山西省长治市涌泉中学2022年高三数学理下学期期末试卷含解析

山西省长治市涌泉中学2022年高三数学理下学期期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.直线绕原点逆时针旋转，再向右平移１个单位，所得到的直线为（

）

A．

B．

C．

D．参考答案：A2.已知椭圆的右焦点为F,右准线，点，线段AF交C于点B。若,则=(A)

(B)2

(C)

(D)3参考答案：A3.已知函数，若，则的取值范围是 A．

B．

C．

D．参考答案：D4.某中学奥数培训班共有14人，分为两个小组，在一次阶段测试中两个小组成绩的茎叶图如图所示，其中甲组学生成绩的平均数是88，乙组学生成绩的中位数是89，则n﹣m的值（）A．5 B．6 C．7 D．8参考答案：B【考点】茎叶图．【分析】利用茎叶图、平均数、中位数的性质，列出方程组，求出m，n，由此能求出结果．【解答】解：由题意得：，解得m=3，n=9，∴n﹣m=9﹣3=6．故选：B．5.由变量x与y的一组数据：x1571319yy1y2y3y4y5得到的线性回归方程为=2x+45，则=（）A．135 B．90 C．67 D．63参考答案：D【考点】BK：线性回归方程．【分析】根据数表计算，且线性回归方程=2x+45过样本中心点，代入计算的值．【解答】解：根据数表计算=×（1+5+7+13+19）=9，线性回归方程为=2x+45，则=2×9+45=63．故选：D．6.若某几何体的三视图如右图所示，则此几何体的体积等于A、30B、12C、24D、4参考答案：C7.函数y=f(x)的导函数y=f′(x)的图象如图所示，则函数y=f(x)的图象可能是参考答案：D试题分析：原函数先减再增，再减再增，且x=0位于增区间内，因此选D.【名师点睛】本题主要考查导数图象与原函数图象的关系：若导函数图象与x轴的交点为x0，且图象在x0两侧附近连续分布于x轴上下方，则x0为原函数单调性的拐点，运用导数知识来讨论函数单调性时，由导函数y=f′(x)的正负，得出原函数y=f(x)的单调区间．8.已知全集集合则等于（

）A.

B.

C.

D.参考答案：B9.设函数f（x）在R上可导，其导函数为f′（x），且函数y=（1﹣x）f′（x）的图象如图所示，则下列结论中一定成立的是（）A．函数f（x）有极大值f（2）和极小值f（1）B．函数f（x）有极大值f（﹣2）和极小值f（1）C．函数f（x）有极大值f（2）和极小值f（﹣2）D．函数f（x）有极大值f（﹣2）和极小值f（2）参考答案：D【考点】函数在某点取得极值的条件；函数的图象．【分析】利用函数的图象，判断导函数值为0时，左右两侧的导数的符号，即可判断极值．【解答】解：由函数的图象可知，f′（﹣2）=0，f′（2）=0，并且当x＜﹣2时，f′（x）＞0，当﹣2＜x＜1，f′（x）＜0，函数f（x）有极大值f（﹣2）．又当1＜x＜2时，f′（x）＜0，当x＞2时，f′（x）＞0，故函数f（x）有极小值f（2）．故选D．10.从装有3个红球、2个白球的袋中任取3个球，则所取的3个球中至少有1个白球的概率是()参考答案：D二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.在平面直角坐标系xOy内，由不等式组，围成的图形的外接圆的面积为

。参考答案：答案：π12.若集合A={x|1≤3x≤81}，B={x|log2（x2﹣x）＞1}，则A∩B=．参考答案：（2，4]【考点】交集及其运算．【分析】求出关于集合A、B的不等式，求出A、B的交集即可．【解答】解：A={x|1≤3x≤81}={x|0≤x≤4}，B={x|log2（x2﹣x）＞1}={x|x2﹣x﹣2＞0}={x|x＞2或x＜﹣1}，则A∩B=（2，4]，故答案为：（2，4]．【点评】本题考查了集合的运算，考查不等式问题，是一道基础题．13.提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况．在一般情况下，大桥上的车流速度v(单位：千米/小时)是车流密度x(单位：辆/千米)的函数．当桥上的车流密度达到200辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为0；当车流密度不超过20辆/千米时，车流速度为60千米/小时．研究表明：当20≤x≤200时，车流速度v是车流密度x的一次函数．(1)当0≤x≤200时，求函数v(x)的表达式；(2)当车流密度x为多大时，车流量(单位时间内通过桥上某观测点的车辆数，单位：辆/小时)f(x)＝x·v(x)可以达到最大，并求出最大值．(精确到1辆/小时)参考答案：(1)由题意：当0≤x≤20时，v(x)＝60；当20≤x≤200时，设v(x)＝ax＋b，再由已知得解得………………4分故函数v(x)的表达式为v(x)＝…………6分(2)依题意并由(1)可得f(x)＝………8分当0≤x≤20时，f(x)为增函数，故当x＝20时，其最大值为60×20＝1200；………9分当20≤x≤200时，f(x)＝x(200－x)≤[]2＝，………10分当且仅当x＝200－x，即x＝100时，等号成立．所以，当x＝100时，f(x)在区间[20,200]上取得最大值.综上，当x＝100时，f(x)在区间[0,200]上取得最大值≈3333，…………12分即当车流密度为100辆/千米时，车流量可以达到最大，最大值约为3333辆/小时．………13分略14.在中，若，则

