大学理论力学 点的合成运动

Monday,February6,2023理论力学第八章点的合成运动第八章点的合成运动§8-1相对运动·牵连运动·绝对运动§8-2点的速度合成定理§8-3牵连运动为平动时点的加速度合§8-4牵连运动为转动时点的加速度合成定理成定理前两章中我们研究点和刚体的运动，一般都是以地面为参考体的。然而在实际问题中，还常常要在相对于地面运动着的参考系上观察和研究物体的运动。例如，从行驶的汽车上观看飞机的运动等，坐在行驶的火车内看下雨的雨点是向后斜落的等。为什么在不同的坐标系或参考体上观察物体的运动会有不同的结果呢？我们说事物都是相互联系着的。下面我们就将研究参考体与观察物体运动之间的联系。为了便于研究，下面先来介绍有关的概念。

二．动点：运动着的点（所研究的点）。一．坐标系

1.静坐标系：把固结于地面上的坐标系称为静坐标系，简称静系。2.动坐标系：把固结于相对于地面运动物体上的坐标系，称为动坐标系，简称动系。§8-1相对运动·牵连运动·绝对运动牵连点：在任意瞬时，动坐标系中与动点相重合的点，也就是设想将该动点固结在动坐标系上，而随着动坐标系一起运动,该点叫牵连点。牵连运动中,牵连点的速度和加速度称为牵连速度与牵连加速度相对运动中,动点的速度和加速度称为相对速度与相对加速度绝对运动中,动点的速度与加速度称为绝对速度与绝对加速度点的运动刚体的运动三．三种运动及三种速度与三种加速度。１.绝对运动：动点相对于静系的运动。２.相对运动：动点相对于动系的运动。例如：人在行驶的汽车里走动。３.牵连运动：动系相对于静系的运动。例如：行驶的汽车相对于地面的运动。§8-1相对运动·牵连运动·绝对运动一般选择主动件与从动件的连接点，它是对两个坐标系都有运动的点。动点对动系有相对运动，且相对运动的轨迹是已知的，或者能直接看出的。动点：动系：静系：四．动点的选择原则：五．动系的选择原则：AB杆上A点固结于凸轮Ｏ'上固结在地面上§8-1相对运动·牵连运动·绝对运动相对运动：牵连运动：曲线（圆弧）直线平动绝对运动：直线§8-1相对运动·牵连运动·绝对运动牵连速度：相对速度：绝对速度：§8-1相对运动·牵连运动·绝对运动牵连加速度：绝对加速度：相对加速度：§8-1相对运动·牵连运动·绝对运动动点：A（在圆盘上)动系：O'A摆杆静系：机架绝对运动：曲线（圆周）相对运动：直线牵连运动：定轴转动动点：A1（在O'A1

摆杆上)动系：圆盘静系：机架绝对运动：曲线（圆弧）相对运动：曲线牵连运动：定轴转动§8-1相对运动·牵连运动·绝对运动[注]

要指明动点应在哪个物体上，但不能选在动系上。动点：A(在AB杆上)动系：固结在偏心轮上静系：地面绝对运动：直线相对运动：圆周（曲线）牵连运动：定轴转动

AB杆地面曲线（未知）圆周（红色虚线）平动若动点A在偏心轮上时§8-1相对运动·牵连运动·绝对运动§8-2点的速度合成定理动系上与动点重合的点的绝对轨迹zxyOz'x'y'M,M1M'绝对运动轨迹相对运动轨迹M'1三种运动轨迹速度合成定理将建立动点的绝对速度，相对速度和牵连速度之间的关系。也可看成MM１M´MM'为绝对轨迹MM'为绝对位移M1M'

为相对轨迹M1M'为相对位移§8-2点的速度合成定理当t

t+△t，ABA´B´，MM´＝＋

在任一瞬时动点的绝对速度等于其牵连速度与相对速度的矢量和，这就是点的速度合成定理。结论：§8-2点的速度合成定理说明：va—动点的绝对速度；

vr—动点的相对速度；

ve—动点的牵连速度，是动系上一点(牵连点)的速度（1）动系作平动时，动系上各点速度都相等。（2）

动系作转动时，ve必须是该瞬时动系上与动点相重合点的速度。点的速度合成定理是瞬时矢量式，共包括大小‚方向六个元素，已知任意四个元素，就能求出其它两个。§8-2点的速度合成定理[例1]桥式吊车已知：小车水平运行，速度为v平，物块A相对小车垂直上升的速度为v。求物块A的运行速度。§8-2点的速度合成定理作出速度平四边形如图示，则物块Ａ的速度大小和方向为由速度合成定理：解：选取动点:物块A动系:与小车固结静系:与地面固结相对运动:

直线;相对速度：vr

=v牵连运动:

平动;牵连速度:ve=v平绝对运动:

