广东省东莞市市万江大汾中学2021年高三数学理期末试卷含解析

广东省东莞市市万江大汾中学2021年高三数学理期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知离散型随机变量的分布列为

则的数学期望(

)A.

B．

C．

D．参考答案：A,故选A．2.在R上定义的函数是偶函数,且.若在区间[1，2]上是减函数，则（

）

A.在区间[－2，－1]上是增函数，在区间[3，4]上是增函数

B.在区间[－2，－1]上是增函数，在区间[3，4]上是减函数

C.在区间[－2，－1]上是减函数，在区间[3，4]上是增函数

D.在区间[－2，－1]上是减函数，在区间[3，4]上是减函数参考答案：C3.数列的首项为3，为等差数列且，若，则（

）A．0

B．3

C．8

D．11参考答案：B略4.在命题p的四种形式（原命题、逆命题、否命题、逆否命题）中，正确命题的个数记为，已知命题p：“若两条直线，平行，则”．那么=Ａ．1个

Ｂ．2个

Ｃ．3个

Ｄ．4个

参考答案：B略5.光线从点射到轴上的点后，被轴反射，这时反射光线恰好过点，则光线所在直线的倾斜角为A. B. C. D.参考答案：B略6.若，则下列不等式中，正确的不等式有

(

)

①

②

③

④A.1个

B.2个

C.3个

D.4个参考答案：B7.一个几何体的三视图如图，其中正视图是腰长为2的等腰三角形，俯视图是半径为1的半圆，则该几何体的体积是（

）A．

B．

C.

D．参考答案：D8.一个体积为12的正三棱柱的三视图如图所示，则这个三棱柱的侧视图的面积为（）A．6B．8C．8D．12参考答案：A略9.复数满足，则=（

）A.

B.

C.

D.参考答案：C10.设数列{an}的前n项和为Sn，若2，Sn，，成等差数列，则的值是A.-81 B.-80 C.-64 D.-63参考答案：B【分析】由题意首先确定数列为等比数列，然后结合等比数列前n项和公式可得的值.【详解】据题意得，当时，，所以；当时，由可得，两式相减得，即，即．所以数列是首项，公比的等比数列，所以，选B．【点睛】本题主要考查由递推关系确定数列的性质，等比数列前n项和公式及其应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.在直角三角形中，，过作边的高，有下列结论。请利用上述结论，类似地推出在空间四面体中，若，点到平面的高为，则

.参考答案：12.对于三次函数，给出定义：设是函数的导数，是函数的导数，若方程有实数解，则称点为函数的“拐点”。某同学经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”，任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心。若，请你根据这一发现，求解下列问题：（1）函数的对称中心为

;（2）计算：

．参考答案：【知识点】函数的值；函数的零点；导数的运算．B1B9B11（1）

（2）2012

解析：（1）∵f（x）=x3﹣x2+3x﹣，∴f′（x）=x2﹣x+3，f''（x）=2x﹣1，令f''（x）=2x﹣1=0，得x=，∵f（）=+3×=1，∴f（x）=x3﹣x2+3x﹣的对称中心为，（2）∵f（x）=x3﹣x2+3x﹣的对称中心为，∴f（x）+f（1﹣x）=2，∴=2×1006=2012．故答案为：，2012．【思路点拨】（1）根据函数f（x）的解析式求出f′（x）和f″（x），令f″（x）=0，求得x的值，由此求得三次函数的对称中心．（2）由的对称中心为，知f（x）+f（1﹣x）=2，由此能够求出．13.已知上的可导函数的导函数满足：，且则不等式的解是___________.参考答案：略14.已知函数，则(

)

A．

B．

C．

D．参考答案：B略15.已知定义在R上的函数满足：①函数的图像关于点(－1,0)对称；②对任意的，都有成立；③当时，，则

.参考答案：-216.已知是奇函数,且,若,则

.参考答案：-217.如图所示，在正三角形ABC中，D、E、F分别为各边的中点，I为DE的中点，G、H分别在FC、EC上，且，将△ABC沿DE、EF、DF折成三棱锥后，异面直线GH与BI所成的角的余弦值为__________

参考答案：答案：

三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.在直角坐标系中，以原点为极点，x轴的正半轴为极轴建坐标系，已知曲线C：ρsin2θ＝2acosθ(a＞0)，已知过点P(－2，－4)的直线l的参数方程为，直线l与曲线C分别交于M，N两点.(1)写出曲线C和直线l的普通方程；(2)若|PM|，|MN|，|PN|成等比数列，求a的值.参考答案：(1)由C：ρsin2θ＝2acosθ，得(ρsinθ)2＝2aρcosθ，所以曲线的普通方程为y2＝2ax.由直线l的参数方程，消去参数t，得x－y－2＝0.……5分(2)直线l的参数方程为(t为参数)，代入y2＝2ax,得到t2－2(4＋a)t＋8(4＋a)＝0，则有t1＋t2＝2(4＋a)，t1·t2＝8(4＋a).因为|MN|2＝|PM|·|PN|，所以(t1－t2)2＝(t1＋t2)2－4t1·t2＝t1·t2.解得a＝1.………10分19.（本小题满分12分）已知点A（1，1）是椭圆上一点，F1，F2是椭圆的两焦点，且满足

（I）求椭圆的标准方程；

（II）求过A(1,1)与椭圆相切的直线方程；

（III）设点C、D是椭圆上两点，直线AC、AD的倾斜角互补，试判断直线CD的斜率是否为定值？若是定值，求出定值；若不是定值，说明理由。参考答案：解：（I）由椭圆定义知：，把（1，1）代入得，则椭圆方程为.

……………(3分)（II）解法一：因为过A与轴垂直的直线与椭圆不相切，设过A(1,1)的直线方程，由，消去得关于的方程：令，解得，

故，切线方程为：.

…………（5分）解法二：过A(1,1)点与椭圆相切的切线方程为：

，

…………（4分）即切线方程为：

…………（5分）

（III）设AC方程为：∵点A（1，1）在椭圆上,方程有一个根为

………………（9分）∵直线AC、AD倾斜角互补∴AD的方程为同理

………………（10分）即直线CD的斜率为定值

……………（12分）略20.（2015?大连模拟）已知x，y是两个不相等正实数，求证：（x2y+x+y2）（xy2+y+x2）＞9x2y2．参考答案：考点：不等式的证明．

专题：推理和证明．分析：利用综合法以及基本不等式整理不等式的左侧，即可证得结论成立．解答：证明：∵x，y是两个不相等正实数，∴x2y+x+y2＞=3xy．xy2+y+x2＞=3xy．∴（x2y+x+y2）（xy2+y+x2）＞3xy?3xy=9x2y2．不等式恒成立．点评：本题考查不等式的证明，综合法以及均值不等式的应用，考查推理能力．21.（本小题满分12分）某高中社团进行社会实践，对[25，55]岁的人群随机抽取n人进行了一次是否开通“微博”的调查，若开通“微博”的称为“时尚族”，否则称为“非时尚族”，通过调查分别得到如图所示统计表和各年龄段人数频率分布直方图：

完成以下问题：

（I）补全频率分布直方图并求n、a、p的值：

（II）从[40．50）岁年龄段的“时尚族”中采用分层抽样法抽取18人参加网络时尚达人大赛，其中选取3人作为领队，记选取的3名领队中