山西省阳泉市第十四中学高三数学理月考试题含解析

山西省阳泉市第十四中学高三数学理月考试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知函数的定义域为，值域为.下列关于函数的说法：①当时，；②将的图像补上点，得到的图像必定是一条连续的曲线；③是上的单调函数；④的图象与坐标轴只有一个交点.其中正确命题的个数为（

）A.

1

B.

2

C.

3

D.

4参考答案：B略2.在正方体上任选3个顶点连成三角形，则所得的三角形是直角非等腰三角形的概率为（

）

A．

B．

C．

D．参考答案：C3.已知直线（是非零常数）与圆有公共点，且公共点的横坐标和纵坐标均为整数，那么这样的直线共有（▲）A．52条 B．60条 C．66条 D．78条参考答案：B略4.函数y=exx2﹣1的部分图象为（）A． B． C． D．参考答案：A【考点】利用导数研究函数的极值；函数的图象．【分析】求函数的导数，确定函数的极值和单调性，即可判断函数的图象．【解答】解：∵y=exx2﹣1，∴y'=f'（x）=exx2+2xex=ex（x2+2x），由f'（x）=ex（x2+2x）＞0，得x＞0或x＜﹣2，此时函数单调递增，由f'（x）=ex（x2+2x）＜0，得﹣2＜x＜0，此时函数单调递减．∴当x=0时，函数f（x）取得极小值，当x=﹣2时，函数f（x）取得极大值，对应的图象为A．故选：A．5.已知复数z（1+4i）=2i﹣5（i为虚数单位），则复数z的虚部为（）A．﹣ B．i C． D．参考答案：C【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】把已知等式变形，利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．【解答】解：∵z（1+4i）=2i﹣5，∴，∴复数z的虚部为．故选：C．【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查了复数的基本概念，是基础题．6.已知sin（α－）=，则cos（α+）=（）A． B． C． D．参考答案：A【分析】利用诱导公式化简要求的式子，可得结果．【解答】解：∵sin（α）=，则cos（α+）=cos[+（α﹣）]=﹣sin（α﹣）=﹣，故选：A．7.等差数列{an}中，a2=8，前6项和和S6=66，设，Tn=b1+b2+…+bn，则Tn=（）A． B． C． D．参考答案：D【考点】数列的求和．【分析】利用等差数列通项公式与求和公式可得an，利用“裂项求和”即可得出．【解答】解：设等差数列{an}的公差为d，∵a2=8，S6=66，∴a1+d=8，6a1+d=66，解得a1=6，d=2．∴an=6+2（n﹣1）=2n+4．设==，Tn=b1+b2+…+bn=+…+=．故选：D．8.已知函数为自然对数的底数）与的图象上存在关于轴对称的点，则实数的取值范围是（

）A．B．C．D．参考答案：B【知识点】对数函数的图像与性质．解析：由已知，得到方程a﹣x2=﹣2lnx?﹣a=2lnx﹣x2在上有解．设f（x）=2lnx﹣x2，求导得：f′（x）=﹣2x=，∵≤x≤e，∴f′（x）=0在x=1有唯一的极值点，∵f（）=﹣2﹣，f（e）=2﹣e2，f（x）极大值=f（1）=﹣1，且知f（e）＜f（），故方程﹣a=2lnx﹣x2在上有解等价于2﹣e2≤﹣a≤﹣1．从而a的取值范围为．故选B．【思路点拨】由已知，得到方程a﹣x2=﹣2lnx?﹣a=2lnx﹣x2在上有解，构造函数f（x）=2lnx﹣x2，求出它的值域，得到﹣a的范围即可．9.若将函数()的图象向右平移个单位长度后，与函数的图象重合，则ω的最小值为()A.

B.

C.

D.参考答案：B10.执行下面的程序框图,如果输入的N=10,那么输出的S=A．

B．C．

D．参考答案：B二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.若函数f（x）=（x﹣a）（x+3）为偶函数，则f（2）=．参考答案：﹣5【考点】函数奇偶性的性质．【分析】根据偶函数f（x）的定义域为R，则?x∈R，都有f（﹣x）=f（x），建立等式，解之求出a，即可求出f（2）．【解答】解：因为函数f（x）=（x﹣a）（x+3）是偶函数，所以?x∈R，都有f（﹣x）=f（x），所以?x∈R，都有（﹣x﹣a）?（﹣x+3）=（x﹣a）（x+3），即x2+（a﹣3）x﹣3a=x2﹣（a﹣3）x﹣3a，所以a=3，所以f（2）=（2﹣3）（2+3）=﹣5．故答案为：﹣5．12.已知圆C：上存在两点A，B，P为直线x＝5上的一个动点，且满足AP⊥BP，则点P的纵坐标取值范围是_______．参考答案：[2，6]【分析】由题分析可得∠CPA最大为45°，即sin∠CPA≥，解不等式≥即得解.【详解】要使AP⊥BP，即∠APB的最大值要大于或等于90°，显然当PA切圆C于点A，PB切圆C于点B时，∠APB最大，此时∠CPA最大为45°，则sin∠CPA≥，即≥，设点P(5，)，则≥，解得2≤≤6．故答案为：[2，6]【点睛】本题主要考查直线和圆的位置关系，意在考查学生对该知识的理解掌握水平和分析推理能力.13.数列的前80项的和等于参考答案：14.已知是双曲线：的左焦点，是双曲线的虚轴，是的中点，过的直线交双曲线于，且，则双曲线离心率是_________________.参考答案：15.已知直线（其中，）与圆交于点M、N，O是坐标原点，则__________，__________．参考答案：