曲线;绝对速度va

的大小,方向待求

vr

=vve=v平vaxyo§8-2点的速度合成定理y´x´（）[例2]曲柄摆杆机构已知：OA=r,,OO1=l

图示瞬时OAOO1

求：摆杆O1B角速度1由速度合成定理va=vr+

ve

作出速度平行四边形如图示。解：取OA杆上A点为动点，动系与摆杆固结O1B

，基座为静系。绝对速度

:va

=r

方向

OA相对速度:vr=?方向//O1B牵连速度:ve=?方向O1B§8-2点的速度合成定理由速度合成定理va=vr+

ve

，作出速度平行四边形如图示。[例3]圆盘凸轮机构已知：OC＝e,

,（匀角速度）图示瞬时,OCCA

且

O、A、B三点共线。求：从动杆AB的速度。

动点取直杆上A点，动系固结于圆盘，静系固结于基座。解：绝对速度va

=?待求，方向//AB相对速度vr

=?未知，方向CA牵连速度ve

=OA=2e,方向

OA§8-2点的速度合成定理§8-2点的速度合成定理（4）

根据速度合成定理，作出速度平行四边形。由上述例题可看出，求解合成运动的速度问题的一般步骤为：（1）

选取动点，动系和静系。（2）三种运动的分析。（3）

三种速度的分析。（5）根据速度平行四边形，求出未知量。恰当地选择动点、动系和静系是求解合成运动问题的关键。§8-2点的速度合成定理动点、动系和静系的选择原则（1）动点、动系和静系必须分别属于三个不同的物体，否则绝对、相对和牵连运动中就缺少一种运动，不能成为合成运动。（2）动点相对动系的相对运动轨迹易于直观判断（已知绝对运动和牵连运动求解相对运动的问题除外）。§8-2点的速度合成定理

分析：相接触的两个物体的接触点位置都随时间而变化，因此两物体的接触点都不宜选为动点，否则相对运动的分析就会很困难。这种情况下，需选择满足上述两条原则的非接触点为动点。[例４]已知:凸轮半径r,图示时杆OA靠在凸轮上。求：杆OA的角速度。

§8-2点的速度合成定理根据速度合成定理，做出速度平行四边形如图示。（）解:取凸轮上C点为动点,

动系固结于OA杆上,静系固结于基座。绝对运动:绝对速度:直线运动,相对运动:直线运动,相对速度:牵连运动:定轴转动,牵连速度:q§8-2点的速度合成定理由于牵连运动为平动，故对t求导：

设有一动点M按一定规律沿着固连于动系O'x'y'z'的曲线AB运动,而曲线AB同时又随同动系O'x'y'z'相对静系Oxyz平动。由速度合成定理§8-2点的加速度合成定理一、牵连运动为平动而所以上式即为牵连运动为平动时点的加速度合成定理即当牵连运动为平动时，动点的绝对加速度等于牵连加速度与相对加速度的矢量和。一般式可写为：§8-2点的加速度合成定理(其中i′、j′、k′

为动系坐标轴的单位矢量，因为动系为平动，故它们的方向不变，是常矢量，所以 ）又因为所以例已知：凸轮半径R、v0、a0。求：j

=60o时,顶杆AB的加速度。解：取杆上的A点为动点，动系与凸轮固连。§8-2点的加速度合成定理由速度合成定理绝对速度va

=?,方向AB

；绝对加速度aa=?,方向AB，待求。相对速度vr=?,方向CA;相对加速度art=?方向CA方向沿CA指向C牵连速度ve=v0,方向→;

牵连加速度ae=a0,

方向→§8-2点的加速度合成定理因牵连运动为平动，故有作加速度矢量图如图示，将上式投影到法线上，得[注]加速度矢量方程的投影是等式两端的投影，与平衡方程的投影关系不同n§8-2点的加速度合成定理waDEBCAOw0例

图示平面机构中，曲柄OA=r，以匀角速度w0绕O轴转动。套筒A可沿BC杆滑动。已知BC=DE，且BD=CE=l。求图示位置时，杆BD的角速度和角加速度。解：以套筒A为动点，动系与BC杆固连绝对速度：va=w0r牵连速度：ve=vB=wlvavevr相对速度：大小未知，方向沿水平方向由速度合成定理va=vr+

ve

作出速度平行四边形如图示。ve=va=vr=w0r§8-2点的加速度合成定理vBw0waDEBCAOaraa绝对加速度：相对加速度：大小未知，方向//BC牵连加速度：y30o30o由加速度合成定理将上式向y轴投影解出§8-2点的加速度合成定理

