北航水力学 第三章流体运动学

自然界和工程实际中，流体大多数处于流动状态，流体的流动性是流体在存在状态上与固体的最基本区别。第三章流体运动学本章介绍研究流体运动的两种方式；以及相应的运动要素表达；迹线流线等概念；连续性方程；有旋运动与无旋运动；环量与涡量概念3.1.1拉格朗日法

着眼于研究流体中各质点的流动情况，跟踪每一个质点，并观察与分析该质点的运动历程，然后综合足够多的质点的运动情况以得到整个流体运动的规律。这种方法本质上就是一般力学中的研究质点系运动的方法，称为质点系法第三章流体运动学第一节

描述流体运动的方法描述流体运动形态和方式：拉格朗日法和欧拉法欧拉法

着眼于研究流体经过空间各固定点处的流动变化情况。综合流场中足够多的空间点上所观测的运动要素及其变化规律，从而获得整个流场的运动特性，所以又被称为“空间点法”“流场法”在恒定流中，流动要素仅为空间位置坐标的函数，对时间的偏导数为零。3.1.2欧拉法中流体运动的基本概念3.1.2.1

流体的恒定流和非恒定流恒定流：

用欧拉法描述流动时，假定流场中各空间点上的任何流动要素（如流速向量、压强、密度等）都不随时间变化，称为恒定流。

下面式子全部或部分成立：非恒定流：流场中各空间点上的流动要素（如流速向量、压强、密度等）随时间而变化①迹线（pathline）：某一流体质点在流动空间里所走的轨迹③

流线（streamline）：某时刻速度场中描述各空间点流动方向的曲线（即曲线的切线方向为流动方向）②染色线（streakline）：经过某一点的所有流体质点形成的轨迹流线的性质：

*流线是光滑连续的曲线，除了驻点（速度为零）外流线不能中断和产生流线的疏密表示流动的快慢程度流线密集的地方流速大，而稀疏的地方流速小*

除了奇点外,流线不能相交和转折

质点在同一时刻不可能有两个速度向量

流体在不可穿透的固体边界上，沿边界法线方向的流速分量比等于零，流线将于该边界的位置重合在恒定流时，流速场不随时间改变，流线的位置和形状也将保持不变，此时流线和迹线重合迹线、流线、染色线是重合的在非恒定流时，三种线不重合迹线方程：其中为某初始时刻流线微分方程：其中迹线微分方程：流线方程：流体质点的位置坐标迹线方程和流线方程已知流体中任一点的速度分量，由欧拉变数给出为时刻流体质点A位于原点。求时，通过点A（-1,1）的流线。【例题】解：由流线微分方程即

得流线方程对于点A（-1,1）时，积分得总流：工程上将管道内或渠道中的流体称为总流流管：由流线构成的管状曲面流束：流管内的流体元流：微小流管内的流体3.1.2.3描述流动的一些基本概念过流截面（或过流断面或有效截面）：流管内处处与流线垂直的截面，一般是曲面，当流管内所有流线均平行时，过流截面是平面流量：单位时间内通过过流截面的流体体积称为体积流量，简称流量，通常用Q表示，量纲为m3/s三元流：流动参数是三个空间坐标函数,二元流：流动参数是两个空间坐标函数,

一元流：流动参数是一个空间坐标函数，

3.1.2.4三元流、二元流、一元流二元流或近似二元流是实际流体中常见的流动。例如宽浅矩形断面的顺直明渠水流，水渠宽度很大，两侧边壁对流速分布的影响可忽略不计，即流速可看做与z方向无关，仅仅是水流方向的坐标x和水深y的函数，此时的流动就可以看为二元流动。实际流动一般都是三元流动。

三元流分析时分析起来十分复杂，一般我们设法将其简化为二元流或一元流。简化过程中要引进修正系数，修正系数可通过实验方法来确定。一维定常流：流动参数是一个空间坐标函数，与时间无关三维定常流：流动参数是三个空间坐标函数，与时间无关二维定常流：流动参数是两个空间坐标函数，与时间无关均匀流：流线为直线且相互平行的流动渐变流：流线曲率半径大，流线虽不平行，但夹角很小的流动（或缓变流）急变流：流线的曲率半径较小，或流线之间的夹角较大，或两者兼有3.1.2.5均匀流与非均匀流渐变流与急变流xzyoMdx(2u)dxuxrr¶-¶ur(2u)dxuxrr¶+¶

