山西省长治市郊区堠北庄中学2021-2022学年高二数学文测试题含解析

山西省长治市郊区堠北庄中学2021-2022学年高二数学文测试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.设a>0，b>0，则以下不等式中不一定成立的是()A．a2＋b2＋2≥2a＋2b

B．ln(ab＋1)≥0C．＋≥2

D．a3＋b3≥2ab2参考答案：D2.函数f（x）=excosx的图象在点（0，f（0））处的切线方程的倾斜角为（）A．0 B． C．1 D．参考答案：B【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程；直线的倾斜角．【分析】求导函数，可得f′（0）=1，从而可求切线方程的倾斜角．【解答】解：求导函数，可得f′（x）=ex（cosx﹣sinx）∴f′（0）=1∴函数f（x）=excosx的图象在点（0，f（0））处的切线方程的倾斜角为故选B．3.已知直线经过点，，且斜率为4，则a的值为（

）A．

B．

C.

D．4参考答案：D4.在区域内任取一点P，则点P落在单位圆x2＋y2＝1内的概率为(

)A．

B．

C．

D．参考答案：D略5.已知一等比数列的前三项依次为，那么是此数列的第（

）项A．

B．

C．

D．参考答案：B6.过抛物线的焦点F作斜率为的直线交抛物线于A、B两点，若（，则=（

）

A．3

B4

C．

D．参考答案：B略7.直线与圆的位置关系是A.相交

B．相切

C．相离

D．与值有关参考答案：8.函数在上最大值和最小值分别是（

）A.5,－15

B.5,－4 C.－4,－15

D.5,－16参考答案：A9.设函数的定义域为，且满足任意恒有的函数可以是(▲)

A．

B．

C．

D．

参考答案：C略10.已知函数，则方程f（x2－2x）＝m有六个解，则实数m的取值范围为A、（－e，0］B、（－1，0］C、（－e，－1）D、（－1，＋）参考答案：B二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.引入随机变量后，下列说法正确的有：__________（填写出所有正确的序号）.①随机事件个数与随机变量一一对应；②随机变量与自然数一一对应；③随机变量的取值是实数.参考答案：③【分析】要判断各项中对随机变量描述的正误，需要牢记随机变量的定义.【详解】引入随机变量,使我们可以研究一个随机实验中的所有可能结果，所以随机变量的取值是实数，故③正确.【点睛】本题主要考查随机变量的相关定义，难度不大.12.对于空间三条直线，有下列四个条件：①三条直线两两相交且不共点；②三条直线两两平行；③三条直线共点；④有两条直线平行，第三条直线和这两条直线都相交．其中，使三条直线共面的充分条件有

．参考答案：①④略13.已知是正数,是正常数,且,的最小值为______________.参考答案：14.已知,

则=

。参考答案：1略15.函数f（x）=x2+2x+3在自变量x从1变化到3的过程中的平均变化率是．参考答案：6【考点】变化的快慢与变化率．【分析】求出自变量x的改变量，求出函数值的改变量，由函数值的改变量除以自变量的改变量即可得到答案．【解答】解：△x=3﹣1=2，△y=32+6+3﹣（12+2+3）=12．所以函数的平均变化率为=6．故答案为：6．16.若，则的值为*

