北师版八年级数学下册期末复习综合题含答案

北师版八年级数学下册期末复习综合题含答案第一章三、解答题(共66分)19．(6分)如图，点D，A，E在直线l上，AB＝AC，BD⊥l于点D，CE⊥l于点E，且BD＝AE.求证：DE＝BD＋EC.证明：∵BD⊥l，CE⊥l，∴∠ADB＝∠CEA＝90°.∴在Rt△ABD和Rt△CAE中，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(AB＝CA，,BD＝AE，))∴Rt△ABD≌Rt△CAE(HL)，∴AD＝CE，∴DE＝AE＋AD＝BD＋EC.20．(8分)如图，OE平分∠AOB，在OA，OB上取OC＝OD，点P是OE上一点，PM⊥CE于点M，PN⊥DE于点N.问线段PM与PN有什么关系？证明你的结论．解：PM＝PN.证明如下：易证△COE≌△DOE(SAS)，∴∠OEC＝∠OED，又∵PM⊥CE于点M，PN⊥DE于点N，∴PM＝PN.21．(8分)如图，在△ABC中，已知AB＝AC，∠BAC和∠ACB的平分线相交于点D，∠ADC＝125°，求∠ACB和∠BAC的度数．解：∵AB＝AC，AE平分∠BAC，∴AE⊥BC，∴∠DEC＝90°.∵∠ADC＝125°，∴∠DCE＝∠ADC－∠DEC＝35°.∵CD平分∠ACB.∴∠ACB＝2∠DCE＝70°.又∵AB＝AC，∴∠B＝∠ACB＝70°.∴∠BAC＝180°－(∠B＋∠ACB)＝40°.22．(8分)如图，AD是△ABC的角平分线，DE，DF分别是△ABD和△ACD的高，求证：AD垂直平分EF.证明：∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，∴DE＝DF，∴D点在线段EF的垂直平分线上．在Rt△ADE和Rt△ADF中，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(AD＝AD，,DE＝DF，))∴Rt△ADE≌Rt△ADF(HL)，∴AE＝AF，∴A点在线段EF的垂直平分线上．∵两点确定一条直线，∴AD垂直平分EF.23.(10分)台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心在周围上千米的范围内形成极端气流，有极强的破坏力．如图，有一台风中心沿东西方向由点A向点B移动，已知点C处有一海港，且点C与A，B两点的距离分别为300km和400km，AB为500km，以台风中心为圆心，周围250km以内为受影响区域．(1)海港C受台风影响吗？为什么？(2)若台风中心的移动速度为20km/h，台风影响该海港的持续时间有多长？解：(1)海港C受台风影响．理由：过点C作CD⊥AB于点D.∵AC＝300km，BC＝400km，AB＝500km，∴AC2＋BC2＝AB2，∴△ABC是直角三角形，∴S△ABC＝eq\f(1,2)AC·BC＝eq\f(1,2)CD·AB，∴CD＝240km.∵240<250，∴海港C受台风影响．(2)当EC＝250km，FC＝250km，正好影响海港C，∵ED＝FD＝eq\r(EC2－CD2)＝70(km)，∴EF＝140km.∵台风中心的移动速度为20km/h，∴140÷20＝7(小时).∴台风影响该海港的持续时间为7小时．24.(12分)如图，点P，M，N分别在等边△ABC的各边上，且MP⊥AB，MN⊥BC，PN⊥AC.(1)求证：△PMN是等边三角形；(2)若AB＝9cm，求CM的长度．(1)证明：∵△ABC是等边三角形，∴∠A＝60°，∵PN⊥AC，∴∠APN＝30°.又∵MP⊥AB，∴∠MPN＝60°，同理可得∠PMN＝∠MNP＝∠MPN＝60°，∴△PMN是等边三角形．(2)解：由(1)知PN＝PM＝MN.∵∠A＝∠B＝∠C＝60°，∠MPB＝∠PNA＝∠NMC，∴△APN≌△BMP≌△CNM，∴AN＝BP＝CM，∵在Rt△APN中，∠APN＝30°，∴AN＝eq\f(1,2)AP，则BP＝AN＝eq\f(1,3)AB，∵AB＝9cm，∴CM＝BP＝3cm.25．