山西省长治市第七中学2021-2022学年高三数学理期末试卷含解析

山西省长治市第七中学2021-2022学年高三数学理期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知双曲线的左、右焦点分别是Fl，F2，过F2的直线交双曲线的右支于P,Q两点，若｜PF1｜＝｜F1F2｜，且3｜PF2｜=2｜QF2｜，则该双曲线的离心率为A、B、C、2D、参考答案：A

【知识点】双曲线的简单性质．H6解析：如图，l为该双曲线的右准线，设P到右准线的距离为d；过P作PP1⊥l，QQ1⊥l，分别交l于P1，Q1；∵，3|PF2|=2|QF2|；∴，；过P作PM⊥QQ1，垂直为M，交x轴于N，则：；∴解得d=；∵根据双曲线的定义，|PF1|﹣|PF2|=2a，∴|PF2|=2c﹣2a；∴根据双曲线的第二定义，；整理成：；∴解得（舍去）；即该双曲线的离心率为．故选A．【思路点拨】先作出图形，并作出双曲线的右准线l，设P到l的距离为d，根据双曲线的第二定义即可求出Q到l的距离为．过Q作l的垂线QQ1，而过P作QQ1的垂线PM，交x轴于N，在△PMQ中有，这样即可求得d=，根据已知条件及双曲线的定义可以求出|PF2|=2c﹣2a，所以根据双曲线的第二定义即可得到，进一步可整理成，这样解关于的方程即可．2.若双曲线的一条渐近线方程为，则m的值为（

）A．

B．

C．

D．参考答案：A双曲线的一条渐近线方程为，可得，解得，因为是双曲线的渐近线方程，所以，解得，故选A.3.的展开式中的系数为（

）A.－84 B.84 C.－280 D.280参考答案：C由题意，根据二项式定理展开式的通项公式，得展开式的通项为，则展开式的通项为，由，得，所以所求的系数为.故选C.点睛：此题主要考查二项式定理的通项公式的应用，以及组合数、整数幂的运算等有关方面的知识与技能，属于中低档题，也是常考知识点.在二项式定理的应用中，注意区分二项式系数与系数，先求出通项公式，再根据所求问题，通过确定未知的次数，求出，将的值代入通项公式进行计算，从而问题可得解.4.某几何体的三视图如图示，则该几何体的体积为（

）A．56 B． C． D．88参考答案：B由三视图可知，该几何体由正方体挖去一个四棱锥而得，其直观图如图所示则该几何体的体积为，故选B．

5.已知a=log36，b=1+3，c=（）﹣1则a，b，c的大小关系为（）A．a＞b＞c B．b＞a＞c C．c＞b＞a D．a＞c＞b参考答案：D【考点】对数值大小的比较．【分析】利用指数函数与对数函数的单调性即可得出．【解答】解：∵a=log36=1+log32，b=1+3=1+，c=（）﹣1=．又log32=＞，∴a＞c＞b．故选：D．6.将函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0）的图象向左平移个单位，所得函数图象与f（x）图象关于x轴对称，则ω的值不可能是（）A．2 B．4 C．6 D．10参考答案：B【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【分析】由条件根据函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，可得y=Asin（ωx+ω+φ）的图象，再由Asin（ωx+ω+φ）=﹣Asin（ωx+φ），求得φ满足的条件．【解答】解：将函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0）的图象向左平移个单位，可得y=Asin[ω（x+）+φ]=Asin（ωx+ω+φ）的图象．再根据所得函数图象与f（x）图象关于x轴对称，可得Asin（ωx+ω+φ）=﹣Asin（ωx+φ），∴ω=（2k+1）π，k∈z，即ω=4k+2，故ω不可能等于4，故选：B．7.已知a=，b=log2，c=log，则（）A．a＞b＞c B．a＞c＞b C．c＞a＞b D．c＞b＞a参考答案：C【考点】对数的运算性质．

【专题】计算题；综合题．【分析】利用指数式的运算性质得到0＜a＜1，由对数的运算性质得到b＜0，c＞1，则答案可求．【解答】解：∵0＜a=＜20=1，b=log2＜log21=0，c=log=log23＞log22=1，∴c＞a＞b．故选：C．【点评】本题考查指数的运算性质和对数的运算性质，在涉及比较两个数的大小关系时，有时借助于0、1这样的特殊值能起到事半功倍的效果，是基础题．8.函数的定义域为（

