山西省长治市谷村中学2021-2022学年高三数学理模拟试题含解析

山西省长治市谷村中学2021-2022学年高三数学理模拟试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.数列中，，当时，等于的个位数，则该数列的第

项是A．

B．

C．

D．参考答案：答案：D2.定义域为R的四个函数，，，中，偶函数的个数是(

)A．4

B．3

C．2

D．1参考答案：3.已知函数f（x）=2sin（x+φ），且f（0）=1，f′（0）＜0，则函数图象的一条对称轴的方程为（）A．x=0 B．x= C．x= D．x=参考答案：A【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【专题】三角函数的图像与性质．【分析】由题意可得2sinφ=1，且2cosφ＜0，可取φ=，可得函数f（x）的解析式，从而得到函数的解析式，再根据z余弦函数的图象的对称性得出结论．【解答】解：∵函数f（x）=2sin（x+φ），且f（0）=1，f'（0）＜0，∴2sinφ=1，且2cosφ＜0，∴可取φ=，函数f（x）=2sin（x+）．∴函数=2sin（x+）=2cosx，故函数图象的对称轴的方程为x=kπ，k∈z．结合所给的选项，故选：A．【点评】本题主要考查三角函数的导数，余弦函数的图象的对称性，属于基础题．4.将正偶数按表的方式进行排列，记表示第行第列的数，若，则的值为

第1列第2列第3列第4列第5列第1行

第2行

第3行

第4行

第5行

………………

A．

B．

C．

D．参考答案：C5.某校高三（1）班共有48人，学号依次为1，，,,3，...，48，现用系统抽样的办法抽取一个容量为6的样本，已知学号为3,11,19,35,43的同学在样本中，那么还有一个同学的学号应该为（A）27

（B）26

（C）25

（D）24参考答案：A系统抽样又称为等距抽样，最明显的特点就是：抽取的序号之间的间隔相同。显然19到35之间的跨度比较大。6.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的外接球的表面积为（

）A．4π B．8π C．10π D．12π参考答案：D由三视图可知，该几何体是一个俯视图为直角三角形的三棱锥，其外接球相当于一个长为2，宽为2，高为2的长方体的外接球∴外接球的直径为∴该几何体的外接球的表面积为故选D

7.已知P，A，B，C，D是球O的球面上的五个点，四边形ABCD为梯形，，，，PA⊥面ABCD，则球O的体积为（

）A. B. C. D.参考答案：A【分析】根据已知中的平行关系和长度关系可确定BC中点E为底面梯形的外接圆圆心，根据球的性质可知平面ABCD，利用勾股定理构造出关于和球的半径R的方程，解方程求得R，代入球的体积公式可求得结果.【详解】取中点，连接且

四边形为平行四边形，又

为四边形的外接圆圆心设为外接球的球心，由球的性质可知平面作，垂足为

四边形为矩形，设，则，解得：

球的体积：本题正确选项：【点睛】本题考查棱锥外接球体积的求解问题，关键是能够明确外接球球心的位置，主要是根据球心与底面外接圆圆心连线垂直于底面的性质，通过勾股定理构造方程求得结果.8.已知{an}为等差数列，且a1+a3+a5+a7=6，则a2+a4+a6等于

(

)A．

B．3 C．

D．6参考答案：答案：C9.下列说法正确的是(

)A.命题“，使”的否定为“，都有”B.命题“若向量与的夹角为锐角，则”及它的逆命题均为真命题C.命题“在锐角△ABC中，”为真命题D.命题“若，则或”的逆否命题为“若且，则”参考答案：D【分析】对于A选项，利用特称命题的否定即可判断其错误。对于B选项，其逆命题为“若，则向量与的夹角为锐角”，由得：，可得，则，所以该命题错误，所以B错误。对于C选项，，可得，所以C错误。故选：D【详解】命题“，使”的否定应为“，都有”，所以A错误；命题“若向量与的夹角为锐角，则”的逆命题为假命题，故B错误；锐角△ABC中，，∴，所以C错误，故选D.【点睛】本题主要考查了命题的真假判断，还考查了特称命题的否定，向量的数量积知识，属于中档题。10.的值等于（

）A.1

B.-1

C.

