山西省长治市城区第一中学2021年高三数学理联考试题含解析

山西省长治市城区第一中学2021年高三数学理联考试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.正项等比数列{an}中的a1，a4033是函数的极值点，则log6a2017=（）A．1 B．2 C． D．﹣1参考答案：C【考点】88：等比数列的通项公式；6D：利用导数研究函数的极值．【分析】f′（x）=x2﹣8x+6，由正项等比数列{an}中的a1，a4033是函数的极值点，利用韦达定理得a1×a4033=6，从而=，由此能求出log6a2017．【解答】解：∵，∴f′（x）=x2﹣8x+6，∵正项等比数列{an}中的a1，a4033是函数的极值点，∴a1×a4033=6，∴=，∴log6a2017=．故选：C．2.某个微信群某次进行的抢红包活动中，群主所发红包的总金额为10元，被随机分配为2.49元、1.32元、2.19元、0.63元、3.37元，共5份，供甲、乙等5人抢，每人只能抢一次，则甲、乙二人抢到的金额之和不低于4元的概率是(

)A．

B．

C．

D．参考答案：B3.双曲线的一条渐近线的倾斜角为，离心为率，则的最小值为A.

B.

C.

D.参考答案：A略4.已知双曲线的渐近线方程为焦点坐标为、则该双曲线的方程为

（

）A.

B.

C.

D.

参考答案：D略5.在中，为的重心，在边上，且，则（A）

（B）

（C）

（D）参考答案：【知识点】平面向量的基本定理及其意义．F2

【答案解析】B解析：如图所示，，==，=．∴==．故选：B．【思路点拨】利用重心的性质和向量的三角形法则即可得出．6.设向量=(﹣1，2)，=(2，1)，则+与的夹角为（）A．45° B．60° C．120° D．135°参考答案：A【考点】数量积表示两个向量的夹角．【分析】根据平面向量的坐标运算与夹角公式，求出与夹角的余弦值，即可求出夹角θ．【解答】解：向量，∴=（1，3），|+|==，∴（+）?=1×2+3×1=5，又||==，设与的夹角为θ，则cosθ===，∴夹角θ=45°．故选：A．7.已知a，b，c都是正数，则三数

（

）

A．都大于2

B．都小于2

C．至少有一个不大于2

D．至少有一个不小于2

参考答案：D8.已知z=（i为虚数单位），则|z|=（）A． B．1 C． D．2参考答案：B【考点】复数求模．【专题】计算题；转化思想；定义法；数系的扩充和复数．【分析】利用复数的运算法则和模的计算公式即可得出．【解答】解：z=====+i，∴|z|==1，故选：B．【点评】本题考查了复数的运算法则和模的计算公式，属于基础题．9.已知，设函数的最大值为M，最小值为N，那么（）A.2020 B.2019 C.4040 D.4039参考答案：D【分析】通过分离分子可得，计算可得，利用函数的单调性计算可得结果．【详解】解：，又是上的增函数，，故选D．【点睛】本题考查函数的单调性的判断和运用，注意解题方法的积累，考查运算能力，属于中档题．10.已知某个几何体的三视图如下，根据图中标出的尺寸（单位：cm），则这个几何体的体积是（

）

A．

B．

C．

D.4

参考答案：A二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.给出下列六个命题：①函数f（x）=lnx﹣2+x在区间（1，e）上存在零点；②若f′（x0）=0，则函数y=f（x）在x=x0处取得极值；③若m≥﹣1，则函数y=的值域为R；④“a=1”是“函数在定义域上是奇函数”的充分不必要条件．⑤函数y=f（1+x）的图象与函数y=f（l﹣x）的图象关于y轴对称；⑥满足条件AC=，AB=1的三角形△ABC有两个．其中正确命题的个数是

．参考答案：①③④⑤【考点】命题的真假判断与应用．【专题】函数的性质及应用．【分析】根据函数零点的判定定理可得①正确．通过举反例可得②不正确．根据对数的真数可取遍所有的正实数，可得此对数函数的值域为R，故③正确．根据a=1时，函数在定义域上是奇函数，再根据函数在定义域上是奇函数时，a=±1，可得④正确．由函数y=f（1+x）的图象与函数y=f（l﹣x）的图象关于y轴对称，可得⑤正确．由AC=，AB=1，利用正弦定理及由大边对大角可得△ABC是一个唯一的直角三角形，故⑥不正确．【解答】解：对于函数f（x）=lnx﹣2+x，在区间（1，e）上单调递增，f（1）=﹣1，f（e）=e﹣1＞0，根据函数零点的判定定理可得，在区间（1，e）上存在零点，故①正确．②不正确，如当f（x）=x3时，显然满足f′（0）=0，但y=f（x）=x3在x=0处没有极值．③当m≥﹣1，函数y=的真数为x2﹣2x﹣m，判别式△=4+4m≥0，故真数可取遍所有的正实数，故函数y=的值域为R，故③正确．④由a=1可得，定义域为R，关于原点对称，==﹣f（x），故函数在定义域上是奇函数，故充分性成立．若函数在定义域上是奇函数，则有f（0）=0，或f（0）不存在，∴a=1，或a=﹣1，故不能推出a=1．故必要性不成立，故④正确．⑤在函数y=f（1+x）的图象上任意取一点（a，f（1+a）），则点（a，f（1+a））关于y轴的对称点为（﹣a，f（1﹣a）），故函数y=f（1+x）的图象与函数y=f（l﹣x）的图象关于y轴对称，故⑤正确．⑥△ABC中，由AC=，AB=1，利用正弦定理求得sinC=，再由大边对大角可得C=30°，∴B=90°，△ABC是一个唯一的直角三角形，故⑥不正确．故答案为①③④⑤．【点评】本题主要考查命题的真假的判断，通过举反例来说明某个命题不正确，是一种简单有效的方法，属于基础题．12.（09年扬州中学2月月考）已知的终边经过点，且

