山西省长治市城区第二中学2021年高三数学理测试题含解析

山西省长治市城区第二中学2021年高三数学理测试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.如图，点O为坐标原点，点A（1，1），若函数y=ax（a＞0，且a≠1）及logbx（b＞0，且b≠1）的图象与线段OA分别交于点M，N，且M，N恰好是线段OA的两个三等分点，则a，b满足(

)A．a＜b＜1 B．b＜a＜1 C．b＞a＞1 D．a＞b＞1参考答案：A【考点】指数函数的图像与性质．【专题】函数的性质及应用．【分析】先由图象得到0＜a＜1，0＜b＜1，再根据反函数的定义可以得出y=ax经过点M，则它的反函数y=logax也经过点M，根据对数函数的图象即可得到a＜b．【解答】解：由图象可知，函数均为减函数，所以0＜a＜1，0＜b＜1，因为点O为坐标原点，点A（1，1），所以直线OA为y=x，因为y=ax经过点M，则它的反函数y=logax也经过点M，又因为logbx（b＞0，且b≠1）的图象经过点N，根据对数函数的图象和性质，∴a＜b，∴a＜b＜1故选：A．【点评】本题考查了对数函数和指数函数的图象及性质，以及反函数的概念和性质，属于基础题．2.已知全集为，集合，，则（

）A．

B．

C．

D．参考答案：A依题意，，，故，故选A.3.已知函数是R上的偶函数，且在区间上是增函数.令，则（

）A.

B.

C.

D.参考答案：A4.已知函数是偶函数，的图象过点，则对应的图象大致是参考答案：B依题意易得（）因函数的图象关于y轴对称，可得（）,选B.5.已知等差数列的前项和为，若（

）

A．54

B．68

C．90

D．72参考答案：D略6.某篮球运动员6场比赛得分如下表：（注：第n场比赛得分为an）n123456an1012891110在对上面数据分析时，一部分计算如右算法流程图（其中是这6个数据的平均数），则输出的s的值是A．

B．2

C．

D．参考答案：C，由题意，易得：=故选：C

7.的值为A. B. C. D.参考答案：A，故选A.8.设向量

A．

B．

C．

D．10参考答案：B略9.在等比数列中，，则的值（

）A.

3

B.

9

C.

D.参考答案：B10.下列函数中，周期为，且在上为减函数的是（

）

A．

B．

C．

D．参考答案：C二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知α，β∈（0，），满足tan（α+β）=9tanβ，则tanα的最大值为．参考答案：【考点】两角和与差的正切函数．【专题】计算题；转化思想；分析法；三角函数的求值．【分析】利用两角和的正切将tan（α+β）=9tanβ转化，整理为关于tanβ的一元二次方程，利用题意，结合韦达定理即可求得答案．【解答】解：∵tan（α+β）=9tanβ，∴=9tanβ，∴9tanαtan2β﹣8tanβ+tanα=0，①∴α，β∈（0，），∴方程①有两正根，tanα＞0，∴△=64﹣36tan2α≥0，∴0＜tanα≤．∴tanα的最大值是．故答案为：．【点评】本题考查两角和与差的正切函数，考查一元二次方程中韦达定理的应用，考查转化思想与方程思想，也可以先求得tanα，再利用基本不等式予以解决，属于中档题．12.已知，若，则的夹角为

参考答案：13.已知函数，则

．参考答案：∵，且，∴．14.已知函数f（x）=，则f（f（﹣2））=

．参考答案：0考点：函数的值．专题：计算题；函数的性质及应用．分析：由分段函数f（x）=，由内向外依次求函数值即可．解答： 解：∵f（x）=，∴f（﹣2）=（﹣2）2+2×（﹣2）=0，f（f（﹣2））=f（0）=20﹣0﹣1=0；故答案为：0．点评：本题考查了分段函数的应用，由内向外依次求函数值，属于基础题．15.已知f（x）是定义在R上的奇函数，对任意x∈R，都有f（x+4）=f（x），若f（1）=2，则f(3)=

