山西省运城市西王李晨中学2021-2022学年高三数学理下学期期末试卷含解析

山西省运城市西王李晨中学2021-2022学年高三数学理下学期期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知向量a＝（1，1，0），b＝（－1，0，2），且a＋b与2a－b互相垂直，则的值是（

▲

）A．

1

B．

C．

D．参考答案：C略2.若点(a，b)在y＝lgx图像上，a≠1，则下列点也在此图像上的是()A．(，b)

B．(10a,1－b)C．(，b＋1)

D．(a2,2b)参考答案：D3.若实数x，y满足，如果目标函数的最小值为，则实数m=

A．0

B．-8

C．4

D．8参考答案：D4.关于直线m、n与平面α、β，有下列四个命题：①m∥α，n∥β且α∥β，则m∥n；

②m⊥α，n⊥β且α⊥β，则m⊥n；③m⊥α，n∥β且α∥β，则m⊥n；

④m∥α，n⊥β且α⊥β，则m∥n．其中正确命题的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．4参考答案：B【考点】空间中直线与平面之间的位置关系．【分析】利用线面关系定理，对四个命题分别分析，找出正确命题．【解答】解：①根据面面平行的性质定理知，m和n是第三个平面与此平面的交线时，有m∥n，m，n也可能是异面；故①错误；②∵α⊥β，m⊥α，∴在β存在与m平行的直线，再由n⊥β得m⊥n，故②正确；③由m⊥α，α∥β得m⊥β，再由n∥β得m⊥n，故③正确；④当m?β时，由n⊥β得到m⊥n，故④错．综上正确命题是②③，共有2个；故选B．【点评】本题考查了空间的线面位置关系，解决此类问题，注意定理中的关键条件以及特殊情况，主要根据垂直和平行定理进行判断，考查了空间想象能力．5.已知双曲线(，)的左、右焦点分别为、，以、为直径的圆与双曲线渐近线的一个交点为，则此双曲线的方程为 A． B． C．

D．参考答案：C6.若集合，那么A．

B．．

C．

D．参考答案：答案：C7.已知几何体的三视图及有关数据如图所示，则该几何体的各条棱中，最长的棱的长度为（

）A．2

B．

C.

D．参考答案：C8.已知sinx+cosx=，x∈（0，π），则tanx=（）A． B．C．D．参考答案：D【考点】同角三角函数基本关系的运用．【分析】先根据sinx+cosx的值和二者的平方关系联立求得sinx、cosx的值，进而利用商数关系求得tanx的值．【解答】解：∵，x∈（0，π），∴两边平方得2sinxcosx=﹣，cosx＜0∴（sinx﹣cosx）2=1﹣2sinxcosx=，∵sinx﹣cosx＞0，∴sinx﹣cosx=，与，联立解得sinx=，cosx=﹣，∴tanx==﹣．故选：D．9.下列命题正确的是（

）A．命题“若，则”的逆否命题为真命题B．命题“若，则”的逆命题为真命题C．命题“”的否定是“”D．“”是“”的充分不必要条件参考答案：A10.已知复数满足（是虚数单位），则复数=（

）A．

B．

C．

D．参考答案：D略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.定义运算=，函数图象的顶点是，且k、m、n、r成等差数列，则k+r=

.参考答案：12.设实数x，y满足，则的取值范围是____________.参考答案：【分析】作出线性约束条件所表示的可行性，如图所示，根据直线截距的几何意义，即可得答案.【详解】作出线性约束条件所表示的可行性，如图所示，当直线过点B和过点C时，分别取到最小值和最大值，此时，，∴故答案为：【点睛】本题考查简单线性规划的应用，考查数形结合思想和运算求解能力，求解时注意直线截距几何意义的应用.13.若直线（t为参数）与直线垂直，则常数=___________.参考答案：略14.已知实数满足不等式组，那么的最小值为

