第三篇数学分支中的相关数学模型

第三篇数学分支中的相关数学模型§1高等数学相关模型

1.1卫星轨道长度1.2射击命中概率

1.3人口增长率

§2线性代数相关模型

2.1投入产出综合平衡分析2.2输电网络§3概率统计相关模型

3.1合金强度与碳含量3.2年龄与运动能力

3.3商品销售量与价格

§1高等数学相关模型问题1.1卫星轨道长度人造地球卫星轨道可视为平面上的椭圆.我国第一颗人造地球卫星近地点距地球表面439km，远地点距地球表面2384km，地球半径为6371km,求该卫星的轨道长度.分析卫星轨道椭圆的参数方程

椭圆长度

分别是长、短半轴

椭圆积分无法解析计算

输出MATLAB程序

functiony=x5(t)a=8755;b=6810;y=sqrt(a^2*sin(t).^2+b^2*cos(t).^2);t=0:pi/10：pi/2y1=x5(t);L1=4*trapz(t,y1)L2=4*quad(‘x5’,0,pi/2,le-6)L1=4.908996526785276e+004L2=4.908996531830460e+004输出求解梯形公式

辛普森公式评注问题1.2射击命中概率炮弹射击目标为一正椭圆形区域，当瞄准目标中心发射时，在众多因素影响下，弹着点与目标中心有随机偏差.分析设目标中心x=0,y=0,无法解析计算

设弹着点围绕中心成二维正态分布,且偏差在X方向和Y方向相互独立.若椭圆在X方向半轴长120m,Y方向半轴长80,设弹着点偏差的均方差在X和Y方向均为100m.求炮弹落在椭圆形区域内的概率.

则弹着点(x,y)概率密度函数炮弹命中椭圆形区域的概率求解：蒙特卡罗方法这是一种随机实验的方法，用它来计算定积分的原理可以从下面的直观例子得出。如图所示：投石算面积随机投点法从概率论的观点看上例，记投点的坐标为

每个坐标视为相互独立的、（0，1）取间内均匀分布的随机变量，简称（0，1）随机数。根据大数定律，事件“落在四分之一单位圆面积内”发生的频率（依概率）收敛于（）该事件发生的概率P，不妨写作，而P可以用积分表示为于是当

，可以用随机投点法作近似计算这里n是二维（0，1）随机数的总数，k是其中满足的数目。（0，1）随机数可以用计算机方便的产生。rand(1,n)产生n个（0，1）随机数，用于蒙特卡罗方法。重积分的计算：设是相互独立的（0，1）随机数，判断每个点是否落在域内，将落在域内的m个点记作,则求解：蒙特卡罗方法作变换以100(m)为1单位，则MATLAB程序

输出a=1.2;b=0.8;m=0;z=0;n=100000;fori=1:nx=rand(1,2);y=0;ifx(1)^2+x(2)^2<=1y=exp(-0.5*(a^2*P=0.3752,m=78.552x(1)^2+b^2*x(2)^2));z=z+y,m=m+1endendp=4*a*b*z/2/pi/n,m评注问题11.3人口增长率20世纪美国人口数据(106),

计算各年份人口增长率.记时刻t人口为x(t)，则人口相对增长率为分析记1900年为k=0

求解：数值微分三点公式

年增长率

2.201.661.461.021.041.581.491.161.051.04

评注问题2已知某地区20世纪70年代的人口增长率,且1970年人口为210（百万），试估计1980年的人口.记时刻t人口为x(t)，则人口增长满足微分方程分析记1970年为k=0

