广东省东莞市中堂实验中学2021年高三数学文上学期期末试题含解析

广东省东莞市中堂实验中学2021年高三数学文上学期期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.对于给定的正整数数列{an}，满足an+1=an+bn，其中bn是an的末位数字，下列关于数列{an}的说法正确的是（）A．如果a1是5的倍数，那么数列{an}与数列{2n}必有相同的项B．如果a1不是5的倍数，那么数列{an}与数列{2n}必没有相同的项C．如果a1不是5的倍数，那么数列{an}与数列{2n}只有有限个相同的项D．如果a1不是5的倍数，那么数列{an}与数列{2n}有无穷多个相同的项．参考答案：D【考点】数列递推式．【分析】分类讨论：当a1是5的倍数，则数列{an}的末位数字是5或0，数列{2n}的末位数字只能是2，4，6，8，不存在相同的项，判断A不正确；当a1不是5的倍数时，则这个数的末位数字只能是2，4，6，8，数列{an}的末位数字可以是2，4，6，8，数列{2n}的末位数字有且只有2，4，6，8，故它们必有相同的项，且有无穷多个相同的项，由此判断B，C不正确，D正确．【解答】解：如果a1是5的倍数，则数列{an}的末位数字是5或0，数列{2n}的末位数字只能是2，4，6，8，不存在相同的项，因此A不正确；当a1不是5的倍数时，这个数加上它的末位数字，一直加下去，则这个数的末位数字只能是2，4，6，8，数列{an}的末位数字可以是2，4，6，8，数列{2n}的末位数字有且只有2，4，6，8，故它们必有相同的项，且有无穷多个相同的项，因此B，C不正确，D正确．∴关于数列{an}的说法正确的是：D．故选：D．【点评】本题考查命题真假判断与应用，考查了数列递推式的运用，求解此类题的关键是要对命题涉及的知识有很好的理解与掌握，是中档题．2.函数在（0，1）上为减函数，则实数a的取值范围是（

）

A．

B．（1，2）

C．

D．参考答案：C略3.定义运算：，若将函数的图象向左平移m(m>0)个单位长度后,所得图象关于y轴对称,则m的最小值是A． B． C． D．

参考答案：A【知识点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换将函数f（x）==cosx﹣sinx=2cos（x+）的图象向左平移m（m＞0）个单位长度后，所得图象对应的函数的解析式为y=2cos（x+m+）．再根据所得图象关于y轴对称，可得m+=kπ，即m=kπ﹣，k∈z，则m的最小值是，故选：A．【思路点拨】由条件利用三角恒等变换、y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，可得y=2cos（x+m+）图象关于y轴对称，可得m+=kπ，k∈z，由此求得m的最小值．

4.设复数满足，则=(

) A.

B.

C.

D.参考答案：C【知识点】复数的基本概念与运算L4，可得z==2-i,=2+i【思路点拨】直接化简复数方程，复数的分子、分母同乘分母的共轭复数，求出复数即可．5.已知是偶函数，且在[0,+∞)上是增函数，如果在上恒成立，则实数的取值范围是(

)A．[－2,1]

B．[－2,0]

C．[－5,1]

D．[－5,0]参考答案：B6.在三棱柱ABC－A1B1C1中，AA1⊥平面ABC，记△ABC和四边形ACC1A1的外接圆圆心分别为O1、O2，若AC＝2，且三棱柱外接球体积为，则O1A＋O2A的最大值为(

)A.

B.

C.

