山西省阳泉市平定县冶西镇职业中学2022-2023学年高三数学文下学期期末试题含解析

山西省阳泉市平定县冶西镇职业中学2022-2023学年高三数学文下学期期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.复数（i为虚数单位）的虚部是（）A．﹣i B． C．﹣i D．﹣参考答案：D【考点】复数代数形式的混合运算．【分析】先根据复数的运算法则化简，再根据复数的定义即可求出．【解答】解：i2016=（﹣1）1008=1，∴===﹣﹣i，∴复数（i为虚数单位）的虚部是﹣，故选：D．【点评】本题考查了复数的运算法则和复数的定义，属于基础题．2.已知向量，，，若与共线，则必有（

）

A．

B．

C．∥

D．∥或参考答案：D略3.某种饮料每箱装6听，如果其中有2听不合格。质检人员从中随机抽出2听，检出不合格产品的概率A．

B．

C．

D．参考答案：D略4.已知曲线在点处的切线与直线垂直，若是函数的两个零点，则（

）A.

B.

C.

D.参考答案：B考点：函数与方程的关系及数形结合的思想．【易错点晴】本题考查的是以导数的几何意义及函数零点为背景的不等式问题.求解时充分借助题设条件与已知,先运用导数的知识求出函数解析式中的未知数,后依据函数零点的概念建立方程,然后借助题设和函数图象的特征确定零点的取值范围,最后运用不等式的性质求出,从而求出.5.已知函数f（x）=sinωx﹣cosωx（ω＞0）的最小正周期为π．（1）求函数y=f（x）图象的对称轴方程；（2）讨论函数f（x）在上的单调性．参考答案：【考点】三角函数中的恒等变换应用；正弦函数的图象．【分析】（1）利用辅助角公式化简函数的解析式，根据正弦函数的周期性求得ω，可得其解析式，利用正弦函数的图象的对称求得函数y=f（x）图象的对称轴方程．（2）利用正弦函数的单调性求得函数f（x）在上的单调性．【解答】解：（1）∵，且T=π，∴ω=2．于是，令，得，即函数f（x）的对称轴方程为．（2）令，得函数f（x）的单调增区间为．注意到，令k=0，得函数f（x）在上的单调增区间为；同理，求得其单调减区间为．6.，则（

）

（A）

（B）

（C）

（D）参考答案：C,所以，选C.7.的值为（

）A．

B． C．

D．参考答案：C8.执行如图所示的程序框图，输出的的值为

（A）（B）（C）（D）参考答案：A第一次循环得；第二次循环得；第三次循环得，第四次循环得，但此时,不满足条件，输出，所以选A.9.如图，四棱锥P﹣ABCD中，△PAB与△PBC是正三角形，平面PAB⊥平面PBC，AC⊥BD，则下列结论不一定成立的是（）A．PB⊥AC B．PD⊥平面ABCDC．AC⊥PD D．平面PBD⊥平面ABCD参考答案：【分析】在A中，取PB中点O，连结AO、CO，推导出PB⊥平面AOC，从而PB⊥AC；在B中，推导出PD与AC不垂直，从而PD与平面ABCD不垂直；在C中，推导出AC⊥PB，AC⊥BD，PB∩BD=B，从而AC⊥平面PBD，进而AC⊥PD；在D中，由AC⊥平面PBD，得到平面PBD⊥平面ABCD．【解答】解：在A中，取PB中点O，连结AO、CO，∵四棱锥P﹣ABCD中，△PAB与△PBC是正三角形，平面PAB⊥平面PBC，AC⊥BD，∴AO⊥PB，CO⊥PB，∵AO∩CO=O，∴PB⊥平面AOC，∵AC?平面AOC，∴PB⊥AC，故A成立；在B中，∵△PAB与△PBC是正三角形，∴PA=PC，AB=AC，设AC∩BD=M，连结PM，则PM⊥AC，∴PD与AC不垂直，∴PD与平面ABCD不垂直，故B不成立；在C中，∵PB⊥平面AOC，AC?平面AOC，∴AC⊥PB，∵AC⊥BD，PB∩BD=B，∴AC⊥平面PBD，∵PD?平面PBD，∴AC⊥PD，故C成立；在D中，∵AC⊥平面PBD，AC?平面ABCD，∴平面PBD⊥平面ABCD，故D成立．故选：B．【点评】本题考查命题真假的判断，考查线面、线线、面央间的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是中档题．10.执行如图所示的程序框图，输出的S值为（）A．2 B．4 C．6 D．12参考答案：C【考点】程序框图．【分析】根据所给数值判定是否满足判断框中的条件，然后执行循环语句，一旦不满足条件就退出循环，从而到结论．【解答】解：模拟执行程序，可得k=0，s=0满足条件k＜3，执行循环体，s=0，k=1满足条件k＜3，执行循环体，s=2，k=2满足条件k＜3，执行循环体，s=6，k=3不满足条件k＜3，退出循环，输出s的值为6．故选：C．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知数列{an}的前n项和为Sn，且，则数列的前6项和为_____.参考答案：由题意得，因为数列{}的前6项和为.12.已知的三边长分别为，其面积为S，则的内切圆的半径．这是一道平面几何题，其证明方法采用“等面积法”．请用类比推理方法猜测对空间四面体ABCD存在类似结论为

