山西省长治市大辛庄中学2021年高三数学理测试题含解析

山西省长治市大辛庄中学2021年高三数学理测试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.设实数a、b、c满足则a、b、c的大小关系为A.c<a<b B.c<b<a C.a<c<b D.b<c<a参考答案：A【分析】利用指数函数、对数函数的单调性直接求解．【详解】，，c＝lna＝ln＜ln1＝0，∴a，b，c的大小关系为c＜a＜b．故选A．【点睛】本题考查三个数的大小的比较，考查指数函数、对数函数的单调性等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．2.将函数的图象向左平移个单位长度后，所得到的图象关于y轴对称，则m的最小值是A．

B．

C．

D．参考答案：B3.若实数x,y满足，则的最小值是（

）A．

B．

C.

D．参考答案：C4.若按右侧算法流程图运行后，输出的结果是,则输入的的值为

A.

B.

C.

D.参考答案：B5.设等差数列{an}的前n项和为Sn，若S4=﹣4，S6=6，则S5=（）A．1 B．0 C．﹣2 D．4参考答案：B【考点】等差数列的前n项和．【分析】利用等差数列的求和公式即可得出．【解答】解：设等差数列{an}的公差为d，∵S4=﹣4，S6=6，∴d=﹣4，d=6，解得a1=﹣4，d=2．则S5=5×（﹣4）+×2=0，故选：B．【点评】本题考查了等差数列的求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．6.已知函数满足：①；②在上为增函数，若，且的大小关系是A.

B.C.

D.无法确定参考答案：C7.一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的表面积为（

）． A． B． C． D．参考答案：A由三视图可知，该几何体是三棱锥，其中底面是底边长为，高为的等腰三角形，棱锥高是，所以该几何体的表面积是：．故选．8.若是偶函数，且当的解集是（

）

A．（－1，0）

B．（－∞，0）（1，2）

C．（1，2）

D．（0，2）参考答案：D根据函数的性质做出函数的图象如图.把函数向右平移1个单位，得到函数，如图，则不等式的解集为，选D.9.已知函数为奇函数，且当时，则当时，的解析式

A、

B、 C、

D、参考答案：B10.设i为虚数单位，则复数在复平面内对应的点位于()A．第一象限

B．第二象限

C．第三象限

D．第四象限参考答案：D二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.定义域为R的函数f(x)同时满足以下两条性质：①存在,使得；②对于任意，有.根据以下条件，分别写出满足上述性质的一个函数.（i）若f(x)是增函数，则f(x)=_______；（ⅱ）若f(x)不是单调函数，则f(x)=_______.参考答案：

【分析】先给出上符合条件的函数，再求出其他范围上的解析式，注意验证构造出的函数是否满足单调性的要求.【详解】由①可知为非零函数，由②可知，只要确定了在上的函数值，就确定了在其余点处的函数值，若是增函数，令在上的解析式为，则当时，则，故.故，此时为上的增函数.若不是单调函数，令在上的解析式为，它不是单调函数，又当时，则，故.故.故答案为：.【点睛】本题考查函数的性质，该性质和函数的周期性类似，因此可采取类似周期函数的处理方法即先确定主区间上满足已知性质的函数，再根据类周期性可求其他范围上的解析式，本题属于难题.12.已知过点且斜率为k的直线与圆相交于P、Q两点，则的值为参考答案：【知识点】直线与圆相交的性质．N17

解析：：圆心C（3，2），半径R=1，

设切线交圆于B，

则由切线长定理得，

∵，∴，

故答案为：7【思路点拨】根据切线长定理即可得到结论．13.已知数列{an}满足：（），若，则

.参考答案：试题分析：因,故当时,,,即时,,即,所以;当时,,,即时,可得,不成立,所以,应填.考点：分段数列的通项及运用．14.若双曲线的一个焦点到一条渐近线的距离等于焦距的，则该双曲线的离心率为

．参考答案：【知识点】双曲线的简单性质．H6

双曲线的焦点坐标为（c，0），（﹣c，0），渐近线方程为，根据双曲线的对称性，任意一个焦点到两条渐近线的距离都相等，求（c，0）到的距离，，又∵焦点到一条渐近线的距离等于焦距的，∴b=×2c，两边平方，得4b2=c2，即4（c2﹣a2）=c2，∴3c2=4a2，，即，。【思路点拨】因为双曲线即关于两条坐标轴对称，又关于原点对称，所以任意一个焦点到两条渐近线的距离都相等，所以不妨利用点到直线的距离公式求（c，0）到的距离，再令该距离等于焦距的，就可得到含b，c的齐次式，再把b用a，c表示，利用即可求出离心率．15.已知AB是圆的一条弦，点P为AB上一点，,PC交圆于点C，若,,则PC的长为 .参考答案：16.掷两颗骰子得两数，则事件“两数之和大于4”的概率为__参考答案：略17.函数的零点个数为

