山西省长治市第十三中学高三数学理上学期期末试题含解析

山西省长治市第十三中学高三数学理上学期期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.从2名男同学和3名女同学中任选2人参加社区服务，则选中的2人都是女同学的概率为A．0.6 B．0.5 C．0.4 D．0.3参考答案：D设2名男同学为，3名女同学为，从以上5名同学中任选2人总共有共10种可能，选中的2人都是女同学的情况共有共三种可能则选中的2人都是女同学的概率为，故选D.

2.已知过抛物线焦点的直线交抛物线于、两点（点在第一象限），若，则直线的斜率为A.

B. C.

D.2参考答案：A3.如图，已知圆：，四边形为圆的内接正方形，、分别为边、的中点，当正方形绕圆心转动时，的取值范围是(

)(A)

(B)(C)

(D)

（第10题）参考答案：B略4.已知抛物线与双曲线有共同的焦点F，O为坐标原点，P在x轴上方且在双曲线上，则的最小值为(

)A． B． C． D．参考答案：A【考点】双曲线的简单性质．【专题】计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】抛物线，可得x2=8y，焦点F为（0，2），则双曲线的c=2，可得双曲线方程，利用向量的数量积公式，结合配方法，即可求出的最小值．【解答】解：抛物线，可得x2=8y，焦点F为（0，2），则双曲线的c=2，则a2=3，即双曲线方程为，设P（m，n）（n≥），则n2﹣3m2=3，∴m2=n2﹣1，则=（m，n）?（m，n﹣2）=m2+n2﹣2n=n2﹣1+n2﹣2n=（n﹣）2﹣，因为n≥，故当n=时取得最小值，最小值为3﹣2，故选：A．【点评】本题考查抛物线、双曲线的方程与性质，考查向量的数量积公式，考查学生的计算能力，属于中档题．5.若复数，则A.1

B.0

C.

D.参考答案：A

.故选A.6.若点M（a，）和N（b，）都在直线l：x+y=1上，则点P（c，），Q（，b）和l的关系是（）A．P和Q都在l上 B．P和Q都不在l上C．P在l上，Q不在l上 D．P不在l上，Q在l上参考答案：A【考点】IH：直线的一般式方程与直线的性质．【分析】先根据点M、N在直线上，则点坐标适合直线方程，通过消元法可求得a与c的关系，从而可判定点P（c，），Q（，b）和l的关系，选出正确选项．【解答】解：∵点M（a，）和N（b，）都在直线l：x+y=1上∴a+=1，b+=1则b=即+=1化简得c+=1∴点P（c，）在直线l上而b+=1则Q（，b）在直线l上故选A．7.已知，，是圆上不同三点，它们到直线：的距离分别为，，，若，，成等比数列，则公比的最大值为（

）A．1 B．2 C．3 D．4参考答案：C圆的圆心(1,0),半径r=4,圆心到直线的距离d=5,直线与圆相离,则圆上的点到直线的最大距离为9,最小距离为1,所以当

时,其公比有最大值为.8.设全集为R，集合，则A．[-2，2]

B．

C．

D．参考答案：C9.据统计2016年“十一”黄金周哈尔滨太阳岛每天的游客人数服从正态分布N，则在此期间的某一天，太阳岛的人数不超过2300的概率为（）附；若X～N（μ，σ2）．A．0.4987 B．0.8413 C．0.9772 D．0.9987参考答案：D【考点】CP：正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义．【分析】根据正态分布的对称性得出P（X＞2300），从而可得P（X≤2300）．【解答】解：P=0.9974，∴P（X＞2300）=（1﹣0.9974）=0.0013，∴P（X≤2300）=1﹣0.0013=0.9987．故选D．10.在等差数列{an}中，若，，则等于（