D.2参考答案：C7.设函数，则下列结论中错误的是（

）A.f(x)的一个周期为2π B.f(x)的最大值为2C.f(x)在区间上单调递减 D.的一个零点为参考答案：D【分析】先利用两角和的正弦公式化简函数，再由奇偶性的定义判断；由三角函数的有界性判断；利用正弦函数的单调性判断；将代入判断.【详解】，周期正确；的最大值为2，正确，，在上递减，正确；时，，不是的零点，不正确.故选D.【点睛】本题通过对多个命题真假的判断，综合考查两角和的正弦公式以及三角函数的单调性、三角函数的周期性、三角函数的最值与零点，意在考查对基础知识掌握的熟练程度，属于中档题.8.“?x＞0，使a+x＜b”是“a＜b”成立的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件参考答案：C【考点】2L：必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】由于“?x＞0，使a+x＜b”与“a＜b”成立等价，即可判断出关系．【解答】解：“?x＞0，使a+x＜b”?“a＜b”，∴“?x＞0，使a+x＜b”是“a＜b”成立的充要条件．故选：C．【点评】本题考查了不等式的性质、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．9.已知三棱锥P-ABC中，，当三棱锥P-ABC体积最大值时，三棱锥P-ABC的外接球的体积为（

）A. B.36π C. D.参考答案：A【分析】三棱锥，以为底，到平面的距离为高，得到三棱锥在两两垂直时体积最大，此时三棱锥的外接球可以看作是以为棱长的正方体的外接球，从而求出其半径，得到球的体积.【详解】三棱锥，以为底，到平面的距离为高，则可知平面时，到平面的距离最大为，底面为等腰三角形，，当时，的面积最大，即，当两两垂直时，三棱锥体积最大，此时三棱锥的外接球可以看作是以为棱长的正方体的外接球，设球的半径为，则，解得，所求球的体积为.故选：A.【点睛】本题考查求三棱锥的体积，求三棱锥外接球的体积，考查了空间想象能力和计算能力，属于中档题.10.函数,则的值域为 （）A．

B．

C．

D．参考答案：B略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.设函数f(x)=ax+b，其中a，b为常数，f1(x)＝f(x)，fn+1(x)＝f

[fn(x)]，n＝1，2，….若f5(x)=32x+93,则ab＝

.参考答案：612.若loga＜1，则a的取值范围是

．参考答案：（4，+∞）考点：对数的运算性质．专题：函数的性质及应用．分析：根据对数的性质，先求出a＞1，然后根据对数函数的单调性，解不等式即可．解答： 解：要使对数有意义，则，即a＞1，∴不等式等价为＜a，即12＜a（a﹣1），即a2﹣a﹣12＞0，即a＞4或a＜﹣3，∵a＞1，∴a＞4，故答案为：（4，+∞）．点评：本题主要考查对数不等式的解法，利用对数函数的性质是解决本题的关键．13.以点为圆心，以为半径的圆的方程为

，若直线与圆有公共点，那么的取值范围是

.参考答案：14.设常数展开式中的系数为，则

。参考答案：115.设，则展开式中的常数项为_________（用数字作答）参考答案：【知识点】定积分；微积分基本定理；二项式定理.

B13

J3210

解析：=，又展开式的通项，由，所以展开式中的常数项为.

【思路点拨】由微积分基本定理得n=10，由二项展开式的通项公式得展开式中的常数项为第七项.

16.已知函数，则函数的值为____________.参考答案：17.若，，且，则的最小值为______.参考答案：试题分析：由可得，即，所以（当且仅当时取等号），即的最小值为.考点：基本不等式及灵活运用.【易错点晴】本题重在考查基本不等式的灵活运用.解答时先将条件进行合理变形得到，再依据该等式中变量的关系，解出用来表示，从而将欲求代数式中的两个变量消去一个，得到只含的代数式，然后运用基本不等式使其获解.这里要强调的是“一正、二定、三相等”是基本不等式的运用情境，也是学会运用基本不等式的精髓，这是运用好基本不等式的关键之所在.三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.(本小题满分12分)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为．(I)求角B的大小；(Ⅱ)若b=1，求的取值范围．参考答案：19.（本题满分18分，第1小题4分，第2小题6分，第3小题8分）已知数列{an}满足，(其中λ≠0且λ≠–1，n∈N*)，为数列{an}的前项和．(1)若，求的值；(2)求数列{an}的通项公式；(3)当时，数列{an}中是否存在三项构成等差数列，若存在，请求出此三项；若不存在，请说明理由．参考答案：(1)令，得到，令，得到。…………2分由，计算得．……………………4分(2)由题意，可得：

