广东省东莞市中堂实验中学2021-2022学年高二数学理上学期期末试卷含解析

广东省东莞市中堂实验中学2021-2022学年高二数学理上学期期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.函数的单调增区间是

（

）A.(0,+∞) B.(－∞,－1)

C.(－1,1) D.(1,+∞)参考答案：C2.已知F1、F2是椭圆（a＞b＞0）的左右焦点，P是椭圆上一点，且PF2⊥F1F2，∠PF1F2=．则椭圆的离心率是（）A． B．C．D．参考答案：B【考点】椭圆的简单性质．【分析】PF2⊥F1F2，∠PF1F2=，由勾股定理可知：|PF1|=2x，|F1F2|=x，由椭圆的定义可知：|PF1|+|PF2|=2a，|F1F2|=2c，即可求得a和c值，根据椭圆的离心率公式，即可求得椭圆的离心率．【解答】解：由题意可知：椭圆+=1（a＞b＞0）焦点在x轴上，|PF2|=x，PF2⊥F1F2，∠PF1F2=，∴|PF1|=2x，|F1F2|=x，又|PF1|+|PF2|=2a，|F1F2|=2c，∴2a=3x，2c=x，∴C的离心率为：e==．故选B．3.已知函数在区间(1,2)上是减函数，则实数a的取值范围是（）A. B. C. D.参考答案：A【分析】对函数求导，将问题转化成在恒成立，从而求出的取值范围．【详解】∵，∴．∵在区间上是减函数，∴在上恒成立，即上恒成立．∵，∵，∴．∴实数的取值范围为．故选A．【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性以及一元二次不等式的解法，是高考中的热点问题，解题的关键是将函数在给定区间上是减函数转化为导函数小于等于零恒成立，属于基础题．4.已知椭圆上一点关于原点的对称点为，为其右焦点，若，设，且，则该椭圆离心率的取值范围为（

）

A、

B、

C、

D、参考答案：A5.袋子中放有大小和形状相同的小球若干个，其中标号为0的小球1个，标号为1的小球1个，标号为2的小球n个．若从袋子中随机抽取1个小球，取到标号是2的小球的概率是，则n=（）A．2 B．3 C．4 D．5参考答案：A【考点】古典概型及其概率计算公式．【分析】利用等可能事件概率计算公式能求出结果．【解答】解：∵袋子中放有大小和形状相同的小球若干个，其中标号为0的小球1个，标号为1的小球1个，标号为2的小球n个．从袋子中随机抽取1个小球，取到标号是2的小球的概率是，∴由题意知：，解得n=2．故选：A．【点评】本题考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等可能事件概率计算公式的合理运用．6.在△中，点在边上，且，，则=（

）A

B

C

D0参考答案：D7.已知定义在R上的奇函数，满足,且在区间[0,2]上是增函数,则(

).

A.

B.C.

D.参考答案：D8.840和1764的最大公约数是（

）A．84

B．12

C．168

D．252参考答案：A9.阅读如图所示的程序框图，则输出的S＝()A．45

B．35C．21

D．15参考答案：D10.若a，b，c∈R，且a＞b，则下列不等式一定成立的是（）A．a+c≥b﹣c B．ac＞bc C．＞0 D．（a﹣b）c2≥0参考答案：D【考点】两角和与差的正弦函数；正弦定理．【专题】计算题．【分析】A、令a=﹣1，b=﹣2，c=﹣3，计算出a+c与b﹣c的值，显然不成立；B、当c=0时，显然不成立；C、当c=0时，显然不成立；D、由a大于b，得到a﹣b大于0，而c2为非负数，即可判断此选项一定成立．【解答】解：A、当a=﹣1，b=﹣2，c=﹣3时，a+c=﹣4，b﹣c=1，显然不成立，本选项不一定成立；B、c=0时，ac=bc，本选项不一定成立；C、c=0时，=0，本选项不一定成立；D、∵a﹣b＞0，∴（a﹣b）2＞0，又c2≥0，∴（a﹣b）2c≥0，本选项一定成立，故选D【点评】此题考查了不等式的性质，利用了反例的方法，是一道基本题型．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.观察（1）（2）由以上两式成立，推广到一般结论，写出你的推论是