3.2.1流体运动的连续方程（微分形式）在空间流场中取一个以M（x,y,z）为中心的微小的六面体（微小控制体）。t时刻，M点流速为u，密度为第二节

流体运动的连续性方程xzyoMdx(2u)dxuxrr¶-¶ur(2u)dxuxrr¶+¶x方向，在时间里右侧流出的流体质量：左侧流入的流体质量：第二节

流体运动的连续性方程净流入：左侧流入–右侧流出x方向由此，三个方向净流入:时间里，微小六面体内流体密度的变化引起的质量增量：在即密度的变化净流入质量守恒:①②不可压缩流体为常数，不可压缩流体运动的欧拉连续性微分方程可压缩流体的欧拉连续性微分方程适用于恒定流和非恒定流对于不可压缩液体，下面的流动是否满足连续性条件。【例题】解：满足不满足不满足在三元不可压缩流动中，已知【例题】（书例3-2）求满足连续方程的的表达式。解：由连续方程积分得其中，c可为某一常数，也可以是与z无关的某一函数得得所以3.2.2总流的连续方程（管道中或者渠道中）（积分形式）设流体是均质的，则由质量守恒可得，等于流出质量2-2’，即面积分别为设流动为定常流动，则1’-2内流体质量不变，流入质量1-1’垂直于过流截面1-1和2-2的流速1-1和2-2是过流截面定义截面上的平均速度则有恒定总流的连续方程均质恒定总流的流量不变由于则(2)对于分支管道问题时，要考虑通过控制面的全部流量及源的流量。注意：(1)连续方程式是质量守恒的数学表达式，与流体性质，即对不可压流：对可压缩流：【例题】（书例3-3）

图示，汇流分叉管路，已知流量

过断面1-1的面积

求：断面1-1的平均流速解：根据分叉管流动的连续性条件，有

因为，所以断面1-1的平均流速为

【例题】

已知圆管过流断面上的流速分布为管轴处最大流速圆管半径

为某点距管轴的径距。试求流量Q,以及断面平均速度

。流体微团的运动

流体微团：由大量流体粒子组成的流体团，它有一个微小的尺度任意运动都可分解为上述4种运动①平移：象刚体一样平移②转动：象刚体一样转动③线变形：伸长或缩短④角变形：直角的改变流体微团的运动：第三节

流体微团运动的分析（1）线变形率单位时间流体面元单位长度的线变形类似的，流体面元:流体质点组成的微小平面若流体面元在x和y方向都有速度梯度，其长度则单位时间内面积相对膨胀率为:相应地，三维时，流体不可压缩三个方向的线变形速率之和为零都要变化（2）角变形率（直角的改变率）

角变形率：一点邻域内流体的角变形率为正交于该点的两流体线元各自转动角度的变化率的平均值。在方向有速度梯度在方向有速度梯度内，流体线元MA和MB分别转过在微小的时间因为所以类似地，（3）转动角速度

转动角速度：某一点处正交于该点的两流体线元角速度的平均值。逆时针为正类似地，①均匀流

②纯旋转流

平动转动线变形角变形一些典型的流动流动中各流体微团的转动角速度都为零:无旋流动第四节

无旋运动与有旋运动3.4.1有旋运动与无旋运动无旋流动自然界中，绝大多数流动都是有旋流动无旋流动是简化的模型涡量：流体速度的旋度也称为涡量，定义为角转速的两倍：3.4.2涡量与环量涡线：一条在有涡运动中反映瞬时角速度方向的曲线，即在某同一时刻，处于涡线上所有各点的流体质点的角转速方向都与该点的切线方向重合，如图所示。速度环量：流场中流速沿任一封闭曲线的线积分，速度环量的定义为涡管：由同一时刻的无数条涡线所组成的管状封闭面称为涡管。【例题】【书3-5】

水桶中的水从桶底中心孔流出时，可观察到桶中的水以通过孔的铅垂轴为中心，作近似的圆周运动，如图所示，流速分布近似为