D.参考答案：B二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.若函数f（x）=lnx﹣f′（1）x2+3x+2，则f′（1）=．参考答案：【考点】导数的运算；函数的值．【分析】分别利用求导法则（lnx）′=及（xn）′=nxn﹣1求出f′（x），把x=1代入f′（x）中即可求出f′（1）的值．【解答】解：，∴把x=1代入f′（x）中得f′（1）=1﹣2f′（1）+3，∴．故答案为．12.若函数f(x)＝(x＋a)(bx＋2a)(常数a，b∈R)是偶函数，且它的值域为(－∞，2]，则该函数的解析式f(x)＝________.参考答案：－2x2＋2略13.若函数在上是奇函数，则实数=

．参考答案：14.函数f（x）=（2x﹣1）的定义域是．参考答案：（，1）【考点】函数的定义域及其求法．【专题】函数的性质及应用．【分析】须保证解析式中分母不为0，且真数大于0，由此可求出定义域．【解答】解：欲使函数f（x）有意义，须有，解得＜x＜1，所以函数f（x）的定义域为（，1）．故答案为：（，1）．【点评】本题考查函数定义域及其求法，解析法给出的函数，须保证解析式各部分都有意义，如果是实际背景下的函数，须考虑其实际意义．15.执行右边的程序框图，输出的

；

参考答案：7略16.已知复数w满足

(为虚数单位），则＝__参考答案：2略17.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，2bcosB=acosC+ccosA，且b2=3ac，则角A的大小为．参考答案：或【考点】正弦定理．【分析】由条件利用正弦定理、诱导公式可得sin2B=sin（A+C），得B=60°，A+C=120°．又b2=3ac，即sin2B=3sinAsinC，利用积化和差公式求得cos（A﹣C）=0，得A﹣C=±90°，由此可得A的大小．【解答】解：△ABC中，∵2bcosB=acosC+c?cosA，由正弦定理可得2sinBcosB=sinAcosC+sinC?cosA，∴sin2B=sin（A+C）．得2B=A+C（如果2B=180°﹣（A+C），结合A+B+C=180°易得B=0°，不合题意）．A+B+C=180°=3B，得B=60°，A+C=120°．又b2=3ac，故sin2B=3sinAsinC，∴=3sinAsinC=3×[cos（A﹣C）﹣cos（A+C）]=（cos（A﹣C）+），解得cos（A﹣C）=0，故A﹣C=±90°，结合A+C=120°，易得A=，或A=．故答案为A=，或A=三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知函数

（1）求的单调区间；

（2）对任意的，不等式恒成立，求的取值范围；（3）求证：当，时，关于的方程在区间上总有两个不同的解.参考答案：（1）的单调增区间，单调减区间

（2）

（3）

19.（12分）如图，已知△ABC是边长为1的正三角形，M、N分别是边AB、AC上的点，线段MN经过△ABC的中心G，设DMGA＝a（）（1）试将△AGM、△AGN的面积（分别记为S1与S2）表示为a的函数（2）求y＝的最大值与最小值参考答案：解析：（1）因为G是边长为1的正三角形ABC的中心，所以

AG＝，DMAG＝，由正弦定理得则S1＝GM·GA·sina＝同理可求得S2＝（2）y＝＝＝72（3＋cot2a）因为，所以当a＝或a＝时，y取得最大值ymax＝240当a＝时，y取得最小值ymin＝21620.（本小题满分12分）如图，四棱锥中，,，侧面为等边三角形，．（1）证明：平面平面；（2）求点到平面SDC的距离．参考答案：（1）见解析;（2）

【知识点】面面垂直的判定定理；点到平面的距离G5G11解析：（1）如图取中点，连结、，依题意四边形为矩形，，侧面SAB为等边三角形，则，（2分）且，而满足，为直角三角形，即，（4分）平面，（5分）

平面平面；（6分）（2）由（1）可知平面，则，，平面，，（8分）由题意可知四边形为梯形，且为高，所以（9分）设点到平面的距离为，由于，则有，（10分）,因此点到平面的距离为．（12分）【思路点拨】（1）取中点，连结、，依题意四边形为矩形，然后借助于面面垂直的判定定理即可；（2）利用体积转化的方法即可。21