求解评注1980年该地区人口为230.2（百万）

数值积分梯形公式为算出瑞士的国土面积，首先对瑞士地图作如下测量：以由西向东方向为x轴，由南到北方向为y轴，选择方便的原点，并将从最西边界点到最东边界点在x轴上的区间适当地划分为若干段，在每个分点的y方向测出南边界点和北边界点的坐标，得到表中数据（单位mm）.习题：国土面积问题根据地图比例,18mm相当于40km，试由测量数据计算瑞士国土的近似面积，与它的精确值41288km比较.§2线性代数相关模型背景2.1投入产出综合平衡分析国民经济各个部门之间存在着相互依存的关系，每个部门在运转中将其他部门的产品或半成品经过加工（投入）变为自己的产品（产出）.投入产出综合平衡模型:根据各部门间的投入—产出关系，确定各部门的产出水平，以满足社会的需求.设国民经济仅由农业、制造业、和服务业三个部门构成，已知某年它们之间的投入产出关系、外部需求、初始投入等如表（产值单位为亿元）简化问题产出投入农业制造业服务业外部需求总产出农造业301045115200服务业2060/70150外部需求3511075总投入100200150说明假定每个部门的产出与投入是成正比的，由上表能够确定这三个部门的投入产出表投入农业制造业服务业农业0.150.100.20制造业0.300.050.30服务业0.200.300说明表中数字称为投入系数或消耗系数

假设系数是常数产出☞设有n个部门，已知投入系数，给定外部需求，建立求解各部门总产出的模型.☞如果今年对农业、制造业、服务业的外部需求分别为50，150，100亿元，三个部门总产出？

☞

模型可行：对于任意给定的、非负的外部需求,都能得到非负的总产出.为使模型可行,投入系数满足？

☞如果三个部门的外部需求分别增加1个单位，他们的总产出应分别增加多少？分析投入产出综合平衡分析①若有n个部门，记一定时期内第i个部门的总产出为xi，其中对第j个部门的投入为xij，满足的外部需求为di，则投入产出表每一行都满足

记第j个部门的单位产出需要第i个部门的投入为aij，在每个部门的产出与投入成正比的假定下，有记投入系数矩阵产出向量

需求向量

则

或

若I-A可逆，则

☜各部门总产出

MATLAB程序

a=[0.150.10.2;0.30.050.3;0.20.30];

d=[50150100];

b=eye(3)-a;

x=b\d,c=inv(b)

◈三部门总产出:139.2801,267.6056,208.1377亿元

◈外部需求分别增加1个单位时，总产出分别增加C=1.34590.25040.34430.56341.26760.49300.43820.43041.2167

部门关联系数

当对农业的需求增加1个单位时,农业、制造业、和服务业的总产出分别增加1.3459，0.5634，0.4382单位

☜模型可行若问题2.2输电网络一种大型输电网络可简化为电路

负载电阻线路内阻电源电压V

负载电流☞列出各负载上电流的方程☞设

☞讨论情况n=10,求

及总电流分析☞记

上的电流为根据电路中电流、电压关系,列出消和求电流方程

☞

求电流方程

☞

其中MATLAB计算电流程序

r=1;R=6;v=18;n=10;b1=sparse(1,1,v,n,1);b=full(b1);a1=triu(r*ones(n,n));a2=diag(R*ones(1,n));a3=-tril(R*ones(n,n),-1)+tril(R*ones(n,n),-2);a=a1+a2+a3;I=a\b;I0=sum(I)k0123456789105.99706.00002.00052.00001.33441.33330.89070.88890.59550.59260.39950.39510.27020.26340.18580.17560.13240.11710.10110.07800.08670.0520k111213141516171819200.03470.02310.01540.01030.00690.00470.00320.00230.00180.0015说明从n=10到n=20，I0几乎不变，I1-I5变化也很小

Ik+1差不多是Ik的2/3倍如果n增加到50,100?

可以得到类似的结论

证明Ik+1是Ik的2/3倍习题：种群的繁殖与稳定收获种群的数量因繁殖而增加，因自然死亡而减少，对于人工饲养的种群（比如家畜）而言，为了保证稳定的收获，各个年龄的种群数量应维持不变.种群因雌性个体的繁殖而改变，为方便起见以下种群数量均指其中的雌性.种群年龄记作当年年龄的种群数量记作，繁殖率记作（每个雌性个体一年繁殖的数量），自然存活率记作为一年的死亡率），收获量记作，则来年年龄的种群数量应为（1）若已知，给定收获量，建立求各年龄的稳定种群数量的模型（用矩阵、向量表示）。（2）设如要求为500，400，200，100，100,求。（3）使均为500，如何达到?解：（1）

