物理方程4.3应力函数与相容方程4.4坐标变换式4.5轴对称问题4.6圆环和圆筒4.7压力隧洞4.8应力集中4.9半平面体受集中力4.10半平面体受分布力4.1平衡方程4.2几何方程与物理方程4.2极坐标中的几何方程及物理方程（4-3）见（4-4）4-3极坐标中的应力函数与相容方程1．极坐标下应力分量表达式4.2几何方程与物理方程4.3应力函数与相容方程4.4坐标变换式4.5轴对称问题4.6圆环和圆筒4.7压力隧洞4.8应力集中4.9半平面体受集中力4.10半平面体受分布力4.1平衡方程4.3应力函数与相容方程直角坐标系中，不计体力，应力分量与Airy应力函数的关系是现在，将径向r方向取为x轴，将切向j方向取为y轴，如图示。则有4-3极坐标中的应力函数与相容方程1．极坐标下应力分量表达式4.2几何方程与物理方程4.3应力函数与相容方程4.4坐标变换式4.5轴对称问题4.6圆环和圆筒4.7压力隧洞4.8应力集中4.9半平面体受集中力4.10半平面体受分布力4.1平衡方程4.3应力函数与相容方程将变换为对极坐标求导，并令j=0，就得出极坐标系中应力分量与应力函数的关系式。

4.2几何方程与物理方程4.3应力函数与相容方程4.4坐标变换式4.5轴对称问题4.6圆环和圆筒4.7压力隧洞4.8应力集中4.9半平面体受集中力4.10半平面体受分布力4.1平衡方程4.3应力函数与相容方程4-3极坐标中的应力函数与相容方程1．极坐标下应力分量表达式4.2几何方程与物理方程4.3应力函数与相容方程4.4坐标变换式4.5轴对称问题4.6圆环和圆筒4.7压力隧洞4.8应力集中4.9半平面体受集中力4.10半平面体受分布力4.1平衡方程4.3应力函数与相容方程4-3极坐标中的应力函数与相容方程所以，有1．极坐标下应力分量表达式4.2几何方程与物理方程4.3应力函数与相容方程4.4坐标变换式4.5轴对称问题4.6圆环和圆筒4.7压力隧洞4.8应力集中4.9半平面体受集中力4.10半平面体受分布力4.1平衡方程4.3应力函数与相容方程4-3极坐标中的应力函数与相容方程1．极坐标下应力分量表达式继续进行求导，有得出4.2几何方程与物理方程4.3应力函数与相容方程4.4坐标变换式4.5轴对称问题4.6圆环和圆筒4.7压力隧洞4.8应力集中4.9半平面体受集中力4.10半平面体受分布力4.1平衡方程4.3应力函数与相容方程4-3极坐标中的应力函数与相容方程1．极坐标下应力分量表达式得出同理4.2几何方程与物理方程4.3应力函数与相容方程4.4坐标变换式4.5轴对称问题4.6圆环和圆筒4.7压力隧洞4.8应力集中4.9半平面体受集中力4.10半平面体受分布力4.1平衡方程4.3应力函数与相容方程4-3极坐标中的应力函数与相容方程1．极坐标下应力分量表达式得出同理4.2几何方程与物理方程4.3应力函数与相容方程4.4坐标变换式4.5轴对称问题4.6圆环和圆筒4.7压力隧洞4.8应力集中4.9半平面体受集中力4.10半平面体受分布力4.1平衡方程4.3应力函数与相容方程4-3极坐标中的应力函数与相容方程1．极坐标下应力分量表达式最后，得出极坐标系下，应力分量与应力函数的关系式为