－10【分析】先求出圆心到直线的距离，再由相交弦长公式，求出；设的中点为，则有，利用，根据数量积的运算律，即可求解.【详解】由，可知，圆心到直线的距离，．

设的中点为，则，，.故答案为：；.【点睛】本题考查直线与圆的位置关系、向量的数量积运算，熟记圆的弦长公式以及几何性质是解题关键，考查计算求解能力，属于中档题.16.设函数，则下列命题中正确命题的序号是

.①当时，在R上有最大值；

②函数的图象关于点对称；③方程=0可能有4个实根；

④当时，在R上无最大值；⑤一定存在实数a，使在上单调递减.参考答案：①③⑤略17.如图，棱长均为2的正四棱锥的体积为

．参考答案：

三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.设函数f（x）=ax﹣，曲线y=f（x）在点（2，f（2））处的切线方程为7x﹣4y﹣12=0．（Ⅰ）求f（x）的解析式；（Ⅱ）曲线y=f（x）上任一点处的切线与直线x=0和直线y=x所围成的三角形面积为定值，并求此定值．参考答案：【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程；函数解析式的求解及常用方法．【专题】计算题；导数的概念及应用．【分析】（Ⅰ）求导函数，利用曲线y=f（x）在点（2，f（2））处的切线方程为7x﹣4y﹣12=0，建立方程，可求得a=1，b=3，从而可得f（x）的解析式；（Ⅱ）求出切线方程，从而可计算切线与直线x=0和直线y=x所围成的三角形面积．【解答】解：（Ⅰ）求导函数可得：f′（x）=a+∵曲线y=f（x）在点（2，f（2））处的切线方程为7x﹣4y﹣12=0．∴f（2）=∴a+=，2a﹣=∴a=1，b=3∴f（x）的解析式为f（x）=x﹣；（Ⅱ）设（x0，x0﹣）为曲线f（x）上任一点，则切线的斜率为1+，∴切线方程为y﹣（x0﹣）=（1+）（x﹣x0），令x=0，可得y=﹣由切线方程与直线y=x联立，求得交点横坐标为x=2x0∴曲线f（x）上任一点处的切线与直线x=0和直线y=x所围成的三角形面积为定值×|2x0|×|﹣|=6【点评】本题考查导数知识的运用，考查导数的几何意义，考查学生的计算能力，属于中档题．19.如图,长方体中，,,是的中点.(Ⅰ)求证：直线平面；(Ⅱ)求证：平面平面；(Ⅲ)求三棱锥的体积.参考答案：(Ⅰ)证明：在长方体中,，高考资源网w。w-w*k&s%5￥u又

∵

平面，平面∴

直线平面

(Ⅱ)证明：在长方形中,∵,,∴,∴,故,

∵在长方形中有平面,平面,∴,又∵,∴直线平面,高考资源网w。w-w*k&s%5￥u而平面,所以平面平面.

(Ⅲ)

.

略20.选修4-4:坐标系与参数方程

已知直线（t为参数），以坐标原点为极点，以x轴正半轴为极轴，

建立极坐标系，曲线的极坐标方程为，且与相交于A，B两点．

(

I)当时，求；

(Ⅱ)当a变化时，求弦AB的中点P的参数方程，并说明它是什么曲线．参考答案：解：（Ⅰ）当时，将直线的参数方程化成直角坐标方程为，曲线的极坐标方程化成直角坐标方程为，则圆的圆心为，半径……………………（3分）则圆心到直线的距离，则.……………………（5分）（Ⅱ）由直线的方程可知，直线恒经过定点,记该定点为,弦的中点满足,故点到的中点的距离为定值1，当直线与圆相切时，切点分别记为.……………（7分）由图，可知,则点的参数方程为表示的是一段圆弧.…………（10分）

略21.（本小题满分12分）已知函数的图象经过点，且相邻两条对称轴的距离为.（1）求函数的解析式及其在上的单调递增区间；（2）在分别是A,B,C的对边，若，，求的值.参考答案：（1）[﹣+kπ，+kπ]；（2）

【知识点】余弦定理；三角函数的周期性及其求法；正弦函数的单调性C3C4C8（1）把（0，）代入解析式得：sinφ=，∵0＜φ＜，∴φ=，∵相邻两条对称轴间的距离为，∴函数的周期为π，即ω=2，∴函数f（x）的解析式为f（x）=sin（2x+），令﹣+2kπ≤2x+≤+2kπ，k∈Z，得到﹣+kπ≤x≤+kπ，k∈Z，则f（x）的单调递增区间为[﹣+kπ，+kπ]，k∈Z；当k=0时，f(x)的一个单调递增区间是，当k=1时，f(x)的一个单调递增区间是。故函数f(x)在上的单调递增区间。（2）由第一问得：f（）=sin（A+），代入得：sin（A+）﹣cosA=sinA+cosA﹣cosA=sinA﹣cosA=sin（A﹣）=，∴A﹣=或，即A=或A=π（舍去），∵bc=1，b+c=3，∴由余弦定理得：a2=b2+c2﹣2bccosA=b2+c2﹣bc=（b+c）2﹣3bc=9﹣3=6，则a=．【思路点拨】（1）把已知点坐标代入求出φ的值，根据题意确定出