为了保证稳定的收获，各个年龄的种群数量应维持不变。因此则，即§3概率统计相关模型问题3.1合金强度与碳含量合金的强度y(kg/mm)与其中的碳含量x(

%)有比较密切的关系，从生产中收集一批数据.求拟合函数y(x)，再用回归分析进行检验.x0.100.110.120.130.140.150.160.170.180.200.210.23y42.041.545.045.545.047.549.055.050.055.055.560.5分析描点作图☞y与x近似为线性,拟合y=ax+b.MATLAB程序

x=0.1:0.01:0.23;x=[x(1:9),x(11:12),x(14)];y=[42,41.5,45,45.5,45,47.5,49,55,50,55,55.5,60.5];pp=polyfit(x,y,1);xx=0.08:0.01:0.25;yy=polyval(pp,xx);plot(x,y,'r*',xx,yy)

拟合y=ax+ba=140.6194,b=27.0269

评注☞是否线性显著

☞有无异常点☞预测

程序hejinpolyMATLAB统计工具箱

多元线性回归◈b=regress(Y,X)

◈[b,bint,r,rint,stats]=regress(Y,X,alpha)Y,X为按列排列的数据说明b,bint为回归系数估计值和他们的置信区间

alpha为显著性水平（缺省时设定为0.05）stats包括R2，F，P值r,rint为残差及置信区间，可用rcoplot(r,rint)画图

合金强度与碳含量问题回归模型

☞回归模型与统计检验

MATLAB程序

x1=0.1:0.01:0.18;x=[x10.20.210.23]’;y=[4241.54545.54547.54955505555.560.5]’;x=[ones(12,1)x];[b,bint,r,rint,stats]=regress(y,x);b,bint,stats,rcoplot(r,rint)

b=27.0269140.6194bint=22.322631.7313111.7842169.4546stats=0.9219118.06700.0000

y=27.0269+140.6194x线性显著模型成立

☞有无异常点画残差分布图除第8个数据外其余残差的置信区间均包含零点第8个点应视为异常点，剔除后重新计算，可得

b=26.8968139.9043bint=24.133029.6606122.7939157.0148stats=0.9744342.12590.0000程序hejinre问题3.2年龄与运动能力将17至29岁的运动员每两岁一组分为7组，求年龄对这种运动能力的影响关系.多项式回归

年龄

17192123252729第一人

20.4825.1326.1530.026.120.319.35第二人

24.3528.1126.331.426.9225.721.3分析MATLAB散点图程序

每组两人测量其旋转定向能力.x=17:2:29;y1=[20.48,25.13,26.15,30.0,26.1,20.3,19.35];y2=[24.35,28.11,26.3,31.4,26.92,25.7,21.3];plot(x,y1,'+',x,y2,'+')axis([15301535])

应拟合一条二次曲线可利用ployfit一元多项式回归年龄与运动能力的二次模型MATLAB程序

x1=17:2:29;x=[x1,x1];y=[20.4825.1326.1530.026.120.319.3524.3528.1126.331.426.9225.721.3];[p,S]=polyfit(x,y,2);p

p=-0.20038.9782-72.2150a1=-0.2003a2=8.9782a3=-72.2150S是一个数据结构[Y,delta]=polyconf(p,x,S);Y得到x与y的拟合效果求解程序duo1统计检验y1=mean(y);rsquare=sum((Y-y1).^2)./sum((y-y1).^2),s=sqrt(sum((y-Y).^2)./12),rsquare=0.6980s=2.0831衡量拟合优劣的指标

问题3.3商品销售量与价格某厂生产电器的销售量y与竞争对手的价格x1和本厂的价格x2有关.在10个城市的销售记录☺建立y与x1和x2的关系式

x1元120140190130155175125145180150x2元10011090150210150250270300250y个10210012077469326696585分析☺对模型和系数进行检验☺若本厂售价160元，对手售价170元，预测销售量.画散点图

y与x2有较明显的线性关系，而y与x1之间的关系则难以确定，作几种尝试，用统计分析决定优劣.设回归模型☞MATLAB程