(14分)如图，△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝5cm，BC＝3cm，若点P从点A出发，以每秒2cm的速度沿折线A－C－B－A运动，设运动时间为t秒(t＞0).(1)若点P在AC上，且满足PA＝PB时，求出此时t的值；(2)若点P恰好在∠BAC的平分线上，求t的值；(3)在运动过程中，直接写出当t为何值时，△BCP为等腰三角形．①②③解：(1)由题意得PA＝PB＝2t，PC＝4－2t，在Rt△PCB中，PC2＋CB2＝PB2，即(4－2t)2＋32＝(2t)2，解得t＝eq\f(25,16)，∴当t＝eq\f(25,16)时，PA＝PB.(2)当点P在∠BAC的平分线上时，如图①，过点P作PE⊥AB于点E，此时有BP＝7－2t，PE＝PC＝2t－4，BE＝5－4＝1，在Rt△BEP中，PE2＋BE2＝BP2，即(2t－4)2＋12＝(7－2t)2，解得t＝eq\f(8,3)，当t＝6时，点P与A重合，也符合条件，∴当t＝eq\f(8,3)或6时，点P恰好在∠BAC的平分线上.(3)在Rt△ABC中，∵AB＝5cm，BC＝3cm，∴AC＝4cm，根据题意得AP＝2t，当P在AC上时，△BCP为等腰三角形，∴PC＝BC，即4－2t＝3，∴t＝eq\f(1,2)，当P在AB上时，△BCP为等腰三角形，连接CP，①CP＝PB，点P在BC的垂直平分线上，如图②，过P作PE⊥BC于E，∴BE＝eq\f(1,2)BC＝eq\f(3,2)，∴PB＝eq\f(1,2)AB，即2t－3－4＝eq\f(5,2)，解得t＝eq\f(19,4)，②PB＝BC，即2t－3－4＝3，解得t＝5，③PC＝BC，如图③，过C作CF⊥AB于F，∴BF＝eq\f(1,2)BP，∵∠ACB＝90°，∴CF＝eq\f(AC·BC,AB)＝eq\f(4×3,5)＝eq\f(12,5)，∴BF＝eq\r(BC2－CF2)＝eq\f(9,5).∴eq\f(2t－3－4,2)＝eq\f(9,5)，∴t＝eq\f(53,10).∴当t＝eq\f(1,2)，5，eq\f(53,10)或eq\f(19,4)时，△BCP为等腰三角形．第二章三、解答题(共66分)19．(6分)(1)不等式eq\f(2x－1,3)－x<eq\f(1,2)x＋eq\f(1,2)，并将解集表示在数轴上；解：去分母，得2(2x－1)－6x＜3x＋3，去括号，得4x－2－6x＜3x＋3，移项，得4x－6x－3x＜3＋2，合并同类项，得－5x＜5，系数化为1，得x＞－1.故此不等式的解集为x＞－1.在数轴上表示略．(2)解不等式组eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(4（x＋1）≤6x＋10，,x－3<\f(x－8,4)，))并写出它的所有非负整数解．解：eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(4（x＋1）≤6x＋10，①,x－3<\f(x－8,4)，②))解不等式①，得x≥－3，解不等式②，得x＜eq\f(4,3).所以不等式组的解集为－3≤x<eq\f(4,3)，所以不等式组的所有非负整数解为0，1.20．(8分)(乐山中考)如图，点A，B在数轴上对应的数分别为－2，eq\f(x,x＋1)，且点A，B到原点的距离相等．求x的值．解：根据题意得eq\f(x,x＋1)＝2，去分母，得x＝2(x＋1).去括号，得x＝2x＋2，解得x＝－2.经检验，x＝－2是原方程的解．21．(8分)已知关于x的不等式eq\f(2m－mx,2)>eq\f(1,2)x－1.(1)当m＝1时，求该不等式的解集；(2)m取何值时，该不等式有解？解：(1)当m＝1时，不等式为eq\f(2－x,2)>eq\f(1,2)x－1，解得x<2.(2)解不等式得(m＋1)x<2(m＋1).∴当m≠－1时，不等式有解．22.