山西省长治市谷村中学2023年高三数学文上学期期末试题含解析

山西省长治市谷村中学2023年高三数学文上学期期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.将函数f(x)=cosx－sinx(xR)的图象向左平移a(a>0)个单位长度后，所得到的图象关于原点对称，则a的最小值是

A.B.C.D、参考答案：B

【知识点】三角函数中的恒等变换应用；函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．C4C7解析：函数f（x）=cosx﹣==2cos（x+），函数图象向左平移a个单位得到：g（x）=2cos（x+a+）得到的函数的图象关于原点对称，则：，解得：a=（k∈Z），当k=0时，，故选：B．【思路点拨】首先通过三角函数的恒等变换，把函数的关系式变形成余弦型函数，进一步利用函数的平移变换和函数图象关于原点对称的条件求出结果．2.设曲线（为自然对数的底数）上任意一点处的切线为，总存在曲线上某点处的切线，使得，则实数的取值范围为（

）（A） （B） （C） （D）参考答案：D，在上取点，在上取点，要，需，，，，，故选D．3.已知双曲线的一条渐近线方程为y＝－x，则此双曲线的离心率为(

)参考答案：C4.函数，若存在唯一的零点，且，则的取值范围为A．

B．

C．

D．

参考答案：B5.某几何体三视图如图所示，则该几何体的体积为（

）A．

B．

C．

D．参考答案：B6.己知，则（）A.－1 B.1 C.2 D.3参考答案：B【分析】把已知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化简，然后利用复数相等的条件列式求解．【详解】由,得a+2i=-1+bi，∴a=-1，b=2，则a+b=1．故选：B．【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数相等的条件，是基础题．7.若直线2x+y﹣2=0过双曲线=1（a＞0，b＞0）的一个焦点，且与双曲线的一条渐近线垂直，则双曲线的方程为(

) A． B．x2﹣ C． D．参考答案：A考点：双曲线的简单性质；直线的一般式方程与直线的垂直关系．专题：综合题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：令y=0可得双曲线=1（a＞0，b＞0）的一个焦点，利用直线2x+y﹣2=0与双曲线的一条渐近线垂直，可得=，即可求出a，b，从而可得双曲线的方程．解答： 解：令y=0可得，x=，∵直线2x+y﹣2=0过双曲线=1（a＞0，b＞0）的一个焦点，∴c=，∵直线2x+y﹣2=0与双曲线的一条渐近线垂直，∴=，∴a=2，b=1，∴双曲线的方程为，故选：A．点评：本题考查双曲线的方程与性质，考查学生的计算能力，比较基础．8.函数满足，若，则

=

（

）A.

B.

C.

D.

参考答案：C

9.平面内到定点M（2，2）与到定直线的距离相等的点的轨迹是（

）A．直线

B．抛物线

C．椭圆

D．双曲线参考答案：答案：A10.已知△ABC是边长为1的等边三角形，点D，E分别是边AB，BC的中点，连接DE并延长到点F，使，则的值为（）A．

B．

C．

D．参考答案：A【考点】平面向量数量积的运算．【专题】计算题；数形结合；向量法；平面向量及应用．【分析】可画出图形，并连接AE，从而有AE⊥BC，这便得出，并由条件得出，而，代入，进行数量积的运算即可求出该数量积的值．【解答】解：如图，连接AE，则：AE⊥BC；；∴；∴====．故选A．【点评】本题考查向量垂直的充要条件，向量加法的几何意义，向量的数乘运算，以及向量数量积的运算及计算公式．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.在等差数列{an}中，a4=5，a7=11，设bn=（﹣1）nan，则数列{bn}的前101项之和S101=．参考答案：﹣99

【考点】等差数列的前n项和．【专题】方程思想；转化思想；等差数列与等比数列．【分析】设等差数列{an}的公差为d，由a4=5，a7=11，可得，解得a1，d．可得an．可得b2n﹣1+b2n=﹣a2n﹣1+a2n．即可得出数列{bn}的前101项之和S101．【解答】解：设等差数列{an}的公差为d，∵a4=5，a7=11，∴，解得a1=﹣1，d=2．∴an=﹣1+2（n﹣1）=2n﹣3．∴b2n﹣1+b2n=﹣a2n﹣1+a2n=2．则数列{bn}的前101项之和S101=2×50﹣a101=100﹣（2×100﹣1）=﹣99．故答案为：﹣99．【点评】本题考查了等差数列的通项公式与求和关系、分组求和，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．12.已知三棱锥A﹣BCD中，AB⊥面BCD，BC⊥CD，AB=BC=CD=2，则三棱锥A﹣BCD的外接球体积为

