山西省长治市辛村中学2021-2022学年高三数学理下学期期末试卷含解析

山西省长治市辛村中学2021-2022学年高三数学理下学期期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知是定义在R上的奇函数，且当时，，则（

）A．1

B.

C.

D.参考答案：B略2.若点(a,9)在函数y＝3x的图像上，则tan的值为()A．0

B．C．1

D．参考答案：D3.已知数列中，，等比数列的公比满足且，则（

）A．

B．

C．

D．参考答案：B4.在等差数列{}中，满足:,表示前项和，则使达到最大值的是A.21 B.20 C.19 D.18参考答案：B5.已知全集，集合，，那么集合等于（

）A

B

C．

D．参考答案：A略6.在等比数列{an}中，，，则的值是（

）A.8 B.15 C.18 D.20参考答案：A【分析】设等比数列的公比为，根据，求得，又由，即可求解.【详解】设等比数列的公比为，因为，即，，则，又由，故选A.【点睛】本题主要考查了等比数列性质的应用，其中解答中熟记等比数列的性质，合理运算是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题.7.已知的终边在第一象限，则“”是“” （

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分与不必要条件参考答案：D8.已知各项均不为零的数列{an}，定义向量．下列命题中真命题是（）A．若?n∈N*总有cn⊥bn成立，则数列{an}是等比数列B．若?n∈N*总有cn∥bn成立成立，则数列{an}是等比数列C．若?n∈N*总有cn⊥bn成立，则数列{an}是等差数列D．若?n∈N*总有cn∥bn成立，则数列{an}是等差数列参考答案：C【考点】8H：数列递推式．【分析】根据题意，分析平面向量平行、垂直的坐标表示，判断数列{an}是否为等差或等比数列．【解答】解：若cn∥bn成立，则﹣2nan=（2n+2）an+1，即﹣nan=（n+1）an+1，即=﹣，∴an=?…?a1=（﹣）?（﹣）?…?（﹣）?a1=（﹣1）n﹣1a1，∴数列{an}既不是等差数列，也不是等比数列，∴B，D错误，若?n∈N*总有cn⊥bn成立，则（2n+2）an﹣2nan+1=0，nan=（n+1）an+1，即=，∴an=?…?a1=??…?2?a1=na1，∴数列{an}是等差数列，∴A错误，C正确，故选：C9.设等比数列的前n项和为Sn，若S10:S5＝1:2，则S15:S5为A．1:2 B．1:3

C．2:3

D．3:4参考答案：D10.已知椭圆C：=1（a＞b＞0）的左焦点为F，C与过原点的直线相交于A，B两点，连接AF，BF，若|AB|=10，|BF|=8，cos∠ABF=，则C的离心率为（）A． B． C． D．参考答案：B【考点】椭圆的简单性质．【分析】由已知条件，利用余弦定理求出|AF|，设F′为椭圆的右焦点，连接BF′，AF′．根据对称性可得四边形AFBF′是矩形，由此能求出离心率e．【解答】解：如图所示，在△AFB中，|AB|=10，|BF|=8，cos∠ABF=，由余弦定理得|AF|2=|AB|2+|BF|2﹣2|AB||BF|cos∠ABF=100+64﹣2×10×8×=36，∴|AF|=6，∠BFA=90°，设F′为椭圆的右焦点，连接BF′，AF′．根据对称性可得四边形AFBF′是矩形．∴|BF′|=6，|FF′|=10．∴2a=8+6，2c=10，解得a=7，c=5．∴e==．故选B．【点评】本题考查椭圆的离心率的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意余弦定理、椭圆的对称性等知识点的合理运用．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知，则A=_________，b=__________．参考答案：；1．试题分析：由题意得，,所以.考点：1.二倍角公式；2.三角恒等变换.12.某所学校计划招聘男教师名,女教师名,和须满足约束条件则该校招聘的教师人数最多是