(8分)若关于x的不等式eq\f(x－a＋2,3)－eq\f(a＋4,6)＜1的解集和不等式eq\f(x－1,3)－eq\f(x＋2,6)＞eq\f(4＋3x,2)的解集相同，求a的值．解：由eq\f(x－a＋2,3)－eq\f(a＋4,6)＜1得x＜eq\f(3a＋6,2)，由eq\f(x－1,3)－eq\f(x＋2,6)＞eq\f(4＋3x,2)得x＜－2，依题意，得eq\f(3a＋6,2)＝－2，解得a＝－eq\f(10,3).23．(10分)若a，b，c是△ABC的三边，且a，b满足|a－3|＋(b－4)2＝0，c是不等式组eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(x－1,3)＞x－4，,2x＋3＜\f(6x＋1,2)))的最大整数解，求△ABC的面积．解：解不等式组eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(x－1,3)＞x－4，,2x＋3＜\f(6x＋1,2)，))得2．5＜x＜5.5，∴该不等式组的最大整数解是x＝5，∴c＝5.∵|a－3|＋(b－4)2＝0，∴a－3＝0，b－4＝0，∴a＝3，b＝4，在△ABC中，∵a2＋b2＝32＋42＝25＝c2，∴△ABC是直角三角形，∴S△ABC＝eq\f(1,2)ab＝eq\f(1,2)×3×4＝6.24.(12分)请阅读下列解题过程：解一元二次不等式：x2－3x＞0.解：x(x－3)＞0，∴eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x>0，,x－3>0))或eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x<0，,x－3<0))解得x＞3或x＜0.∴一元二次不等式x2－3x＞0的解集为x＜0或x＞3.结合上述解题过程回答下列问题：(1)上述解题过程渗透的数学思想为分类讨论思想；(2)一元二次不等式x2－3x＜0的解集为0＜x＜3；(3)请用类似的方法解一元二次不等式：x2－2x－3＜0.解：(1)上述解题过程渗透的数学思想为分类讨论思想．(2)0＜x＜3；由解题过程可知x2－3x＜0.即x(x－3)＜0，∴eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x<0，,x－3>0，))或eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x>0，,x－3<0.))解得0＜x＜3.∴一元二次不等式x2－3x＜0的解集为0＜x＜3.(3)x2－2x－3＜0，即(x－3)(x＋1)＜0，则eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x－3<0,x＋1>0))或eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x－3>0,x＋1<0))，解得－1＜x＜3.∴一元二次不等式x2－2x－3＜0的解集为－1＜x＜3.25．(14分)为了加强对校内外安全监控，创建平安校园，某学校计划增加15台监控摄像设备，现有甲、乙两种型号的设备，其中每台价格、有效监控半径如表所示．经调查：购买1台甲型设备比购买1台乙型设备多花150元，购买2台甲型设备比购买3台乙型设备少花400元．甲型乙型价格(元/台)ab有效半径(米/台)150100(1)求a，b的值；(2)若购买该批设备的资金不超过11000元，且两种型号的设备均要至少买一台，则学校有哪几种购买方案？(3)在(2)问的条件下，若要求监控半径覆盖范围不低于1600米，为了节约资金，请你设计一种最省钱的购买方案．解：(1)由题意得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a－b＝150，,3b－2a＝400，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝850，,b＝700.))