，则的取值范围是

▲

参考答案：答案：13.设变量x，y满足约束条件，则的最大值为__________．参考答案：6【分析】作出不等式组对应的平面区域，将目标函数化为，利用数形结合即可的得到结论．【详解】解：作出不等式组对应的平面区域如图：由得直线l：，平移直线l，由图象可知当直线l经过点时截距最小，此时最大，．即的最大值是6。【点睛】本题主要考查线性规划的应用，利用的几何意义，通过数形结合是解决本题的关键．14.对于函数，若在其定义域内存在，使得成立，则称函数具有性质．（）下列函数中具有性质的有__________．① ②③ ④（）若函数具有性质，则实数的取值范围是__________．参考答案：（）①②④（）或（）在时，有解，即函数具有性质，①令，即，∵，方程有一个非实根，故具有性质．②的图象与有交点，故有解，故具有性质．③令，此方程无解，故，不具有性质．④的图象与的图象有交点，故有解，故具有性质．综上所述，具有性质的函数有：①②④．（）具有性质，显然，方程有根，∵的值域为，∴，解得或．15.在平面直角坐标系xOy中，角与均以为始边，它们的终边关于y轴对称，若，则

．参考答案：

16.设n为正整数，，计算得，f（4）＞2，，f（16）＞3，观察上述结果，可推测一般的结论为．参考答案：f（2n）≥（n∈N*）考点：归纳推理．专题：探究型．分析：根据已知中的等式：，f（4）＞2，，f（16）＞3，…，我们分析等式左边数的变化规律及等式两边数的关系，归纳推断后，即可得到答案．解答：解：观察已知中等式：得，f（4）＞2，，f（16）＞3，…，则f（2n）≥（n∈N*）故答案为：f（2n）≥（n∈N*）．点评：归纳推理的一般步骤是：（1）通过观察个别情况发现某些相同性质；（2）从已知的相同性质中推出一个明确表达的一般性命题（猜想）17.（坐标系与参数方程选做题）已知两曲线参数方程分别为

和，它们的交点坐标为___________.参考答案：略三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（本小题满分14分）已知函数，.（Ⅰ）若，且对于任意恒成立，试确定实数的取值范围；（Ⅱ）设函数，求证：参考答案：（Ⅰ）由可知是偶函数． 于是对任意成立等价于对任意成立．………（1分） 由得．ks5u ①当时，． 此时在上单调递增．

故，符合题意．…（3分） ②当时，． 当变化时的变化情况如下表：

……（4分）单调递减极小值单调递增由此可得，在上，．依题意，，又．综合①，②得，实数的取值范围是．

………………（7分）（Ⅱ），又，

……（10分），

……（12分）由此得:故成立.………………（14分）19.在直角坐标系xoy中，直线l：，在以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C：，若直线与y轴正半轴交于点M，与曲线C交于A、B两点，其中点A在第一象限．（Ⅰ）求曲线C的直角坐标方程及点M对应的参数tM（用α表示）；（Ⅱ）设曲线C的左焦点为F1，若|F1B|=|AM|，求直线l的倾斜角α的值．参考答案：【考点】Q4：简单曲线的极坐标方程；QH：参数方程化成普通方程．【分析】（Ⅰ）由，得ρ2+2ρ2sin2θ=3，利用x=ρcosθ，y=ρsinθ，ρ2=x2+y2，能求出曲线C的直角坐标方程；由题意可知点M的横坐标为0，代入，由此能求出点M对应的参数tM．（Ⅱ）直线过定点，将代入，得，由此利用|F1B|=|AM|，能求出直线l的倾斜角α的值．【解答】解：（Ⅰ）由得ρ2+2ρ2sin2θ=3，∵x=ρcosθ，y=ρsinθ，ρ2=x2+y2，∴曲线C的直角坐标方程为．…，又由题意可知点M的横坐标为0，代入，∴…（Ⅱ）由（Ⅰ）知，直线过定点，将代入，化简可得，设A、B对应的参数分别为t1，t2，∵|F1B|=|AM|，∴|t1+t2|=|tM|，sinα=，∴0，∴α=．…20.（本小题满分7分）选修4-5：不等式选讲已知函数f（x）=m-|x-2|，m∈R，且f（x+2）≥0的解集为[-1,1].（Ⅰ）求m的值；（Ⅱ）若a，b，c∈R，且参考答案：本题主要考查绝对值不等式、柯西不等式等基础知识，考查基本运算能力，以及化归与转化思想.21.（本小题满分12分）某学校高一年级为了解学生在一次数学考试中的成绩情况，从中抽取了部分学生的分数（得分取正整数，满分是分）作为样本（样本容量为）进行统计，按照，，，，的分组作出如图4甲所示的频率分布直方图和图乙所示的样本分数茎叶图（图乙中仅列出了得分在，的数据）。(I)求样本容量和频率分布直方图中的，的值；(II)在选取的样本中，从考试成绩是分以上（含分）的同学中随机抽取名同学为其他同学作交流，设表示所抽取的名同学中得分在的学生个数，求的分布列及数学期望。参考答案：(I)由频率分布直方图和茎叶图知在的频数为，频率为，，解得；…………2分由在的频数为，频率为，，解得；…………4分又，解得；故所求；；.…………6分(II)在区间的学生人数为：（人）；在区间的学生人数为：人；