名.参考答案：1013.如图，已知F1，F2是椭圆C：（a＞b＞0）的左、右焦点，点P在椭圆C上，线段PF2与圆x2+y2=b2相切于点Q，且点Q为线段PF2的中点，则椭圆C的离心率为．参考答案：【考点】圆与圆锥曲线的综合．【分析】本题考察的知识点是平面向量的数量积的运算，及椭圆的简单性质，由F1、F2是椭圆（a＞b＞0）的左、右焦点，点P在椭圆C上，线段PF2与圆x2+y2=b2相切于点Q，且点Q为线段PF2的中点，连接OQ，F1P后，我们易根据平面几何的知识，根据切线的性质及中位线的性质得到PF2⊥PF1，并由此得到椭圆C的离心率．【解答】解：连接OQ，F1P如下图所示：则由切线的性质，则OQ⊥PF2，又由点Q为线段PF2的中点，O为F1F2的中点∴OQ∥F1P∴PF2⊥PF1，故|PF2|=2a﹣2b，且|PF1|=2b，|F1F2|=2c，则|F1F2|2=|PF1|2+|PF2|2得4c2=4b2+4（a2﹣2ab+b2）解得：b=a则c=故椭圆的离心率为：故答案为：．14.函数f（x）=的定义域为

．参考答案：（0，）∪（2，+∞）【考点】对数函数的定义域．【分析】根据偶次根号下的被开方数大于等于零，分母不为0，对数的真数大于零，列出不等式组，进行求解再用集合或区间的形式表示出来．【解答】解：要使函数有意义，则∵∴log2x＞1或log2x＜﹣1解得：x＞2或x所以不等式的解集为：0＜x或x＞2则函数的定义域是（0，）∪（2，+∞）．故答案为：（0，）∪（2，+∞）．15.已知公比为的等比数列的前项和满足，则公比的值为___________.参考答案：2略16.（2009江苏卷）在平面上，若两个正三角形的边长的比为1：2，则它们的面积比为1：4，类似地，在空间内，若两个正四面体的棱长的比为1：2，则它们的体积比为

.参考答案：1：8解析：考查类比的方法。体积比为1：817.已知幂函数在处有定义，则实数m＝

；参考答案：略三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知函数.（1）求函数f(x)的最小值k；（2）在（1）的结论下，若正实数a，b满足，求证：.参考答案：（1）因为所以函数的最小值为

………………5分（2）由（1）知，因为所以所以……………10分19.在△ABC中，角A，B，C对边分别为满足：，

（Ⅰ）求角A的大小；

（Ⅱ）求的最大值，并求取得最大值时角B，C的大小.参考答案：略20.(本小题满分12分)如图，直三棱柱，，点M，N分别为和的中点．(Ⅰ)证明：∥平面；(Ⅱ)若二面角A为直二面角，求的值．参考答案：解：（Ⅰ）分别取的中点，再连结，则有，，所以则四边形为平行四边形，所以,则∥平面

4分（Ⅱ）分别以所在直线为轴，建立空间直角坐标系（如图）设，则，所以平面的一个法向量，平面的一个法向量，因为二面角A为直二面角，所以，则有

12分略21.（本小题满分12分）已知曲线的方程为，曲线是以、为焦点的椭圆，点为曲线与曲线在第一象限的交点，且．

(1)求曲线的标准方程；

(2)直线与椭圆相交于，两点，若的中点在曲线上，求直线的斜率的取值范围．参考答案：解：（1）依题意，，,利用抛物线的定义可得，

点的坐标为………2分

,又由椭圆定义得.…4分

，所以曲线的标准方程为；

……6分（2）（方法一）设直线与椭圆交点，的中点的坐标为，

设直线方程为与联立得由①

……8分由韦达定理得

将M(,)代入

整理得

②…10分将②代入①得

令则

且

………12分（方法二）设直线与椭圆交点，的中点的坐标为，将的坐标代入椭圆方程中，得两式相减得

，

……7分，直线的斜率，

………8分由，，解得，或（舍）由题设，，

……10分即.

………12分22.（本小题满分13分）已知函数同时满足：①函数有且只有一个零点；②在定义域内存在，使得不等式成立.设数列的前项和（）.

(Ⅰ)求函数的表达式；

(Ⅱ)求数列的通项公式；

(Ⅲ)在各项均不为零的数列中，所有满足的整数的个数称为数列的变号数.令，求数列的变号数.参考答案：（Ⅰ）有且只有一个零点，

解得

………………1分当时，函数上递减故存在，使得不等式成立

………………2分当时，函数上递增故不存在，使得不等式成立

………………3分综上，得，

…………4分(Ⅱ)由（Ⅰ）可知当时，

………………5分当时，

………………7分