．参考答案：﹣2【考点】函数的值．【专题】计算题；转化思想；数学模型法；函数的性质及应用．【分析】根据已知中函数的奇偶性和周期性，可得f=f（﹣1）=﹣f（1）．【解答】解：∵f（x）是定义在R上的奇函数，∴f（﹣x）=﹣f（x），又∵对任意x∈R，都有f（x+4）=f（x），∴f（x）是周期为4的周期函数，故f(3)=f（﹣1）=﹣f（1）=﹣2，故答案为：﹣2【点评】本题考查的知识点是函数的奇偶性和周期性，函数求值，难度不大，属于基础题．16.若，则角是

A.第一或第二象限角

B.第二或第三象限角C.第三或第四象限角

D.第二或第四象限角参考答案：D因为，则角是第二或第四象限角，选D

17.已知函数，其中，下面是关于f（x）的判断：①．函数最小正周期为②．函数的一个对称中心是（—）

③．将函数的图象左移得到函数的图象

④．的一条对称轴是其中正确的判断是_________（把你认为正确的判断都填上）。参考答案：①②④略三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知等差数列的公差大于0,且是方程的两根,数列的前项和为.(I)求数列的通项公式;(II)记,求证:;（Ⅲ）求数列的前项和.参考答案：略19.在四棱锥P-ABCD中，平面ABCD⊥平面PCD，底面ABCD为梯形，，，M为PD的中点，过A，B，M的平面与PC交于N.，，，.（1）求证：N为PC中点；（2）求证：AD⊥平面PCD；（3）T为PB中点，求二面角的大小.参考答案：（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）45°【分析】（1）利用线面平行的性质可得，又由M为PD的中点，即可求证N为PC中点；（2）利用面面垂直的性质，可过点作,可证，再结合线面垂直的判定定理即可求证；（3）采用建系法以为轴，为轴，为轴建立空间直角坐标系，利用向量法即可求出二面角的大小【详解】（1），平面，平面，平面，由线面平行的性质可得，，又，，M为PD的中点，为PC的中点；（2）过点作交与点，又平面平面PCD，交线为，故平面，又平面，，又，，平面PCD；（3）由（2）可知平面PCD，，故以为轴，为轴，为轴建立空间直角坐标系，如图：求得，为的中点，故，，，可设平面的法向量为，平面的法向量为，故有，取得，则，故，故二面角的大小为45°【点睛】本题考查线面平行性质，面面垂直性质，面面垂直平判定定理的应用，建系法求解二面角的大小，属于中档题20.选修4—4：坐标系与参数方程（本小题满分10分）以直角坐标系的原点为极点，轴的正半轴为极轴，已知点P的直角坐标为（1，－5），点M的极坐标为（4，），若直线过点P，且倾斜角为，圆C以M为圆心，4为半径。（1）求直线的参数方程和圆C的极坐标方程。（2）试判定直线与圆C的位置关系。参考答案：21.在中，分别是角的对边，且满足.（1）求角的大小；（2）设函数，求函数在区间上的值域.参考答案：（1）；（2）考点：1.正弦定理；2.三角恒等变换；3.三角函数的值域.【方法点睛】本题考查三角函数的变换，三角函数的图象平移，三角函数在闭区间上的最值，属于中档题，求函数在区间上值域的一般步骤：第一步：把三角函数式根据三角函数的有关公式进行化简，一般化成形如的形式，第二步：由的取值范围确定的取值范围，再确定的取值范围，第三步：求所给函数的值域（或最值)．22.已知m∈R，设函数f（x）=x3-3（m+1）x2+12mx+1．

（1）若f（x）在（0，3）上无极值点，求m的值；

（2）若存在x0∈（0，3），使得f（x0）是f（x）在[O，3]上的最值，求m的取值范围．参考答案：（1）解：f′（x）＝3x2－6（m＋1）x＋12m＝3（x－2）（x－2m）

由于f（x）在[0，3]上无极值点，故2m=2，所以m=1 （2）解：由于f′（x）=3（x－2）（x－2m）

当2m≤0或2m≥3，即m≤0或m≥时，取x0=2即满足题意

此时m≤0或m≥

当0＜2m＜2，即0＜m＜1时，列表如下：

故f（2）≤f（0）或f（2m）≥f（3）

即－4＋12m＋1≤1或－4m3＋12m2