(2)设购买甲型设备x台．则购买乙型设备(15－x)台，依题意得850x＋700(15－x)≤11000，解得x≤3eq\f(1,3).∵两种型号的设备均要至少买一台，∴x＝1，2，3.∴有3种购买方案：①甲型设备1台，乙型设备14台；②甲型设备2台，乙型设备13台；③甲型设备3台，乙型设备12台．(3)依题意得150x＋100(15－x)≥1600，解得x≥2.由(2)知x≤3eq\f(1,3)，∴x取值为2或3.当x＝2时，购买所需资金为850×2＋700×13＝10800(元)；当x＝3时，购买所需资金为850×3＋700×12＝10950(元).∵10800<10950，∴最省钱的购买方案为：购甲型设备2台，乙型设备13台．第三章三、解答题(共66分)19．(6分)已知△ABC的顶点A，B，C在格点上，按下列要求在网格中画图．(1)将△ABC绕点C逆时针旋转90°得到△A1B1C；(2)画△ABC关于点O的中心对称图形△A2B2C2.解：(1)如图，△A1B1C即为所求．(2)如图，△A2B2C2即为所求．20．(8分)(南城县期中)如图，在△ABC中，∠BAC＝15°，将△ABC绕点A按逆时针方向旋转90°，到△ADE的位置，然后将△ADE以AD为轴翻折到△ADF的位置，连接CF，判断△ACF的形状，并说明理由．解：由旋转的性质可知：∠BAC＝∠DAE＝15°，AC＝AE，∠CAE＝90°，由翻折的性质可知：∠FAD＝∠EAD＝15°，AF＝AE.∴AC＝AF，∠CAF＝60°，∴△ACF为等边三角形．21.(8分)如图，等边△ABC与等边△A1B1C1关于某点成中心对称，已知A，A1，B三点的坐标分别是(0，4)，(0，3)，(0，2).(1)求对称中心的坐标；(2)写出顶点C，C1的坐标．解：(1)点A1和点B为对应点，∴对称中心为A1B的中点，∴对称中心的坐标为(0，2.5).(2)在△ABC中，AB＝2，C到AB的距离为eq\r(3).即点C到y轴的距离为eq\r(3)，∴点C的坐标为(－eq\r(3)，3)，点C1的坐标为(eq\r(3)，2).22．(8分)在平面直角坐标系中，点M的坐标为(a，－2a).(1)当a＝－1时，点M在坐标系的第象限；(直接填写答案)(2)将点M向左平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度后得到点N，当点N在第三象限时，求a的取值范围．解：(1)当a＝－1时，点M的坐标为(－1，2),所以M在第二象限，所以应填“二”．(2)将点M向左平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度后得到点N，点M的坐标为(a，－2a)，所以N点的坐标为(a－2，－2a＋1).因为N点在第三象限，所以eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a－2<0，,－2a＋1<0，))解得eq\f(1,2)<a<2，所以a的取值范围为eq\f(1,2)<a<2.23．(10分)如图，三角形DEF是三角形ABC经过某种变换得到的图形，点A与点D，点B与点E，点C与点F分别是对应点，观察点与点的坐标之间的关系，解答下列问题：(1)分别写出点A与点D，点B与点E，点C与点F的坐标，并说说对应点的坐标有哪些特征；(2)若点P(a＋3b，4a－b)与点Q(2a－9，2b－9)也是通过上述变换得到的对应点，求a，b的值．解：(1)点A的坐标为(2，3)，点D的坐标为(－2，－3)，点B的坐标为(1，2)，点E的坐标为(－1，－2)，点C的坐标为(3，1)，点F的坐标为(－3，－1)，对应点的横、纵坐标分别互为相反数．(2)由(1)，得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＋3b＋2a－9＝0，,4a－b＋2b－9＝0，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝2，,b＝1，))答：a的值为2，b的值为1.24.