。参考答案：若都不是，且，则12.已知复数，则的最小值是________。

参考答案：略13.已知命题，若的充分不必要条件，则的取值范围是

。参考答案：14.已知︱a︱=3,︱b︱=4,且（a+kb）⊥(a-kb),则k=

参考答案：3/4

15.（5分）（2014?菏泽一模）在△ABC中，内角A、B、C的对边长分别为a、b、c、，已知a2﹣c2=2b，且sinAcosC=3cosAsinC则b=．参考答案：4【考点】：余弦定理；正弦定理．【专题】：计算题；解三角形．【分析】：利用余弦定理、正弦定理化简sinAcosC=3cosAsinC，结合a2﹣c2=2b，即可求b的值．解：∵sinAcosC=3cosAsinC，∴∴2c2=2a2﹣b2∵a2﹣c2=2b，∴b2=4b∵b≠0∴b=4故答案为：4【点评】：本题考查余弦定理、正弦定理的运用，考查学生的计算能力，属于中档题．16.方程a+b+c+d=8的正整数解（a，b，c，d）有组．（用数字作答）参考答案：35【考点】排列、组合的实际应用．【分析】a+b+c+d=8的正整数解，转化为7个球中插入3个板，利用组合知识可得结论【解答】解：a+b+c+d=8的正整数解，转化为7个球中插入3个板，故共有=35组．故答案为35．17.已知，且，则m等于________．参考答案：三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知点P到两个定点、距离的比为，点N到直线PM的距离为1．求直线PN的方程．参考答案：见解析．解：设点的坐标为，由题设有，即，整理得①，因为点到的距离为，，所以，直线的斜率为，直线的方程为②将②式代入①式整理得，解得，，代入②式得点的坐标为或；或，直线的方程为或．19.如图，四棱锥P﹣ABCD的底面为矩形，PA是四棱锥的高，AP=AB=2，F是PB的中点，E是BC上的动点．（1）证明：PE⊥AF；（2）若BC=2BE=4，求直线AP与平面PDE所成角的大小．参考答案：【考点】直线与平面所成的角；空间中直线与直线之间的位置关系．【分析】（1）建立如图所示空间直角坐标系．设BE=a，证明：，即可证明PE⊥AF；（2）求出平面PDE的法向量，即可求直线AP与平面PDE所成角的大小．【解答】（1）证明：建立如图所示空间直角坐标系．设BE=a则A（0，0，0），B（0，2，0），P（0，0，2），F（0，1，1），E（a，2，0）于是，，，则，所以AF⊥PE．（2）解：由，得，，，=（2，2，﹣2）设平面PDE的法向量为=（x，y，z），由，得：，令x=1，则，于是，而，设AP与平面PDE所成角为θ，所以，所以AP与平面PDE所成角θ为60°．【点评】本题考查向量知识的运用，考查线线垂直，考查线面角，正确求出平面的法向量是关键．20.（本小题满分12分）某商场为吸引顾客消费推出一项优惠活动．活动规则如下：消费额每满100元可转动如图所示的转盘一次，并获得相应金额的返券，假定指针等可能地停在任一位置．若指针停在A区域返券60元；停在B区域返券30元；停在C区域不返券．例如：消费218元，可转动转盘2次，所获得的返券金额是两次金额之和．（1）若某位顾客消费128元，求返券金额不低于30元的概率；（2）若某位顾客恰好消费280元，并按规则参与了活动，他获得返券的金额记为（元）．求随机变量的分布列和数学期望．参考答案：设指针落在A,B,C区域分别记为事件A,B,C．则．（Ⅰ）若返券金额不低于30元，则指针落在A或B区域． 即消费128元的顾客，返券金额不低于30元的概率是．（Ⅱ）由题意得该顾客可转动转盘2次．随机变量的可能值为0，30，60，90，120．

所以，随机变量的分布列为：

0306090120

其数学期望．21.（本小题满分12分）设进入某商场的每一位顾客购买甲种商品的概率为，购买乙种商品的概率为，且购买甲种商品与购买乙种商品相互独立，各顾客之间购买商品也是相互独立的。（Ⅰ）求进入商场的1位顾客购买甲、乙两种商品中的一种的概率；（Ⅱ）求进入商场的1位顾客至少购买甲、乙两种商品中的一种的概率；（Ⅲ）记表示进入商场的3位顾客中至少购买甲、乙两种商品中的一种的人数，求的分布列及期望。参考答案：记表示事件：进入商场的1位顾客购买甲种商品，

记表示事件：进入商场的1位顾客购买乙种商品，记表示事件：进入商场的1位顾客购买甲、乙两种商品中的一种，记表示事件：进入商场的1位顾客至少购买甲、乙两种商品中的一种，（Ⅰ）

（Ⅱ）

（Ⅲ），故的分布列的分布列为：0123P0.0080.0960.3840.512

所以22.已知椭圆的两焦点、，离心率为，直线：与椭圆交于两点，点在轴上的射影为点．（Ⅰ）求椭圆的标准方程；（Ⅱ）求直线的方程，使的面积最大，并求出这个最大值．

参考答案：解：（Ⅰ）设椭圆方程为，则

…1分

，，