2022-2023学年上海市闵行区高一年级上册学期期末数学试题【含答案】

2022-2023学年上海市闵行区高一上学期期末数学试题一、填空题1．若集合，则___________．【答案】【分析】根据交集的定义即可求解.【详解】因为集合，由交集的定义可得：，故答案为：.2．观察函数的图像，写出它的值域为___________．【答案】【分析】根据函数图像和函数的值域的定义即可求解.【详解】根据函数图像，函数的的最大值和最小值分别为2和0，而且函数值取值不间断，所以它的值域为.故答案为：.3．已知a是正实数，若，则a的取值范围是___________．【答案】【分析】根据指数函数的单调性求解.【详解】若，则指数函数在定义域上单调递增，则不满足题意；若，则，不满足题意；若，则指数函数在定义域上单调递减，则满足题意，所以.故答案为:.4．历史上著名的狄利克雷函数，那么___________．【答案】1【分析】根据分段函数的解析式代入即可得出答案.【详解】因为，所以，.故答案为：1.5．若“”是“”的充分条件，则实数m的取值范围是___________．【答案】【分析】由充分条件的定义可得实数的取值范围【详解】由“”是“”的充分条件，知，故实数的取值范围为．故答案为：6．已知一元二次方程的两个实根分别为，且，则实数n的值为___________．【答案】【分析】利用一元二次方程根与系数的关系列出关于实数n的方程，解之即可得出答案.【详解】一元二次方程的两个实根分别为，所以，所以，解得.故答案为：.7．已知幂函数在区间上是严格减函数，且图象关于y轴对称，则满足条件的幂函数的表达式可以是___________（只需写出一个正确的答案）【答案】【分析】根据幂函数的性质即可求解.【详解】根据幂函数的性质，要使幂函数在上是严格减函数，则，又因为图象关于y轴对称，所以为偶函数，综上可知：为负偶数，所以满足条件的幂函数的表达式可以是，故答案为：.8．已知，且，则实数m的值为___________．【答案】45【分析】根据已知结合换底公式可得，，代入整理可得，即可得出结果.【详解】由可知，，显然.则，，所以，，则由可得，，所以.故答案为：45.9．已知，且，若不等式对任意恒成立，则实数k的最大值是___________．【答案】2【分析】根据绝对值三角不等式即可求解.【详解】，当且仅当时取等号，因此若不等式对任意恒成立，则，故最大值为2．故答案为：210．已知函数的表达式为，用二分法计算此函数在区间上零点的近似值，第一次计算、的值，第二次计算的值，第三次计算的值，则___________．【答案】##【分析】由已知可得，求出，，，可知零点在内，即可得出结果.【详解】因为，，根据二分法可得，，且，所以零点所在的区间为.所以.故答案为：.11．已知函数的值域为，则实数的取值范围是___________．【答案】【分析】分别讨论当时，的值域和当时，的值域，根据分段函数的值域取二者的并集，结合集合的并集运算即可求解.【详解】当时，在上单调递增，所以时，；当时，，①若，则在上单调递增，在上单调递减，则时，，即时，，又时，，此时，函数的值域为，不满足题意，舍去；②当时，函数此时值域为，不满足题意，舍去；③当时，在上单调递减，则时，，即时，，因为函数的值域为，又时，；则时，且，不等式解得：，不等式等价于时，，设（），因为在上单调递增，在上是增函数，所以在上单调递增，又，所以时，等价于，即，则不等式解得：，所以时，的解集为，综上：实数的取值范围是，故答案为：.12．已知函数和的表达式分别为．设．现有如下四个命题：①对任意实数，且，都有；②存在实数，且，使得；③存在实数，且，使得；④对任意实数a，存在，且，使得．其中的真命题有___________．（写出所有真命题的序号）【答案】②③【分析】根据的定义，可分别构造函数和，求导，利用单调性即可结合选项求解.【详解】对于①，若，则在定义域内单调递增，由于为二次函数，所以不可能在定义域上单调递增，故错误，对于②，记，则，当时，此时，此时有两个不相等的实数根，不妨设为且，此时当，，故在单调递减，故存在时，满足，故②正确，当，此时，此时，故此时在定义域内单调递增，故至多一个根，因此不存在，使得，故④错误，对于③，记，则，当时，此时，此时有两个不相等的实数根，不妨仍设为且，此时当，，故在单调递减，在单调递增，故一定存在，使得，，故③正确，故答案为：②③二、单选题13．如果，那么下列不等式中成立的是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】作差即可判断A、B项；根据不等式的性质可判断C、D项.【详解】对于A项，，因为，所以，，所以，所以，故A项错误；对于B，，因为，所以，所以，所以，故B项错误；对于C项，因为，根据不等式的性质可得，故C项正确；对于D项，因为，所以，根据不等式的性质可得，即，故D项错误.故选：C.14．已知集合，，则“”是“”的（

）A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分又非必要条件【答案】A【分析】由求得或，然后即可得出答案.【详解】由可得，解得或.所以“”是“”的充分非必要条件.故选：A.15．设函数的定义域为，值域为，下列结论正确的是（