(12分)(鼓楼区期末)如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠CAB＝35°，BC＝7.线段AD由线段AC绕点A按逆时针方向旋转125°得到，△EFG由△ABC沿CB方向平移得到，且直线EF过点D.(1)求∠DAE的大小；(2)求DE的长．解：(1)∵△EFG是由△ABC沿CB方向平移得到，∴AE∥CF，∴∠EAC＋∠C＝180°.∵∠C＝90°，∴∠EAC＝90°.又线段AD是由线段AC绕点A按逆时针方向旋转125°得到，即∠DAC＝125°，∴∠DAE＝35°.(2)∵△EFG是由△ABC沿CB方向平移得到，∴AE∥CF，EF∥AB，∴∠AED＝∠F＝∠ABC.又∵∠DAE＝∠BAC＝35°，AD＝AC，∴△ADE≌△ACB(AAS)，∴DE＝BC＝7.25.(14分)如图，O是等边三角形ABC内一点，∠AOB＝110°，∠BOC＝α.将△BOC绕点C按顺时针方向旋转60°得到△ADC，连接OD.(1)求证：△COD是等边三角形；(2)当α＝150°时，试判断△AOD的形状，并说明理由；(3)探究：当α为多少度时，△AOD是等腰三角形？(1)证明：∵将△BOC绕点C按顺时针方向旋转60°得到△ADC，∴CO＝CD，∠OCD＝60°，∴△COD是等边三角形．(2)解：当α＝150°时，△AOD是直角三角形．理由：∵△BOC≌△ADC，∴∠ADC＝∠BOC＝150°，∵△COD是等边三角形，∴∠ODC＝60°，∴∠ADO＝∠ADC－∠ODC＝90°，则△AOD是直角三角形．(3)解：①要使OA＝AD，需∠AOD＝∠ADO，∵∠AOD＝360°－110°－60°－α＝190°－α，∠ADO＝α－60°，∴190°－α＝α－60°，∴α＝125°；②要使OA＝OD，需∠OAD＝∠ADO.∵∠OAD＝180°－(∠AOD＋∠ADO)＝180°－(190°－α＋α－60°)＝50°，∴α－60°＝50°，∴α＝110°；③要使OD＝AD.需∠OAD＝∠AOD.∵∠AOD＝360°－110°－60°－α＝190°－α，∠OAD＝eq\f(180°－（α－60°）,2)＝120°－eq\f(α,2)，∴190°－α＝120°－eq\f(α,2)，解得α＝140°.综上所述，当α的度数为125°，110°或140°时，△AOD是等腰三角形．第四章三、解答题(共66分)19．(6分)把下列各式分解因式：(1)－3ma3＋6ma2－3ma；解：原式＝－3ma(a2－2a＋1)＝－3ma(a－1)2.解：原式＝a2(x－1)－b2(x－1)＝(x－1)(a2－b2)＝(x－1)(a＋b)(a－b).20.(8分)利用分解因式计算：(1)1.38×29－17×1.38＋88×1.38；解：原式＝1.38×(29－17＋88)＝1.38×100＝138.解：原式＝30×(5652－4352)＝30×(565＋435)×(565－435)＝30×1000×130＝3900000.21．(8分)先因式分解，再计算求值：(1)4x(m－2)－3x(m－2)2，其中x＝1.5，m＝6；解：4x(m－2)－3x(m－2)2＝x(m－2)[4－3(m－2)]＝x(m－2)(10－3m).将x＝1.5，m＝6代入，得原式＝1.5×(6－2)×(10－3×6)＝－48.解：(a－2)2－6(2－a)＝(a－2)(a－2＋6)＝(a－2)(a＋4)，将a＝－2代入，得原式＝(－2－2)×(－2＋4)＝－8.22.(8分)某种圆柱形钢管的长为L＝1米，外径D＝25厘米，内径d＝15厘米，每立方米钢的重量为7.8吨，求100根这样的钢管的总重量(π取3.14，结果精确到0.01吨).