*

．参考答案：1；略17.设为双曲线上一动点，为坐标原点，为线段的中点，则点的轨迹方程是

参考答案：略三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知函数，曲线在点处切线与直线垂直.（1）试比较与的大小，并说明理由；（2）若函数有两个不同的零点，，证明：.参考答案：（1），理由见解析（2）详见解析【分析】（1）求出的导数，由两直线垂直的条件，即可得切线的斜率和切点坐标，进而可知的解析式和导数，求解单调区间，可得，即可得到与的大小；（2）运用分析法证明，不妨设，由根的定义化简可得，，要证：只需要证：，求出，即证，令，即证，令，求出导数，判断单调性，即可得证.【详解】（1）函数，，所以，又由切线与直线垂直，可得，即，解得，此时，令，即，解得，令，即，解得，即有在上单调递增，在单调递减所以即（2）不妨设，由条件：，要证：只需要证：，也即为，由只需要证：，设即证：，设，则在上是增函数，故，即得证，所以.【点睛】本题主要考查了导数的运用，求切线的斜率和单调区间，构造函数，运用单调性解题是解题的关键，考查了化简运算整理的能力，属于难题.19.已知椭圆C：+=1（a＞b＞0），过椭圆C的上顶点与右顶点的直线L，与圆x2+y2=相切，且椭圆C的右焦点与抛物线y2=4x的焦点重合．（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；（Ⅱ）过点O作两条互相垂直的射线与椭圆C分别交于A，B两点（其中O为坐标原点），求△OAB面积的最小值．参考答案：【考点】椭圆的简单性质．【分析】（Ⅰ）过椭圆C的上顶点与右顶点的直线L为=1，即bx+ay﹣ab=0．由直线L与圆x2+y2=相切相切，可得=．由抛物线y2=4x的焦点为F（1，0），可得c=1．即a2﹣b2=1，联立解出即可得出．（Ⅱ）当两射线与坐标轴重合时，S△OAB=．当两射线不与坐标轴重合时，设直线AB的方程为y=kx+m，A（x1，y1），B（x2，y2），与椭圆方程联立，消去y，得（3+4k2）x2+8kmx+4m2﹣12=0．因为OA⊥OB，所以x1x2+y1y2=0，所以x1x2+（kx1+m）（kx2+m）=0．把根与系数的关系代入可得得7m2=12（k2+1），所以点O到直线AB的距离d==．因为OA⊥OB，所以OA2+OB2=AB2≥2OA?OB，当且仅当OA=OB时，取等号．由d?AB=OA?OB，得d?|AB|=|OA|?|OB|≤，即可得出．【解答】解：（Ⅰ）过椭圆C的上顶点与右顶点的直线L为=1，即bx+ay﹣ab=0．由直线L与圆x2+y2=相切相切，得=．①…因为抛物线y2=4x的焦点为F（1，0），所以c=1．…即a2﹣b2=1，代入①，得7a4﹣31a2+12=0，即（7a2﹣3）（a2﹣4）=0，解得a2=4，a2=（舍去）．…所以b2=a2﹣1=3．故椭圆C的标准方程为=1．…（Ⅱ）当两射线与坐标轴重合时，S△OAB==．…当两射线不与坐标轴重合时，设直线AB的方程为y=kx+m，A（x1，y1），B（x2，y2），与椭圆方程联立，消去y，得（3+4k2）x2+8kmx+4m2﹣12=0．∴x1+x2=，x1?x2=．…因为OA⊥OB，所以x1x2+y1y2=0，所以x1x2+（kx1+m）（kx2+m）=0．即（k2+1）x1x2+km（x1+x2）+m2=0．…∴（k2+1）﹣+m2=0．…整理，得7m2=12（k2+1），所以点O到直线AB的距离d===．…因为OA⊥OB，所以OA2+OB2=AB2≥2OA?OB，当且仅当OA=OB时，取等号．由d?AB=OA?OB，得d?|AB|=|OA|?|OB|≤，所以|AB|≥2d=，即弦AB的长度的最小值是．所以△OAB的最小面积为S△OAB=×=．综上，△OAB面积的最小值为．…20.设函数f（x）=2x3+3ax2+3bx+8c在x=1及x=2时取得极值．（Ⅰ）求a、b的值；（Ⅱ）若对任意的x∈[0，3]，都有f（x）＜c2成立，求c的取值范围．参考答案：【考点】6D：利用导数研究函数的极值；6E：利用导数求闭区间上函数的最值．【分析】（1）依题意有，f'（1）=0，f'（2）=0．求解即可．（2）若对任意的x∈[0，3]，都有f（x）＜c2成立?f（x）max＜c2在区间[0，3]上成立，根据导数求出函数在[0，3]上的最大值，进一步求c的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）f'（x）=6x2+6ax+3b，因为函数f（x）在x=1及x=2取得极值，则有f'（1）=0，f'（2）=0．即解得a=﹣3，b=4．（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，f（x）=2x3﹣9x2+12x+8c，f'（x）=6x2﹣18x+12=6（x﹣1）（x﹣2）．当x∈（0，1）时，f'（x）＞0；当x∈（1，2）时，f'（x）＜0；当x∈（2，3）时，f'（x）＞0．所以，当x=1时，f（x）取得极大值f（1）=5+8c，又f（0）=8c，f（3）=9+8c．则当x∈[0，3]时，f（x）的最大值为f（3）=9+8c．因为对于任意的x∈[0，3]，有f（x）＜c2恒成立，所以9+8c＜c2，解得c＜﹣1或c＞9，因此c的取值范围为（﹣∞，﹣1）∪（9，+∞）．21.已知函数.（1）讨论的单调性；（2）是否存在a，b，使得在区间[0,1]的最小值为－1且最大值为1？若存在，求出a，b的所有值；若不存在，说明理由.参考答案：(1)见详解；(2)或.【分析】(1)先求的导数，再根据的范围分情况讨论函数单调性；(2)根据的各种范围，利用函数单调性进行最大值和最小值的判断，最终得出,的值.【详解】(1)对求导得.所以有当时，区间上单调递增，区间上单调递减，区间上单调递增；当时，区间上单调递增；当时，区间上单调递增，区间上单调递减，区间上单调递增.(2)若在区间有最大值1和最小值-1，所以若，区间上单调递增，区间上单调递减，区间上单调递增；此时在区间上单调递增，所以，代入解得，，与矛盾，所以不成立.若，区间上单调递增；在区间.所以，代入解得.若，区间上单调递增，区间上单调递减，区间上单调递增.即在区间单调递减，在区间单调递增，所以区间上最小值为而，故所以区间上最大值为.即相减得，即，又因为，所以无解.若，区间上单调递增，区间上单调递减，区间上单调递增.即在区间单调递减，在区间单调递增，所以区间上最小值为而，故所以区间上最大值为.即相减得，解得，又因为，所以无解.若，区间上单调递增，区间上单调递减，区间上单调递增.所以有区间上单调递减，所以区间上最大值为，最小值为即解得.综上得或.【点睛】这是一道常规的函数导数不等式和综合题，题目难度比往年降低了不少。考查的函数单调性，最大值最小值这种基本概念的计算。思考量不大，由计算量补充。22.（14分）为了考察冰川的融化状况，一支科考