）A．当时，b的值不唯一 B．当时，a的值不唯一C．的最大值为3 D．的最小值为3【答案】D【分析】代入，得出函数解析式，求出值域，结合已知即可得出b的值唯一，则A项错误；代入，得出函数解析式，求出值域，结合已知即可得出a的值唯一，则B项错误；分、、三种情况，求出函数的解析式，得到函数的值域，分别求出的范围，即可判断C、D项.【详解】对于A项，当时，显然，则.函数在上的值域为，在上的值域为，又函数在上的值域为，所以，，故A项错误；对于B项，当时，函数，则此时函数的值域为，由已知可得，所以，故B错误；对于C、D项，①当时，函数，此时函数的值域为，由已知可得，解得，所以；②当时，函数，则此时函数的值域为，由已知可得，解得，所以；③当时，.此时函数在上的值域为，在上的值域为.由已知可得，或.当时，即，此时有；当时，即，则，此时有.综上所述，.故C项错误，D项正确.故选：D.16．存在函数，满足对任意都有（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】根据函数的定义即可求解.【详解】根据函数的定义，对任意的，按照某种对应法则，存在唯一的与之对应.对于选项A：若取，则有，取，则有，不满足函数定义，选项A错误；对于选项B：若取，则有，取，则有，不满足函数定义，选项B错误；对于选项C：令，，所以，即，令，则有，即，所以存在这样的函数，C选项正确；对于D选项：若取，则有，取，则有，不满足函数定义，选项D错误；故选：C.三、解答题17．设集合．(1)若，试用区间表示集合A、B，并求；(2)若，求实数a的取值范围．【答案】(1)，，(2)【分析】（1）解不等式求得集合，进而求得.（2）根据列不等式，【详解】（1）当时，由得，所以.由得，所以，所以.（2）由得，所以，由于，所以，所以的取值范围是.18．已知指数函数在区间上的最大值与最小值之和等于12．(1)求的表达式：(2)若函数是奇函数，当时，．试求函数的表达式，并求此函数的零点．【答案】(1)(2)；函数3个零点为【分析】（1）根据函数表达式代入求值即可得解；（2）根据函数的奇偶性即可求解表达式，根据指数对数互化即可求出零点.【详解】（1）设，或，所以，即有，所以，所以或（舍），所以;（2）当时，，当时，，所以，又是奇函数，所以所以，所以，再根据是奇函数，所以，所以，令，得，此函数的零点为.19．某网红食品店近日研发出一款糕点，为给糕点合理定价，食品店进行了市场调研．调研发现，销售量（单位：斤）与定价x（单位：元/斤）满足如下函数关系：(1)为使销售量不小于150斤，求定价x的取值范围；(2)试写出总销售额）y（单位：元）关于定价x的函数表达式；并求总销售额的最大值，及此时定价x的值．【答案】(1)(2)定价为25元/斤时总销售额最大为10750元.【分析】（1）由题意销售量不小于150斤，即解不等式即得定价x的取值范围；（2）由总销售额=定价销售量可得函数关系式，化简利用二次函数求最值即可得到总销售额的最大值及此时定价x的值.【详解】（1）因为量不小于150斤，所以，即，解得，又因为，则，故定价x的取值范围.（2）总销售额=定价销售量当时取得最大值，此时即定价为25元/斤时总销售额最大为10750元.20．已知函数的表达式为，将函数的图像向右平移1个单位，再向上平移2个单位得到函数的图像，(1)判断函数的奇偶性，并说明理由；(2)求函数的表达式，并求的值；(3)若不等式恒成立，求ab的最大值；并指出当ab取得最大值时，a、b的值分别是多少？【答案】(1)奇函数(2)(3)ab的最大值为，此时.【分析】（1）由奇偶函数的定义结合对数函数的运算性质即可得出答案.（2）由函数的平移变换求出的表达式，再有对数的运算性质即可求出的值；（3）由（2）知，，所以关于对称，由于恒成立，所以，再根据均值不等式即可得出答案.【详解】（1）因为函数的定义域为，则，得：，所以函数的定义域为，关于原点对称，，所以函数为奇函数.（2）函数的图像向右平移1个单位，可得：，再向上平移2个单位，则，，因此求的值为.（3）由（2）知，，所以关于对称，由于恒成立，故，，的定义域为，所以由“复合函数”的单调性知，在上单调递增，所以即，因为，当且仅当“”时取等，所以，当且仅当“”时取等，将代入，解得：所以ab的最大值为，此时.21．已知函数的定义域为，为大于的常数，对任意，都满足，则称函数在上具有“性质”．(1)试判断函数和函数是否具有“性质”（无需证明）；(2)若函数具有“性质”，且，求证：对任意，都有；(3)若函数的定义域为，且具有“性质”，试判断下列命题的真假，并说明理由，①若在区间上是严格增函数，则此函数在上也是严格增函数；②若在区间上是严格减函数，则此函数在上也是严格减函数．【答案】(1)函数不具有“性质”，函数具有“性质”(2)证明见解析(3)命题①为假命题，命题②为真命题，理由见解析【分析】（1）利用作差法结合“性质”的定义判断可得出结论；（2）利用“性质”的定义结合不等式可推导出，，利用不等式的基本性质可证得结论成立；（3）取可判断命题①为假命题，对命题②，对任意的、且，取，根据“性质”的定义结合基本不等式的性质、单调性的定义证得，即可证得结论成立.【详解】（1）解：函数不具有“性质”，函数具有“性质”，理由如下：设，，对任意的，，所以，，所以，函数不具有“性质”，对任意的，，所以，，所以，函数具有“性质”.（2）证明：因为函数具有“性质”，对任意的，，所以，，又因为，所以，，所以，，由不等式的可加性可得，故对任意的，.（3）解：命题①是假命题，命题②是真命题，理由如下：对于命题①，取函数，由（1）可知，函数具有“性质”，函数在区间上是严格增函数，但该函数在上不单调；对于命题②，对任意的，对任意的，，所以，，对任意的、