．参考答案：四面体ABCD的各表面面积分别为，其体积为V，则四面体ABCD的内切球半径．13.已知函数若，则等于

．参考答案：或略14.定义，设实数x，y满足约束条件，z=max{4x+y，3x﹣y}，则z的取值范围是．参考答案：﹣7≤Z≤10【考点】7D：简单线性规划的应用．【分析】先找出可行域，即四边形ABCD上及其内部，（4x+y）与（3x﹣y）相等的分界线x+2y=0，令z=4x+y时，点（x，y）在四边形MNCD上及其内部，求得z范围；令z=3x﹣y，点（x，y）在四边形ABNM上及其内部（除AB边）求得z范围，将这2个范围取并集可得答案．【解答】解：当4x+y≥3x﹣y时可得x+2y≥0则原题可转化为：当，Z=4x+y作出不等式组所表示的平面区域如图所示的阴影部分的MDCN，作直线l0：4x+y=0然后把直线l0向可行域平移则可知直线平移到C（2，2）时Zmax=10，平移到点N（﹣2，1）时Zmin=﹣6此时有﹣6≤z≤10当，Z=3x﹣y作出不等式组所表示的平面区域如图所示的ABNM作直线l0：3x﹣y=0，然后把直线3x﹣y=0向可行域平移则可知直线平移到M（﹣2，1）时Zmin=﹣7，平移到点B（2，﹣2）时，Zmax=8此时有﹣7≤z≤8综上可得，﹣7≤Z≤10

【点评】本题表面上看约束条件和目标函数都是静态的，实际上二者都是动态变化的，目标函数是z=4x+y还是z=3x﹣y并没有明确确定下来，直线x+2y=0又将原可行域分为两部分．解题的关键是通过比较4x+y与3x﹣y的大小，同时目标函数及可行域都将发生变化．此题构思比较巧妙．15.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若满足2bcosA=2c﹣a，则角B的大小为．参考答案：

【考点】正弦定理．【分析】由已知及余弦定理可得c2+a2﹣b2=，进而利用余弦定理可求cosB=，结合范围B∈（0，π），即可得解B的值．【解答】解：∵2bcosA=2c﹣a，∴cosA==，整理可得：c2+a2﹣b2=，∴cosB===，∵B∈（0，π），∴B=．故答案为：．16.已知函数f(x)=，则函数y＝f(f(x))－t