解：eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(3.14×\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(0.25,2)))\s\up12(2)－3.14×\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(0.15,2)))\s\up12(2)))×1×7.8×100＝eq\f(1,4)×3.14×(0.252－0.152)×1×100×7.8＝eq\f(1,4)×3.14×[(0.25＋0.15)(0.25－0.15)]×1×100×7.8≈24.49(吨).故100根这样的钢管的总重量约为24.49吨．23.(10分)观察下列各式，你会发现什么规律？15＝42－1，而3×5＝15；35＝62－1，而5×7＝35；……；143＝122－1，而11×13＝143；……将你猜想到的规律用只含有一个字母的式子表示出来，并说明理由．解：(2n)2－1＝(2n－1)(2n＋1)，理由：因为15＝(2×2)2－1，3×5＝(2×2－1)(2×2＋1)＝15，则有(2×2)2－1＝(2×2－1)(2×2＋1)；35＝(2×3)2－1，而(2×3－1)(2×3＋1)＝35，则有(2×3)2－1＝(2×3－1)(2×3＋1)；……；143＝(2×6)2－1，而(2×6－1)(2×6＋1)＝143，则有(2×6)2－1＝(2×6－1)(2×6＋1)；…….设n是正整数，则(2n)2－1＝(2n－1)(2n＋1).24.(12分)如图，将一张大长方形纸板按图中虚线裁剪成9块，其中有2块是边长为a厘米的大正方形，2块是边长都为b厘米的小正方形，5块是长为a厘米，宽为b厘米的相同的小长方形，且a＞b.(1)观察图形，可以发现代数式2a2＋5ab＋2b2可以因式分解为(a＋2b)(2a＋b)；(2)若图中阴影部分的面积为242平方厘米，大长方形纸板的周长为78厘米，求图中空白部分的面积．解：由已知得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2（a2＋b2）＝242，,6a＋6b＝78，))化简得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a2＋b2＝121，,a＋b＝13，))∴(a＋b)2－2ab＝121，∴ab＝24，5ab＝120.∴空白部分的面积为120平方厘米．25．(14分)(垦利区期末)阅读材料：常用的分解因式方法有提公因式、公式法等，但有的多项式只有上述方法就无法分解，如x2－4y2＋2x－4y，细心观察这个式子会发现，前两项符合平方差公式，后两项可提取公因式，前后两部分分别分解因式后会产生公因式，然后提取公因式就可以完成整个式子的分解因式，过程为：x2－4y2＋2x－4y＝(x2－4y2)＋(2x－4y)＝(x＋2y)(x－2y)＋2(x－2y)＝(x－2y)(x＋2y＋2)这种分解因式的方法叫分组分解法．利用这种方法解决下列问题：(1)分解因式：x2－6xy＋9y2－3x＋9y；(2)△ABC的三边a，b，c满足a2－b2－ac＋bc＝0，判断△ABC的形状．解：(1)x2－6xy＋9y2－3x＋9y＝(x2－6xy＋9y2)－(3x－9y)＝(x－3y)2－3(x－3y)＝(x－3y)(x－3y－3)；(2)∵a2－b2－ac＋bc＝0，∴(a2－b2)－(ac－bc)＝0，∴(a＋b)(a－b)－c(a－b)＝0，∴(a－b)[(a＋b)－c]＝0，∵a，b，c是△ABC的三边，∴(a＋b)－c＞0，∴a－b＝0，得a＝b，∴△ABC是等腰三角形．第五章三、解答题(共66分)19．(6分)计算：(1)eq\f(1,a－1)－eq\f(1,a2＋a)÷eq\f(a2－1,a2＋2a＋1)；解：原式＝eq\f(1,a－1)－eq\f(1,a（a＋1）)·eq\f(（a＋1）2,（a＋1）（a－1）)＝eq\f(1,a－1)－eq\f(1,a（a－1）)＝eq\f(a－1,a（a－1）)＝eq\f(1,a).