）A．[0，+∞)

B．(-∞，2]

C.[0，2]

D．[0，2)参考答案：D9.若命题，，则是（）A.，B.，C.，D.，参考答案：D【详解】因存在性命题的否定是全称命题,改写量词后否定结论，所以是，故应选D．10.如图是一个几何体的三视图，则该几何体任意两个顶点间距离的最大值是（）A．3 B．3 C．4 D．5参考答案：B【考点】由三视图求面积、体积．【专题】空间位置关系与距离．【分析】根据三视图得出：空间几何体的性质得出直线平面的垂直问题，判断各个线段的长度比较即可．【解答】解：∵根据三视图得出：几何体为下图AD，AB，AG相互垂直，面AEFG⊥面ABCDE，BC∥AE，AB=AD=AG=3，DE=1，根据几何体的性质得出：AC=3，GC===，GE==5，BG=，AD=4，EF=，CE=，故最长的为GC=3故选；B【点评】本题考查了复杂几何体的三视图的运用，主要是恢复几何体的直观图，利用几何体的性质判断即可，属于中档题．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知α，β∈（0，），且tan（α﹣β）=，tanβ=，则α的值是．参考答案：

【考点】两角和与差的正切函数．【分析】利用两角和的正切公式求得tanα=tan[（α﹣β）+β]的值，可得α的值．【解答】解：∵α，β∈（0，），且tan（α﹣β）=，tanβ=，∴tanα=tan[（α﹣β）+β]===1，∴α=，故答案为：．12.已知函数，则当函数恰有两个不同的零点时，实数a的取值范围是

．参考答案：由题可知方程恰有两个不同的实数根，所以与有个交点．因为表示直线的斜率，当时，，设切点坐标为，，所以切线方程为，而切线过原点，所以，，，所以直线的斜率为，直线与平行，所以直线的斜率为，所以实数的取值范围是．13.设全集为，集合，集合，则()=

参考答案：【知识点】交、并、补集的混合运算A1【答案解析】{x|3＜x＜4}解析：解：∵集合B={x|x﹣3≤0}={x|x≤3}，全集为R，∴RB={x|x＞3}，又∵A={x|1＜x＜4}，∴A∩（RB）={x|3＜x＜4}，故答案为：{x|3＜x＜4}【思路点拨】根据已知中，全集为R，集合A={x|1＜x＜4}，集合B={x|x﹣3≤0}，进而结合集合交集，并集，补集的定义，代入运算后，可得答案．14.已知函数零点依次为，则的大小关系为