．参考答案：4【考点】球内接多面体．【分析】取AD的中点O，连结OB、OC．由线面垂直的判定与性质，证出AB⊥BD且AC⊥CD，得到△ABD与△ACD是具有公共斜边的直角三角形，从而得出OA=OB=OC=OD=AD，所以A、B、C、D四点在以O为球心的球面上，再根据题中的数据利用勾股定理算出AD长，即可得到三棱锥A﹣BCD外接球的半径大小．【解答】解：取AD的中点O，连结OB、OC∵AB⊥平面BCD，CD?平面BCD，∴AB⊥CD，又∵BC⊥CD，AB∩BC=B，∴CD⊥平面ABC，∵AC?平面ABC，∴CD⊥AC，∵OC是Rt△ADC的斜边上的中线，OC=AD．同理可得：Rt△ABD中，OB=AD，∴OA=OB=OC=OD=AD，可得A、B、C、D四点在以O为球心的球面上．Rt△ABD中，AB=2且BD=2，可得AD==2，由此可得球O的半径R=AD=，∴三棱锥A﹣BCD的外接球体积为=4π．故答案为：4π．13.若两曲线的参数方程分别为（0≤θ＜π）和(∈R)，则它们的交点坐标为_________.参考答案：（1，）略14.如图是一个几何体的三视图，则该几何体的表面积为____________.参考答案：略15.已知函数f(x)＝则不等式x＋1＞(x2＋1)f(x)的解集是________．参考答案：略16.已知向量的值为__▲__.参考答案：略17.设等差数列{an}的公差d＜0，前n项和为Sn，已知3是﹣a2与a9的等比中项，S10=20，则d=．参考答案：﹣2【考点】等差数列的前n项和．【分析】由等差数列通项公式、等比中项定义、等差数列前n项和公式，列出方程组，由此能求出公差d．【解答】解：∵等差数列{an}的公差d＜0，前n项和为Sn，3是﹣a2与a9的等比中项，S10=20，∴，解得a1=11，d=﹣2．故答案为：﹣2．【点评】本题考查等差数列的公差的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等差数列、等比数列的性质的合理运用．三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（本小题满分14分）已知数列和满足，，。(1)求证:数列为等差数列,并求数列通项公式；(2)数列的前项和为

，令,求的最小值。参考答案：解：(1)

即……………4分数列是公差为1,首项为1等差数列........................5分即

即………..7分(2)=..........9分因为所以单调递增

…………12分

的最小值为………….14分19.[选修4-5：不等式选讲]已知函数f（x）=|2x+1|，g（x）=|x|+a（Ⅰ）当a=0时，解不等式f（x）≥g（x）；（Ⅱ）若存在x∈R，使得f（x）≤g（x）成立，求实数a的取值范围．参考答案：【考点】绝对值不等式的解法；带绝对值的函数．【分析】（Ⅰ）当a=0时，由不等式可得|2x+1|≥|x|，两边平方整理得3x2+4x+1≥0，解此一元二次不等式求得原不等式的解集．（Ⅱ）由f（x）≤g（x）得a≥|2x+1|﹣|x|，令h（x）=|2x+1|﹣|x|，则h（x）=，求得h（x）的最小值，即可得到从而所求实数a的范围．【解答】解：（Ⅰ）当a=0时，由f（x）≥g（x）得|2x+1|≥|x|，两边平方整理得3x2+4x+1≥0，解得x≤﹣1或x≥﹣，∴原不等式的解集为（﹣∞，﹣1]∪[﹣，+∞）．（Ⅱ）由f（x）≤g（x）得a≥|2x+1|﹣|x|，令h（x）=|2x+1|﹣|x|，即h（x）=，故h（x）min=h（﹣）=﹣，故可得到所求实数a的范围为[﹣，+∞）．【点评】本题主要考查带有绝对值的函数，绝对值不等式的解法，求函数的最值，属于中档题．20.因金融危机，某公司的出口额下降，为此有关专家提出两种促进出口的方案，每种方案都需要分两年实施．若实施方案一，预计第一年可以使出口额恢复到危机前的1．0倍、0．9倍、0．8倍的概率分别为0．3、0．3、0．4；第二年可以使出口额为第一年的1．25倍、1．0倍的概率分别是0．5、0．5．若实施方案二，预计第一年可以使出口额恢复到危机前的1．2倍、l．0倍、0．8倍的概率分别为0．2、0．3、0．5；第二年可以使出口额为第一年的1．2倍、1．0倍的概率分别是0．4、0．6．实施每种方案第一年与第二年相互独立．令（=1，2）表示方案实施两年后出口额达到危机前的倍数。（Ⅰ）写出、的分布列；（Ⅱ）实施哪种方案，两年后出口额超过危机前出口额的概率更大?（Ⅲ）不管哪种方案，如果实施两年后出口额达不到、恰好达到、超过危机前出口额，预计利润分别为10万元、15万元、20万元，问实施哪种方案的平均利润更大.参考答案：（Ⅰ）的所有取值为0．8，0．9，1．0，1．125，1．25， 其分布列为：0．80．91．01．1251．250．20．150．350．150．15 ……2分 的所有取值为0．8，0．96，1．0，1，2，1．44，其分布列为 0．80．961．01．21．440．30．20．180．240．08……4分 （Ⅱ）设实施方案一、方案二两年后超过危机前出口额的概率为，，则 ∴实施方案二两年后超过危机前出口额的概率更大．……6分 （Ⅲ）方案一、方案二的预计利润为、，则 1015200．350．350．3 ……8分1015200．50．180．32 ……10分 ∴实施方案一的平均利润更大。……12分略21.已知函数(1)求函数的定义域;(2)判断函数的奇偶性;(3)求证:﹥0.参考答案：解：(1)

(2)设

为偶函数

(3)当x＜0时，＜＜