（2）eq\f(x2－8x＋16,x2＋2x＋1)eq\s\up12(3)÷eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x－4,x＋1)))eq\s\up12(4)·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x＋1,x－4)))eq\s\up12(2)；解：原式＝eq\f(（x－4）6,（x＋1）6)·eq\f(（x＋1）4,（x－4）4)·eq\f(（x＋1）2,（x－4）2)＝1.20．(8分)解方程：(1)eq\f(x,x＋2)＝eq\f(2,x－1)＋1；解：方程两边都乘(x＋2)(x－1)，得x(x－1)＝2(x＋2)＋(x＋2)(x－1).解这个方程，得x＝－eq\f(1,2).经检验，x＝－eq\f(1,2)是原方程的根．解：原方程可化为eq\f(2（x＋1）,x)－eq\f(x＋2,x－2)＝eq\f(x2－2,x（x－2）)方程两边同乘以x(x－2).得2(x＋1)(x－2)－x(x＋2)＝x2－2，化简得－4x＝2，解得x＝－eq\f(1,2)，经检验，x＝－eq\f(1,2)是原方程的解．21.(8分)已知方程eq\f(1,x－1)＝eq\f(a,x＋1)的解为x＝2，求eq\f(a,a－1)－eq\f(1,a2－a)的值．解：把x＝2代入eq\f(1,x－1)＝eq\f(a,x＋1)得，a＝3，∴原式＝eq\f(a2,a2－a)－eq\f(1,a2－a)＝eq\f(（a＋1）（a－1）,a（a－1）)＝eq\f(a＋1,a)，当a＝3时，原式＝eq\f(4,3).22.(8分)(岳阳中考)某学校开展“运足君山，磨砺意志，保护江豚，爱鸟护鸟”为主题的远足活动．已知学校与君山岛相距24千米，远足服务人员骑自行车，学生步行，服务人员骑自行车的平均速度是学生步行平均速度的2.5倍．服务人员与学生同时从学校出发，到达君山岛时，服务人员所花时间比学生少用3.6小时，求学生步行的平均速度是多少千米/小时．解：设学生步行的平均速度为x千米/小时，则eq\f(24,x)－eq\f(24,2.5x)＝3.6，解得x＝4.经检验，x＝4是原方程的根且符合题意．答：学生步行的平均速度是4千米/小时．23．(10分)如图，点A，B在数轴上，它们所对应的数分别是eq\f(2,x－2)和eq\f(1－x,2－x).(1)当x＝1.5时，求AB的长；(2)当点A到原点的距离比点B到原点的距离多3时，求x的值．解：(1)当x＝1.5时，eq\f(2,x－2)＝eq\f(2,1.5－2)＝eq\f(2,－0.5)＝－4，eq\f(1－x,2－x)＝eq\f(1－1.5,2－1.5)＝eq\f(－0.5,0.5)＝－1，∴AB＝－1－(－4)＝－1＋4＝3，即AB的长为3.(2)由题意可得eq\f(1－x,2－x)－eq\f(2,x－2)＝3，解得x＝1.5，经检验，x＝1.5是分式方程的解，即x的值是1.5.24.(12分)先化简，再求值：eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x,x2＋x)－1))÷eq\f(x2－1,x2＋2x＋1)，其中x的值从不等式组eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－x≤1，,2x－1<4))的整数解中选取．解：原式＝eq\f(x－x2－x,x（x＋1）)·eq\f(x＋1,x－1)＝－eq\f(x,x＋1)·eq\f(x＋1,x－1)＝eq\f(x,1－x).解不等式组eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－x≤1，,2x－1<4，))得－1≤x<eq\f(5,2).∴不等式组的整数解为－1，0，1，2.∵当x＝0，－1或1时，原式无意义，∴x只能取2.当x＝2时，原式＝－2.25．