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山西省长治市长子县慈林镇第三中学高二数学理模拟试卷含解析一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的1.已知向量=(1,1,0),=(﹣1,0,2),且与互相垂直,则k的值是()A.1 B. C. D.参考答案:D【考点】数量积判断两个平面向量的垂直关系.【分析】根据题意,易得k+,2﹣的坐标,结合向量垂直的性质,可得3(k﹣1)+2k﹣2×2=0,解可得k的值,即可得答案.【解答】解:根据题意,易得k+=k(1,1,0)+(﹣1,0,2)=(k﹣1,k,2),2﹣=2(1,1,0)﹣(﹣1,0,2)=(3,2,﹣2).∵两向量垂直,∴3(k﹣1)+2k﹣2×2=0.∴k=,故选D.【点评】本题考查向量数量积的应用,判断向量的垂直,解题时,注意向量的正确表示方法.2.记集合A={(x,y)|x2+y2≤16},集合B={(x,y)|x+y﹣4≤0,(x,y)∈A}表示的平面区域分别为Ω1,Ω2.若在区域Ω1内任取一点P(x,y),则点P落在区域Ω2中的概率为()A. B. C. D.参考答案:B【考点】几何概型.【分析】由题意,根据几何概型的公式,只要求出平面区域Ω1,Ω2的面积,利用面积比求值.【解答】解:由题意,两个区域对应的图形如图,其中,,由几何概型的公式可得点P落在区域Ω2中的概率为;故选B.【点评】本题考查了几何概型的概率求法,解答本题的关键是分别求出平面区域Ω1,Ω2的面积,利用几何概型公式求值.3.已知实数a满足,则函数的零点在下列哪个区间内A.(-2,-1) B.(-1,0) C.(0,1) D.(1,2)参考答案:B【分析】由3a=5可得a值,分析函数为增函数,依次分析f(﹣2)、f(﹣1)、f(0)的值,由函数零点存在性定理得答案.【详解】根据题意,实数a满足3a=5,则a=log35>1,则函数为增函数,且f(﹣2)=(log35)﹣2+2×(﹣2)﹣log53<0,f(﹣1)=(log35)﹣1+2×(﹣1)﹣log53=﹣2<0,f(0)=(log35)0﹣log53=1﹣log53>0,由函数零点存在性可知函数f(x)的零点在区间(﹣1,0)上,故选:B.【点睛】本题考查函数零点存在性定理的应用,分析函数的单调性是关键.4.已知双曲线H:﹣=1,斜率为2的动直线l交H于A,B两点,则线段AB的中点在一条定直线上,这条定直线的方程为()A.x+y=0 B.x﹣y=0 C.x+2y=0 D.x﹣2y=0参考答案:B【考点】双曲线的简单性质.【分析】设A(x1,y1),B(x2,y2),AB中点为M(x0,y0).利用中点坐标公式、斜率计算公式、“点差法”即可得出.【解答】解:设A(x1,y1),B(x2,y2),AB中点为M(x0,y0).则,=1,相减可得=,即=2?又=2,y1+y2=2y0,x1+x2=2x0,则2?=2,即x0=y0,即x0﹣y0=0.故线段AB的中点在直线x﹣y=0上.故选:B5.若椭圆的焦距是2,则的值为(
)A.9
B.16
C.7
D.9或7参考答案:D略6.已知a,b均为实数,若(i为虚数单位),则(
)A.0 B.1 C.2 D.-1参考答案:C【分析】将已知等式整理为,根据复数相等可求得结果.【详解】由题意得:,即:则:
本题正确选项:C【点睛】本题考查复数相等的定义,涉及简单的复数运算,属于基础题.