）

A.9

B.7

C.6

D.5参考答案：B二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.在等差数列中，首项公差，若，则

.参考答案：2212.任给实数定义

设函数，若是公比大于的等比数列，且，则[

参考答案：e13.计算：cos2xdx=．参考答案：【考点】定积分．【专题】导数的概念及应用．【分析】先根据倍角公式，化简，再根据定积分计算可得．【解答】解：cos2xdx=dx=（x+sin2x）|=，故答案为：【点评】本题主要考查了定积分的计算，属于基础题．14.若tan（α+）=sin2α+cos2α，α∈（，π），则tan（π﹣α）=．参考答案：3【考点】三角函数的化简求值．【分析】由两角和的正切函数公式，同角三角函数基本关系式化简已知可得=，整理即可解得tanα的值，结合α的范围及诱导公式即可计算得解．【解答】解：∵tan（α+）=sin2α+cos2α，∴==，整理可得：tan2α（3+tanα）=0，解得：tanα=0，或﹣3，∵α∈（，π），可得：tanα＜0，∴tanα=﹣3，∴tan（π﹣α）=﹣tanα=3．故答案为：3．15.已知，则=

。参考答案：516.三角形ABC的内角A，B的对边分别为a，b，若，则三角形ABC的形状为．参考答案：等腰三角形或直角三角形【考点】正弦定理；两角和与差的余弦函数．【专题】计算题；转化思想；分析法；三角函数的图像与性质．【分析】用诱导公式化简已知，利用正弦定理将acosA=bcosB中等号两边的边转化为该边所对角的正弦，化简整理即可．【解答】解：∵在△ABC中，，∴acosA=bcosB，∴由正弦定理得：a=2RsinA，b=2RsinB，∴sinAcosA=sinBcosB，∴sin2A=sin2B，∴sin2A=sin2B，∴2A=2B或2A=π﹣2B，∴A=B或A+B=，∴△ABC为等腰或直角三角形，故答案为：等腰三角形或直角三角形．【点评】本题考查三角形的形状判断，着重考查正弦定理与二倍角的正弦的应用，属于中档题．17.从某自动包装机包装的白糖中，随机抽取20袋，测得各袋的质量分别为（单位：）

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499根据频率分布估计总体分布的原理，该自动包装机包装的袋装白糖质量在497.5g—501.5g之间的概率约为

。参考答案：答案：0.25三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.(12分)已知函数在处取得极值2.（1）求函数的表达式；（2）当满足什么条件时，函数在区间上单调递增？（3）若为图象上任意一点，直线与的图象切于点，求直线的斜率的取值范围。参考答案：解析：因

而函数在处取得极值2 所以

所以

为所求

（2）由（1）知可知，的单调增区间是所以，

所以当时，函数在区间上单调递增

（3）由条件知，过的图形上一点的切线的斜率为：

令，则,

此时，根据二次函数的图象性质知：当时，

当时，所以，直线的斜率的取值范围是19.某校高三（5）班的一次数学小测试成绩的茎叶图和频率分布直方图都受到不同程度的破坏，但可见部分如图，据此解答如下问题：（1）求全班人数，并计算频率分布直方图中间的矩形的高；（2）若要从分数在之间的试卷中任选三份来分析学生失分情况，其中u表示分数在之间被选上的人数，v表示分数在之间被选上的人数，记变量ξ=u﹣v，求ξ的分布列和期望．参考答案：【考点】CH：离散型随机变量的期望与方差；CG：离散型随机变量及其分布列．【分析】（1）由茎叶图、频率分布直方图，分别求出分数在20.已知a、b为正实数，函数.（1）求函数f(x)的最大值；（2）若函数f(x)的最大值为1，求的最小值.参考答案：（1）（2）【分析】（1）利用绝对值不等式公式进行求解；（2）由（1）得，再根据基本不等式可得的最小值.【详解】解：（1）因为，所以函数的最大值为.（2）由（1）可知，，因为，所以，所以，即，且当时取“”，所以的最小值为.【点睛】本题考查了基本不等式、绝对值不等式等知识，运用基本不等式时，要注意题意是否满足“一正、二定、三相等”的条件，熟练运用绝对值不等式也是解决本题的关键.21.在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C的极坐标方程为，直线l过点且倾斜角为.(I)求曲线C的直角坐标方程和直线的参数方程；(II)设直线l与曲线C交于A，B两点，求的值．参考答案：（Ⅰ）曲线的直角坐标方程为，直线的参数方程为为参数）；（其他参数方程酌情给分）（Ⅱ）7.解：（Ⅰ）曲线，所以，即，

…2分得曲线的直角坐标方程为，直线的参数方程为为参数）．

…5分（Ⅱ）将为参数）代入圆的方程，得，

…7分整理得，得，所以所以．

…10分22.在直角坐标系中，以原点