(14分)(长沙中考)自从湖南与欧洲的“湘欧快线”开通后，我省与欧洲各国经贸往来日益频繁，某欧洲客商准备在湖南采购一批特色商品，经调查，用16000元采购A型商品的件数是用7500元采购B型商品的件数的2倍，一件A型商品的进价比一件B型商品的进价多10元．(1)求一件A，B型商品的进价分别为多少元；(2)若该欧洲客商购进A，B型商品共250件进行试销，其中A型商品的件数不大于B型的件数，且不小于80件．已知A型商品的售价为240元/件，B型商品的售价为220元/件，且全部售出，设购进A型商品m件，求该客商销售这批商品的利润w与m之间的函数关系式，并写出m的取值范围；(3)在(2)的条件下，欧洲客商决定在试销活动中每售出一件A型商品，就从一件A型商品的利润中捐献慈善资金a元，求该客商售完所有商品并捐献慈善资金后获得的最大收益．解：(1)设一件B型商品的进价为x元，则一件A型商品的进价为(x＋10)元．由题意，得eq\f(16000,x＋10)＝eq\f(7500,x)×2，解得x＝150，经检验，x＝150是分式方程的解，∴一件B型商品的进价为150元，一件A型商品的进价为160元．(2)∵客商购进A型商品m件，∴客商购进B型商品(250－m)件．由题意得w＝80m＋70(250－m)＝10m＋17500，∵80≤m≤250－m，∴80≤m≤125.(3)设利润为W元，则W＝(80－a)m＋70(250－m)＝(10－a)m＋17500，①当10－a>0时，W随m的增大而增大，∴m＝125时，最大利润为(18750－125a)元．②当10－a＝0时，最大利润为17500元．③当10－a<0时，W随m的增大而减小，∴m＝80时，最大利润为(18300－80a)元．第六章三、解答题(共66分)19．(6分)如图，▱ABCD中，BE⊥CD于E，CE＝DE.求证：∠A＝∠ABD.证明：∵BE⊥CD，CE＝DE，∴BE是线段DC的垂直平分线．∴BC＝BD.∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD＝BC，∴AD＝BD，∴∠A＝∠ABD.20．(8分)(日照期末)已知：从n边形的一个顶点出发共有4条对角线；从m边形的一个顶点出发的所有对角线把m边形分成6个三角形；正t边形的边长为7，周长为63.求(n－m)t的值．解：依题意有n＝4＋3＝7，m＝6＋2＝8，t＝63÷7＝9，则(n－m)t＝(7－8)9＝－1.21．(8分)如图，已知AC∥DE且AC＝DE，AD，CE交于点B，AF，DG分别是△ABC，△BDE的中线．求证：四边形AGDF是平行四边形．证明：∵AC∥DE，∴∠C＝∠E，在△ABC和△DBE中，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(∠ABC＝∠DBE，,∠C＝∠E，,AC＝ED，))∴△ABC≌△DBE(AAS)，∴CB＝EB，AB＝DB，∵AF，DG分别是△ABC，△BDE的中线，∴BF＝eq\f(1,2)BC，GB＝eq\f(1,2)BE，∴GB＝FB，∴四边形AGDF是平行四边形．22．(8分)如图，平行四边形ABCD中，点E在边AD上，以BE为折痕，将△ABE向上翻折，点A正好落在边CD上的点F处，若△DEF的周长为8，△CBF的周长为18，求FC的长．解：根据题意得△FBE≌△ABE，∴EF＝AE，BF＝AB.∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD＝BC，AB＝DC.∵△DEF的周长为8，即DF＋DE＋EF＝8，∴DF＋DE＋AE＝8，即DF＋AD＝8.∵△CBF的周长为18，即FC＋BC＋BF＝18，∴FC＋AD＋DC＝18，即2FC＋AD＋DF＝18.又∵DF＋AD＝8，即2FC＋8＝18，∴FC＝5.23．(10分)已知：如图，在△ABC中，点D在AB上，BD＝AC，E，F，G分别是BC，AD，CD的中点，EF，CA的延长线相交于点H.求证：(1)∠CGE＝∠ACD＋∠CAD；(2)AH＝AF.证明：(1)∵E，G分别是BC，CD的中点，∴EG是△BDC的中位线，∴EG∥BD，∴∠CGE＝∠