7.已知双曲线的两个焦点为,,是此双曲线上一点,若,,则该双曲线的方程是(
)
A
B
C
D参考答案:
A8.如图,四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的底面ABCD为平行四边形,已知=,=,=,则用向量,,可表示向量为(
)A.++ B.﹣++ C.﹣+ D.﹣+﹣参考答案:B【考点】平面向量的基本定理及其意义.【专题】平面向量及应用;空间向量及应用.【分析】利用空间向量的平行六面体法则即可得出.【解答】解:===﹣.故选:B.【点评】本题考查了空间向量的平行六面体法则,属于基础题.9.在等差数列{an}中,已知a1+a2+a3+a4+a5=20,那么a3=()A.4 B.5 C.6 D.7参考答案:A【考点】等差数列的性质.【分析】法一:设首项为a1,公差为d,由已知有5a1+10d=20,所以a3=4.法二:因为a1+a5=a2+a4=2a3,所以由a1+a2+a3+a4+a5=20得5a3=20,故a3=4.【解答】解:法一:∵{an}为等差数列,设首项为a1,公差为d,由已知有5a1+10d=20,∴a1+2d=4,即a3=4.故选A.法二在等差数列中,∵a1+a5=a2+a4=2a3,∴由a1+a2+a3+a4+a5=20得5a3=20,∴a3=4.故选A.10.正方体的截平面不可能是
(1)钝角三角形
(2)直角三角形
(3)菱
形
(4)正五边形
(5)正六边形下述选项正确的是:(A)
(1)(2)(5)
(B)
(1)(2)(4)
(C)
(2)(3)(4)
(D)
(3)(4)(5)参考答案:B
解析:正方体的截平面可以是锐角三角形、等腰三角形、等边三角形,但不可能是钝角三角形,直角三角形(证明略);对四边形来讲,可以是梯形(等腰梯形)、平行四边形、菱形,矩形、但不可能是直角梯形(证明略);对五边形来讲,可以是任意五边形,不可能是正五边形(证明略);对六边形来讲,可以是六边形(正六边形)。二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.函数f(x)=x3+x2+mx+1是R上的单调函数,则m的取值范围为.参考答案:[,+∞)【考点】利用导数研究函数的单调性.【分析】对函数进行求导,令导函数大于等于0在R上恒成立即可.【解答】解:若函数y=x3+x2+mx+1是R上的单调函数,只需y′=3x2+2x+m≥0恒成立,即△=4﹣12m≤0,∴m≥.故m的取值范围为[,+∞).故答案为:[,+∞).12.根据如图所示的伪代码,可知输出的S的值为
.参考答案:2113.x>1,y>1且lgx+lgy=4则lgxlgy最大值为
参考答案:414.双曲线的渐近线方程为,焦距为,这双曲线的方程为_______________。参考答案:
解析:设双曲线的方程为,焦距
当时,;
当时,15.用反证法证明命题“若,则或”时,应假设
参考答案:16.一个社会调查机构就某地居民的月收入调查了10000人,并根据所得数据画了样本的频率分布直方图(如下图).为了分析居民的收入与年龄、学历、职业等方面的关系,要从这10000人中再用分层抽样方法抽出100人作进一步调查,则在[2500,3000)(元)月收入段应抽出
人.参考答案:2517.已知圆C:(x﹣3)2+(y﹣4)2=1和两点A(﹣m,0),B(m,0)(m>0),若圆C上存在点P使得∠APB=90°,则m的最大值为
.参考答案:6【考点】圆的标准方程.【专题】直线与圆.【分析】C:(x﹣3)2+(y﹣4)2=1的圆心C(3,4),半径r=1,设P(a,b)在圆C上,则=(a+m,b),=(a﹣m,b),由已知得m2=a2+b2=|OP|2,m的最大值即为|OP|的最大值.【解答】解:圆C:(x﹣3)2+(y﹣4)2=1的圆心C(3,4),半径r=1,设P(a,b)在圆C上,则=(a+m,b),=(a﹣m,b),∵∠APB=90°,∴,∴=(a+m)(a﹣m)+b2=0,∴m2=a2+b2=|OP|2,∴m的最大值即为|OP|的最大值,等于|OC|+r=5+1=6.故答案为:6.【点评】本题考查实数的最大值的求法,是中档题,解题时要认真审题,注意圆的性质的合理运用.三、解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤18.(本大题12分)已知函数在处有极值10.(1)求f(x)的解析式.(2)求函数f(x)在[0,2]上的最值.参考答案:(1)由题意:,又