设一圆盘以匀角速度绕定轴Ｏ顺时针转动，盘上圆槽内有一点M以大小不变的速度vr

沿槽作圆周运动，那么M点相对于静系的绝对加速度应是多少呢？前面我们证明了牵连运动为平动时的点的加速度合成定理，那么当牵连运动为转动时，上述的加速度合成定理是否还适用呢？下面我们来分析一特例。§8-2点的加速度合成定理二、牵连运动为定轴转动相对运动为匀速圆周运动，由速度合成定理可得出选点M为动点，动系固结与圆盘上，则M点的牵连运动为匀速转动即绝对运动也为匀速圆周运动，所以方向指向圆心Ｏ点§8-2点的加速度合成定理可见，当牵连运动为转动时，动点的绝对加速度并不等于牵连加速度和相对加速度的矢量和。分析上式：还多出一项2vr

。可以证明，当动系作定轴转动时，有下式成立：式中称为科氏加速度牵连运动为转动时点的加速度合成定理：当动系为定轴转动时，动点在某瞬时的绝对加速度等于该瞬时它的牵连加速度，相对加速度与科氏加速度的矢量和。§8-2点的加速度合成定理一般式

一般情况下科氏加速度的计算可以用矢积表示方向：按右手法则确定。§8-2点的加速度合成定理例已知：凸轮机构以匀

绕O轴转动，图示瞬时OA=r

，A点曲率半径,已知。求：该瞬时顶杆AB的速度和加速度。

解:动点:动系:

顶杆上A点；凸轮;绝对运动:直线;绝对速度:va=?待求,方向//AB;相对运动:曲线;相对速度:vr=?方向n;牵连运动:定轴转动;牵连速度:ve=r，方向OA，。vevrva§8-2点的加速度合成定理根据速度合成定理acaearnartaa§8-2点的加速度合成定理由牵连运动为转动时的加速度合成定理向n轴投影：acaearnartaa§8-2点的加速度合成定理DABC

例矩形板ABCD以匀角速度绕固定轴z转动，点M1和点M2分别沿板的对角线BD和边线CD运动，在图示位置时相对于板的速度分别为和，计算点M1、

M2的科氏加速度大小,并图示方向。点M2的科氏加速度解：点M1的科氏加速度垂直板面向里。§8-2点的加速度合成定理vavrve解：根据做出速度平行四边形方向：与相同。例

曲柄摆杆机构已知：O1A＝r,,,1;取O1A杆上A点为动点，动系固结O2B上，试计算动点A的科氏加速度。aac§8-2点的加速度合成定理已知:OA＝l,=45o

时，w,a;求：小车的速度与加速度．例

曲柄滑杆机构解：动点：OA杆上A点;动系：固结在滑杆上;绝对运动：圆周运动，相对运动：直线运动，牵连运动：平动；vevavr§8-2点的加速度合成定理小车的速度：根据速度合成定理 做出速度平行四边形,如图示投影至x轴：，方向如图示小车的加速度：根据加速度合成定理vevavrjx§8-2点的加速度合成定理例圆盘半径R=50mm以匀角速度w1绕水平轴CD转动，同时框架和CD轴一起以匀角速度w2绕通过圆盘中心O的铅直轴AB转动。如w1=5rad/s，w2=3rad/s,求圆盘上1点和2点的绝对加速度。解：首先计算1点的加速度。动点：圆盘上的1点动系：与框架固结牵连运动：以匀角速度w2作定轴转动牵连加速度：ae相对运动：以O为圆心，在铅直面内作匀速圆周运动相对加速度：科氏加速度：arvr由加速度合成定理aa§8-2点的加速度合成定理acarvraaq计算点2的加速度动点：圆盘上的2点动系：与框架固结牵连运动：以匀角速度w2作定轴转动牵连加速度：相对运动：以O为圆心，在铅直面内作匀速圆周运动相对加速度：科氏加速度：由加速度合成定理§8-2点的加速度合成定理aet例

摇杆滑道机构，已知:h，q，v，a。求:OA杆的w，a

。解：动点:销子D(BC上);动系:固结于OA；绝对运动：直线运动，相对运动：直线运动，沿OA线；牵连运动：定轴转动，vrqvavearaaacaen科氏加速度：§8-2点的加速度合成定理投影至x轴：（）根据牵连转动的加速度合成定理（）根据速度合成定理aetaraaacaenxvrqvaveA§8-2点的加速度合成定理例

曲柄滑块机构已知：h;图示瞬时;

求:该瞬时杆的w2

。解：动点:O1A上滑块A点;动系:固结于BCD上,静系固结于机架上。绝对运动：圆周运动;相对运动：直线运动;牵连运动：平动;

水平方向vaqvevr§8-2点的加速度合成定理vaqvevr牵连运动：

根据

）（再选动点：BCD上F点动系：固结于O2E上，绝对运动：直线运动，相对运动：直线运动，定轴转动，vaFveFvrFq§8-2点的加速度合成定理例凸轮机构，已知：凸轮半径为R，图示瞬时