(0<t<1)的零点个数是__________.参考答案：3略17.已知以x±2y=0为渐近线的双曲线经过点(4,1)，则该双曲线的标准方程为________.参考答案：【分析】设双曲线方程为，代入点，计算得到答案.【详解】双曲线渐近线为，则设双曲线方程为：，代入点，则.故双曲线方程为：.故答案为：.【点睛】本题考查了根据渐近线求双曲线，设双曲线方程为是解题的关键.三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知函数f（x）=lnx﹣a（x﹣1），a∈R．（Ⅰ）求函数f（x）在点（1，f（1））点处的切线方程；（Ⅱ）当x≥1时，f（x）≤恒成立，求a的取值范围．参考答案：【考点】导数在最大值、最小值问题中的应用；利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】（I）先求出切线的斜率k=f′（1）和f（1），代入直线的点斜式方程化简即可；（II）作差得f（x）﹣=，令g（x）=xlnx﹣a（x2﹣1）（x≥1），依次计算g′（x），g″（x），讨论a的范围判断g（x）的单调性，验证结论是否成立即可得出a的范围．【解答】解：（I）∵f（x）=lnx﹣a（x﹣1），∴f′（x）=﹣a，∴f（1）=0，f′（1）=1﹣a，∴函数f（x）在点（1，f（1））点处的切线方程为y=（1﹣a）（x﹣1）．（II）f（x）﹣=，令g（x）=xlnx﹣a（x2﹣1）（x≥1），则g′（x）=lnx+1﹣2ax，g″（x）==，①若a≤0，则g″（x）＞0，∴g′（x）在1，+∞）上单调递增，∴g′（x）≥g′（1）=1﹣2a＞0，∴g（x）在1，+∞）上单调递增，∴g（x）≥g（1）=0，∴≥0，即f（x）﹣≥0，不符合题意．②若0，则当x∈（1，）时，g″（x）＞0，∴g′（x）在1，）上单调递增，∴g′（x）≥g′（1）=1﹣2a＞0，∴g（x）在1，+∞）上单调递增，∴g（x）≥g（1）=0，∴≥0，即f（x）﹣≥0，不符合题意．③若a，则当x∈1，+∞）上时，g″（x）≤0，∴g′（x）在1，+∞）上单调递减，∴g′（x）≤g′（1）=1﹣2a≤0，∴g（x）在1，+∞）上单调递减，∴g（x）≤g（1）=0，∴≤0，即f（x）≤，符合题意．综上所述，a的取值范围是，+∞）．【点评】本题考查了导数的几何意义，导数与函数的单调性的关系，分类讨论思想，属于中档题．19.（12分）（2015?大连模拟）已知过点（2，0）的直线l1交抛物线C：y2=2px于A，B两点，直线l2：x=﹣2交x轴于点Q．（1）设直线QA，QB的斜率分别为k1，k2，求k1+k2的值；（2）点P为抛物线C上异于A，B的任意一点，直线PA，PB交直线l2于M，N两点，=2，求抛物线C的方程．参考答案：考点：直线与圆锥曲线的关系．

专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（1）解：设直线AB的方程为x=ky+2，联立可得，y2﹣2pky﹣4p=0，设A（x1，y1），B（x2，y2），则可求y1+y2，y1y2，进而可求x1x2，x1+x2，然后根据k1=，k2=可求k1+k2，（2）由（1）可得，直线OA，OB的斜率关系，可求k，由题意不妨取P（0，0），设M（﹣2，a），N（﹣2，b），由=2，可求ab，然后有kPA=kPM，kPN=kPB，可求p，进而可求抛物线方程解答：（1）解：设直线AB的方程为x=ky+2，联立可得，y2﹣2pky﹣4p=0，设A（x1，y1），B（x2，y2），则y1+y2=2pk，y1y2=﹣4p，∴x1x2==4，x1+x2=k（y1+y2）+4=2pk2+4，∵Q（﹣2，0），∴k1=，k2=∴k1+k2=+=====0（2）由（1）可得，直线OA，OB的斜率互为相反数，则有AB⊥x轴，此时k=0∵点P为抛物线C上异于A，B的任意一点，不妨取P（0，0），设M（﹣2，a），N（﹣2，b），∵=4+ab=2，∴ab=﹣2，∵kPA=kPM，kPN=kPB，∴，，两式相乘可得，，∴，∴p=，抛物线C的方程为：y2=x．点评：本题主要考查了直线与抛物线的位置关系的应用，求解本题（2）的关键是一般问题特殊化．20.(本题满分12分)如图，直三棱柱的体积为8，且，∠，E是的中点，是的中点.求异面直线与所成角的大小．（结果用反三角函数值表示）参考答案：由得，………3分取BC的中点F，联结AF，EF，则，所以即是异面直线与所成的角，记为．………5分，，，………8分，………11分因而………………12分21.△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知，且.（1）求角C；（2）若，且的面积为，求△ABC的周长.参考答案：解：（1）由，得.∵，∴，∴，∴.（2）∵，∴，又的面积为，∴，∴，∴，.由余弦定理得，∴.故的周长为.

22.已知函数，其中．若函数在它们的图象与坐标轴交点处的切线互相平行．（1）求的值；（2）是否存在直线，使得同时是函数的切线？说明理由．（3）若直线与、的图象分别交于、两点，直线与的图象有两个不同的交点、．记以、、、为顶点的凸四边形面积为，求证：．参考答案：（1）与坐