.参考答案：15.已知函数满足，当时，在区间上，函数恰有一个零点，则实数的取值范围是__________.参考答案：【知识点】函数零点的判定定理．B9

解析：当时，，则.在坐标系内画出分段函数图象：由题意可知：.当直线与曲线相切时，解得；所以的取值范围是.故答案为：【思路点拨】根据题意画出图形，结合.当直线与曲线相切时，可解得；进而求出的取值范围。16.右图中的三个直角三角形是一个体积为20cm3的几何体的三视图，则h=______cm.参考答案：略17.设变量x、y满足约束条件，则目标函数的最大值为__________．参考答案：分析：首先绘制出可行域，然后求得函数2x+y的最小值，最后结合指数函数的单调性即可求得最终结果.详解：绘制不等式组表示的平面区域如图所示，要求解目标函数的最大值，只需求解函数的最小值，结合目标函数的几何意义可知：目标函数在点处取得最小值，则目标函数的最大值为：.点睛：本题的关键是求线性目标函数z＝ax＋by(ab≠0)的最值，当b＞0时，直线过可行域且在y轴上截距最大时，z值最大，在y轴截距最小时，z值最小；当b＜0时，直线过可行域且在y轴上截距最大时，z值最小，在y轴上截距最小时，z值最大.三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.设F1，F2分别是椭圆D：+=1（a＞b＞0）的左、右焦点，过F2作倾斜角为的直线交椭圆D于A，B两点，F1到直线AB的距离为2，连接椭圆D的四个顶点得到的菱形面积为2．（1）求椭圆D的方程；（2）设过点F2的直线l被椭圆D和圆C：（x﹣2）2+（y﹣2）2=4所截得的弦长分别为m，n，当m?n最大时，求直线l的方程．参考答案：【考点】椭圆的简单性质．【分析】（1）求得直线AB的方程，利用点到直线的距离公式求得c的值，根据三角形的面积公式ab=，由a2=b2+c2，即可求得a和b的值，求得椭圆方程；（2）设直线l的方程，求得O到直线l的距离d，代入椭圆方程，利用弦长公式，求得m和n，利用基本不等式的性质，即可求得t的值，求得直线l的方程．【解答】解：（1）设F1坐标为（﹣c，0），F2坐标为（c，0），（c＞0），则直线AB的方程为，即；又，∴，解得：a2=5，b2=1，∴椭圆D的方程为；（2）易知直线l的斜率不为0，可设直线l的方程为x=ty+2，则圆心C到直线l的距离为，∴，得（t2+5）y2+4ty﹣1=0，∴，∴（当且仅当，即时，等号成立），∴直线方程为或．19.已知函数f（x）=|x﹣a|+|x+5|，（Ⅰ）若a=1，解不等式：f（x）≥2|x+5|；（Ⅱ）若f（x）≥8恒成立，求a的取值范围．参考答案：【考点】绝对值三角不等式；绝对值不等式的解法．【专题】计算题；转化思想；综合法；不等式的解法及应用．【分析】（Ⅰ）若a=1，不等式：f（x）≥2|x+5|?|x﹣1|≥|x+5|，等价于（x﹣1）与（x+5）的和与差同号，转化为一元一次不等式得答案；（Ⅱ）利用绝对值的不等式放缩，把f（x）≥8恒成立转化为|a+5|≥8，求解绝对值的不等式得答案．【解答】解：（Ⅰ）当a=1时，f（x）≥2|x+5|?|x﹣1|≥|x+5|?（2x+4）（x﹣1﹣x﹣5）≥0，解得：x≤﹣2，∴原不等式解集为{x|x≤﹣2}；（Ⅱ）f（x）=|x﹣a|+|x+5|≥|x﹣a﹣（x+5）|=|a+5|，若f（x）≥8恒成立，只需：|a+5|≥8，解得：a≥3或a≤﹣13．【点评】本题考查含有绝对值的不等式的解法，考查数学转化思想方法，是中档题．20.如图，已知长方形ABCD中，AB=2，AD=，M为DC的中点，将△ADM沿AM折起，使得平面ADM⊥平面ABCM．（1）求证：AD⊥BM；（2）若点E是线段DB上的一动点，问点E在何位置时，二面角E﹣AM﹣D的余弦值为．参考答案：【考点】MT：二面角的平面角及求法．【分析】（1）在长方形ABCD中，AB=2，AD=，M为DC的中点，可得AM=BM=2，则AM⊥BM，由线面垂直的判定可得BM⊥平面ADM，则AD⊥BM；（2）取M中点O，连接DO，则DO⊥平面ABCM，以O为原点，建立如图所示空间直角坐标系，则平面ADM的一个法向量为，设，则，，求出平面AME的一个法向量为，利用二面角E﹣AM﹣D的余弦值为求得λ值可得E的位置．【解答】（1）证明：∵长方形ABCD中，AB=2，AD=，M为DC的中点，∴AM=BM=2，则AM⊥BM，∵平面ADM⊥平面ABCM，平面ADM∩平面ABCM=AM，BM?平面ABCM，∴BM⊥平面ADM，∵AD?平面ADM，∴AD⊥BM；（2）解：取M中点O，连接DO，则DO⊥平面ABCM，以O为原点，建立如图所示空间直角坐标系，则平面ADM的一个法向量为，设，，．设平面AME的一个法向量为，则，取y=1，得．由cos＜＞=，解得．∴E为BD上靠近D点的处．【点评】本题考查空间中直线与直线的位置关系，考查了二面角的平面角的求法，训练了利用空间向量求二面角的平面角，是中档题．21.（本小题满分分）已知椭圆的离心率为，短轴一个端点到上焦点的距离为.（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）过点作直线与椭圆相交于两点，直线是过点且与轴平行的直线，设是直线上一动点，满足(为坐标原点).问是否存在这样的直线，使得四边形为矩形？若存在，求出直线的方程；若不存在，说明理由.参考答案：（Ⅰ）由已知得；（Ⅱ）由已知可得直线，设设直线，，此时,所以存在使得四边形为矩形.22.已知函数有最大值，，且是的导数.（1）求a的值；（2）证明：当，时，.参考答案：（1）的定义域为，．………………1分当时，，在上为单调递增