．参考答案：由余弦定理得，即整理得，解得。15.如图3.这是一个把k进掉数a（共有n位）化为十进制数b的程序框图，执行该程序框图，若输人的k，a，n分别为2，110011，6，则抢出的b＝＿．参考答案：51依程序框图得16.与直线x+y﹣2=0和曲线x2+y2﹣12x﹣12y+54=0都相切的半径最小的圆的标准方程是．参考答案：（x﹣2）2+（y﹣2）2=2【考点】直线和圆的方程的应用．【专题】压轴题．【分析】由题意可知先求圆心坐标，再求圆心到直线的距离，求出最小的圆的半径，圆心坐标，可得圆的方程．【解答】解：曲线化为（x﹣6）2+（y﹣6）2=18，其圆心到直线x+y﹣2=0的距离为．所求的最小圆的圆心在直线y=x上，其到直线的距离为，圆心坐标为（2，2）．标准方程为（x﹣2）2+（y﹣2）2=2．故答案为：（x﹣2）2+（y﹣2）2=2．【点评】本题考查直线和圆的方程的应用，考查转化的数学思想，是中档题．17.（不等式选讲）设x、y、z∈R+,x2+y2+z2=1,当x+2y+2z取得最大值时，x+y+z=_______.参考答案：略三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知数列中，，，且．（1）设，是否存在实数，使数列为等比数列．若存在，求出的值，若不存在，请说明理由；（2）求数列的前项和．参考答案：（1）方法1：假设存在实数，使数列为等比数列，则有．

①……1分由，，且，得，．所以，，，………………2分所以，解得或．…………………3分当时，，，且，有．………………4分当时，，，且，有．…………5分所以存在实数，使数列为等比数列．当时，数列为首项是、公比是的等比数列；当时，数列为首项是、公比是的等比数列．……6分方法2：假设存在实数，使数列为等比数列，设，……………………1分即，……………Ks5u………2分即．………………………3分与已知比较，令………4分解得或．…………………5分所以存在实数，使数列为等比数列．当时，数列为首项是、公比是的等比数列；当时，数列为首项是、公比是的等比数列．……6分（2）解法1：由（1）知，……7分当为偶数时，…………8分

…………9分

．…………………10分当为奇数时，………………11分

…………12分

．……………13分故数列的前项和………14分注：若将上述和式合并，即得．解法2：由（1）知，…………………7分所以，……………………8分当时，

．因为也适合上式，……………10分所以．所以．…………11分则，………………12分……………13分

．……Ks5u………14分解法3：由（1）可知，…………………7分所以．…………8分则，……9分当为偶数时，………10分

．……………11分当为奇数时，………………12分

．………13分故数列的前项和………14分注：若将上述和式合并，即得．19.已知向量，函数．（1）求函数f（x）的对称中心；（2）在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，且，且a＞b，求a，b的值．参考答案：【考点】余弦定理的应用；平面向量数量积的坐标表示、模、夹角．【分析】（1）通过向量的数量积以及二倍角的余弦函数，两角和的正弦函数化简函数为一个角的一个三角函数的形式，利用正弦函数的对称性求函数f（x）的对称中心；（2）通过，求出C的大小，以及余弦定理求出a，b的值．【解答】解：（1），=．…令得，，∴函数f（x）的对称中心为．…（2），∵C是三角形内角，∴即：…∴即：a2+b2=7．将代入可得：，解之得：a2=3或4，…∵a＞b，∴．…∴或2，∴．20.正项数列满足：.（1）求数列的通项公式；（2）令，求数列的前项和.参考答案：解：（1）由已知可得：（2）所以略21.正弦曲线y=sinx与余弦曲线y=cosx及直线x=0和直线x=所围成区域的面积为

。参考答案：22.已知各项均为正数的数列{an}的前n项和为Sn，，.(1)证明数列{an}为等差数列，并求{an}的通项公式；(2)设，数列{bn}的前n项和记为Tn,证明：.参考答案：（1）证明见解析，；（2）见解析【分析】