，所以有，又，……5分得到：，故数列从第二项起是等比数列。……………7分又因为，所以n≥2时，……………8分所以数列{an}的通项…………………10分(3)因为

所以……11分假设数列{an}中存在三项am、ak、ap成等差数列，①不防设m>k>p≥2，因为当n≥2时，数列{an}单调递增，所以2ak=am+ap即：2′()′4k–2=′4m–2+′4p–2，化简得：2′4k-p=4m–p+1即22k–2p+1=22m–2p+1，若此式成立，必有：2m–2p=0且2k–2p+1=1，故有：m=p=k，和题设矛盾………………14分②假设存在成等差数列的三项中包含a1时，不妨设m=1，k>p≥2且ak>ap，所以2ap=a1+ak，2′()′4p–2=–

+()′4k–2，所以2′4p–2=–2+4k–2，即22p–4=22k–5–1因为k>p≥2，所以当且仅当k=3且p=2时成立………16分因此，数列{an}中存在a1、a2、a3或a3、a2、a1成等差数列……………18分20.（本题满分15分）设数满足：．(I)求证：数列是等比数列；(Ⅱ)若，且对任意的正整数n，都有，求实数t的取值范围．参考答案：21.已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，点M（0，2）是椭圆的一个顶点，△F1MF2是等腰直角三角形．（1）求椭圆C的方程；（2）设点P是椭圆C上一动点，求线段PM的中点Q的轨迹方程；（3）过点M分别作直线MA，MB交椭圆于A，B两点，设两直线的斜率分别为k1，k2，且k1+k2=8，探究：直线AB是否过定点，并说明理由．参考答案：考点：直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的标准方程．专题：综合题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（1）由已知点M（0，2）是椭圆的一个顶点，△F1MF2是等腰直角三角形，可求几何量，从而可求椭圆方程；（2）确定点P、PM的中点坐标之间的关系，利用点P是椭圆C上一动点，即可求得线段PM的中点Q的轨迹方程；（3）若直线AB的斜率存在，设AB方程代入椭圆方程，利用韦达定理及k1+k2=8，可得直线AB的方程，从而可得直线AB过定点；若直线AB的斜率不存在，设AB方程为x=x0，求出直线AB的方程，即可得到结论．解：（1）由已知可得b=2，，…∴所求椭圆方程为．

…（2）设点P（x1，y1），PM的中点坐标为Q（x，y），则

…由，得x1=2x，y1=2y﹣2代入上式得

…（3）若直线AB的斜率存在，设AB方程为y=kx+m，依题意m≠±2．设A（x3，y3），B（x2，y2），则将直线方程代入椭圆方程可得（1+2k2）x2+4kmx+2m2﹣8=0．

…则，．∵k1+k2=8，∴+=8，∴2k+（m﹣2）×=8．

…∴k﹣=4，整理得m=．故直线AB的方程为y=kx+，即y=k（x+）﹣2．所以直线AB过定点（，﹣2）．

…若直线AB的斜率不存在，设AB方程为x=x0，设A（x0，y0），B（x0，﹣y0），由已知+=8，得x0=﹣．此时AB方程为x=﹣，显然过点（，﹣2）．

综上，直线AB过定点（，﹣2）．

…【点评】本题考查椭圆的标准方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查直线方程，正确运用韦达定理是关键．22.（12分）已知与向量平行的直线L过椭圆C:的焦点以及点（0,-2），椭圆C的中心关于直线L的对称点在直线上（1）求椭圆C的方程；（2）过点E（-2，0）的直线m交椭圆C于点M、N且满足，（O为坐标原点），求直线的方程参考答案：解析：（1）直线L的方程为，①过原点垂直于L的直线方程为，②解①②得x=3/2