个．参考答案：试题分析：令得，画出这两个函数如下图所示，由图可知，零点为个.考点：零点与二分法.【思路点晴】对于函数与方程，常考：1.结合二次函数的图象，判断一元二次方程根的存在性及根的个数，了解函数的零点与方程根的联系．2.根据具体函数的图象，能够用二分法求相应方程的近似解．函数零点的求法：①（代数法）求方程的实数根；②（几何法）对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数的图象联系起来，并利用函数的性质找出零点.三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.一个盒子中装有大量形状大小一样但重量不尽相同的小球，从中随机抽取50个作为样本，称出它们的重量（单位：克），重量分组区间为[5，15]，（15，25]，（25，35]，（35，45]，由此得到样本的重量频率分布直方图（如图），（1）求a的值，并根据样本数据，试估计盒子中小球重量的众数与平均值；（2）从盒子中随机抽取3个小球，其中重量在[5，15]内的小球个数为X，求X的分布列和数学期望．（以直方图中的频率作为概率）参考答案：【考点】离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差．【专题】概率与统计．【分析】（1）求解得a=0.03，由最高矩形中点的横坐标为20，可估计盒子中小球重量的众数约为20根据平均数值公式求解即可．（2）X～B（3，），根据二项分布求解P（X=0），P（X=1），P（X=2）=，P（X=3），列出分布列，求解数学期望即可．【解答】解：（1）由题意得，（0.02+0.032+a+0.018）×10=1解得a=0.03；又由最高矩形中点的横坐标为20，可估计盒子中小球重量的众数约为20，而50个样本小球重量的平均值为：=0.2×10+0.32×20+0.3×30+0.18×40=24.6（克）故估计盒子中小球重量的平均值约为24.6克．（2）利用样本估计总体，该盒子中小球的重量在[5，15]内的0.2；则X～B（3，），X=0，1，2，3；P（X=0）=×（）3=；P（X=1）=×（）2×=；P（X=2）=×（）×（）2=；P（X=3）=×（）3=，∴X的分布列为：X0123P即E（X）=0×=．【点评】本题考查了离散型的随机变量及概率分布列，数学期望的求解，注意阅读题意，得出随机变量的数值，准确求解概率，难度不大，需要很好的计算能力19.(14分)数列{

}满足，.(1)求数列{

}通项公式(2)若,｛bn｝的前n次和为Bn,若存在整数m，对任意n∈N+且n≥2都有成立，求m的最大值.参考答案：解：（1），∴

∴为首次为-2，公差为-1的等差数列ks5u∴=-2+（n-1）×（-1）=-（n+1）

∴

(2)

令∴==

∴Cn+1-Cn>0∴｛Cn｝为单调递增数列∴∴∴m<19

又

∴m的最大值为1820.已知曲线和定点，是此曲线的左、右焦点，以原点为极点，以轴正半轴为极轴，建立极坐标系.（1）求直线的极坐标方程；（2）经过点且与直线垂直的直线交此圆锥曲线于两点，求的值.参考答案：（1）曲线可化为其轨迹为椭圆，焦点为和，经过和的直线方程为所以极坐标方程为（2）由（1）知直线的斜率为，因为，所以的斜率为，倾斜角为，所以的参数方程为代入椭圆的方程中，得因为点在两侧，所以21.（本小题满分10分，不等式选讲）已知实数满足，求的最小值.参考答案：由柯西不等式，，………4分所以，当且仅当，即时，等号成立，所以的最小值为．

………10分22.（14分）如图，已知平面，，△是正三角形，，且是的中点．（1）求证：平面；（2）求证：平面平面；（3）求平面与平面所成锐二面角的大小.参考答案：解：（1）解：取CE中点P，连结FP、BP，∵F为CD的中点，∴FP//DE，且FP=又AB//DE，且AB=∴AB//FP，且AB=FP，∴ABPF为平行四边形，∴AF//BP-------2分又∵AF平面BCE，BP平面BCE，∴AF//平面BCE------4分

（2）∵△ACD为正三角形，∴AF⊥CD,∵AB⊥平面ACD，DE//AB，∴DE⊥平面ACD，又AF平面ACD，∴DE⊥AF,又AF⊥CD，CD∩DE=D，∴AF⊥平面CDE------6分又BP//AF，∴BP⊥平面CDE。又∵BP平面BCE，∴平面BCE⊥平面CDE--------8分（3）法一、由（2），以F为坐标原点，FA，FD，FP所在