………………(2分)由此得:
………………(4分)经验证:
∴
………………(6分)(2)由(1)知,
………………(8分)又
………………(10分)所以最大值为为
………………(12分)
19.已知F(x)=dt,(x>0).(1)求F(x)的单调区间;(2)求函数F(x)在[1,3]上的最值.参考答案:【考点】68:微积分基本定理;6E:利用导数求闭区间上函数的最值.【分析】(1)由定积分计算公式,结合微积分基本定理算出.再利用导数,研究F'(x)的正负,即可得到函数F(x)的单调增区间是(2,+∞),单调递减区间是(0,2).(2)根据F(x)的单调性,分别求出F(1)、F(2)、F(3)的值并比较大小,可得F(x)在[1,3]上的最大值是F(3)=﹣6,最小值是.【解答】解:依题意得,,定义域是(0,+∞).(1)F'(x)=x2+2x﹣8,令F'(x)>0,得x>2或x<﹣4;令F'(x)<0,得﹣4<x<2,且函数定义域是(0,+∞),∴函数F(x)的单调增区间是(2,+∞),单调递减区间是(0,2).(2)令F'(x)=0,得x=2(x=﹣4舍),由于函数在区间(0,2)上为减函数,区间(2,3)上为增函数,且,,F(3)=﹣6,∴F(x)在[1,3]上的最大值是F(3)=﹣6,最小值是.20.已知函数.(1)求的单调递减区间;(2)若△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,其中,,,求.参考答案:(1)化简整理,得:,单调递减区间为,.(2)由,得;,得,由余弦定理解得:.21.(12分)已知函数
f(x)=px--2lnx.(1)若p=2,求曲线f(x)在点(1,f(1))处的切线方程;(2)若函数f(x)在其定义域内为增函数,设函数g(x)=,若在[1,e]上至少存在一点x0,使得f(x0)>g(x0)成立,求实数p的取值范围.参考答案:【考点】导数在最大值、最小值问题中的应用;利用导数研究曲线上某点切线方程.【分析】(1)求出函数在x=1处的值,求出导函数,求出导函数在x=1处的值即切线的斜率,利用点斜式求出切线的方程.(2)通过g(x)的单调性,求出g(x)的最小值,通过对p的讨论,求出f(x)的最大值,令最大值大于等于g(x)的最小值求出p的范围.【解答】解:(1)当p=2时,函数,f(1)=2﹣2﹣2ln1=0.,曲线f(x)在点(1,f(1))处的切线的斜率为f'(1)=2+2﹣2=2.从而曲线f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为y﹣0=2(x﹣1),即y=2x﹣2.(2).令h(x)=px2﹣2x+p,要使f(x)在定义域(0,+∞)内是增函数,只需h(x)≥0在(0,+∞)内恒成立.由题意p>0,h(x)=px2﹣2x+p的图象为开口向上的抛物线,对称轴方程为,∴,只需,即p≥1时,h(x)≥0,f'(x)≥0∴f(x)在(0,+∞)内为增函数,正实数p的取值范围是[1,+∞).∵在[1,e]上是减函数,∴x=e时,g(x)min=2;x=1时,g(x)max=2e,即g(x)∈[2,2e],当p≥1时,由(2)知f(x)在[1,e]上是增函数,f(1)=0<2,又g(x)在[1,e]上是减函数,故只需f(x)max>g(x)min,x∈[1,e],而,g(x)min=2,即,解得,而,所以实数p的取值范围是.【点评】解决曲线的切线问题,常利用导数在切点处的值为切线的斜率求出切线方程;解决函数单调性已知求参数范围问题,常令导函数大于等于0(小于等于0)恒成立,求出参数的范围.22.在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且bsinA=a?cosB.(1)求角B的大小;(2)若b=3,sinC=2sinA,分别求a和c的值.参考答案:【考点】正弦定理;余弦定理.【专题】解三角形.【分析】(1)由bsinA=a?cosB,由正弦定理可得:sinBsinA=sinAcosB,化简整理即可得出.(2)由sinC=2sinA,可得c
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