．参考答案：略15.已知满足，则的取值范围是

．参考答案：16.若的二项展开式的各项系数之和为729，则该展开式中常数项的值为

▲

．参考答案：160令x=1，则所以因此常数项为

17.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若（b－c）cosA=acosC，则cosA=

。参考答案：三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知函数（其中，）.（Ⅰ）若函数在上为增函数，求实数的取值范围；（Ⅱ）当时，求函数在上的最大值和最小值；（Ⅲ）当时，求证：对于任意大于1的正整数，都有.参考答案：解：（Ⅰ），函数在上为增函数，对任意恒成立.对任意恒成立，即对任意恒成立.时，，所求正实数的取值范围是.（Ⅱ）当时，，当时，，故在上单调递减；当时，，故在上单调递增；在区间有唯一的极小值点，也是最小值点，；又.在区间的最大值是.综上所述：在区间的最大值是；最小值是0.（Ⅲ）当时，，，故在上是增函数.当时，令，则当时，.，即.，，.即对于任意大于1的正整数，都有.略19.如图，设椭圆（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，点D在椭圆上，DF1⊥F1F2，，的面积为.（Ⅰ）求椭圆的标准方程；（Ⅱ）是否存在圆心在y轴上的圆，使得圆在x轴的上方与椭圆有两个交点，且圆在这两个交点处的两条切线相互垂直并分别过不同的焦点？若存在，求出圆的方程，若不存在，请说明理由。参考答案：（Ⅰ）设F1（-c,0），F2（c,0），其中c2=a2－b2由得，从而，故c=1从而，由DF1⊥F1F2得，因此.所以，故，b2=a2－c2=1，因此所求椭圆的标准方程为.（Ⅱ）如图，设圆心在y轴上的圆C与椭圆相交，P1(x1,y1)，P2(x2,y2)是两个交点，y1＞0,y2＞0,F1P1,F2P2是圆C的切线，且F1P1⊥F2P2，由圆和椭圆的对称性，易知，x2=－x1，y1=y2.由（Ⅰ）知F1(-1,0)，F2(1,0)，所以，，再由F1P1⊥F2P2得，由椭圆方程得，即，解得或.当时，P1，P2重合，题设要求的圆不存在.当时，过P1，P2分别与F1P1，F2P2垂直的直线交点即为圆心C，设C(0，y0)，由CP1⊥F1P1得，而，故.圆C的半径.综上，存在满足题设条件的圆，其方程为.【点评】：第一问运用椭圆的几何性质求标准方程，比较简单；第二问把椭圆和圆结合起来，查考了椭圆的对称性，圆的切线与半径垂直等性质，计算出圆心坐标，计算要仔细，难度与去年相比比较平稳。20.在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知cos2A=﹣，c=，sinA=sinC．（Ⅰ）求a的值；（Ⅱ）若角A为锐角，求b的值及△ABC的面积．参考答案：【考点】HP：正弦定理；HR：余弦定理．【分析】（Ⅰ）根据题意和正弦定理求出a的值；（Ⅱ）由二倍角的余弦公式变形求出sin2A，由A的范围和平方关系求出cosA，由余弦定理列出方程求出b的值，代入三角形的面积公式求出△ABC的面积．【解答】解：（Ⅰ）在△ABC中，因为，由正弦定理，得．…（6分）（Ⅱ）由得，，由得，，则，由余弦定理a2=b2+c2﹣2bccosA，化简得，b2﹣2b﹣15=0，解得b=5或b=﹣3（舍负）．所以．

…（13分）【点评】本题考查正弦定理和余弦定理的综合应用，以及方程思想，考查化简、计算能力，属于中档题．21.某工厂有25周岁以上（含25周岁）工人300名，25周岁以下工人200名．为研究工人的日平均生产量是否与年龄有关．现采用分层抽样的方法，从中抽取了100名工人，先统计了他们某月的日平均生产件数，然后按工人年龄在“25周岁以上（含25周岁）”和“25周岁以下”分为两组，再将两组工人的日平均生产件数分成5组：[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100）分别加以统计，得到如图所示的频率分布直方图．（1）从样本中日平均生产件数不足60件的工人中随机抽取2人，求至少抽到一名“25周岁以下组”工人的频率．（2）规定日平均生产件数不少于80件者为“生产能手”，请你根据已知条件完成2×2的列联表，并判断是否有90%的把握认为“生产能手与工人所在的年龄组有关”？附表：P（K2≥k）0.1000.0100.001k2.7066.63510.828K2=，（其中n=a+b+c+d）参考答案：【考点】独立性检验的应用．【专题】应用题；概率与统计．【分析】（1）由分层抽样的特点可得样本中有25周岁以上、下组工人人数，再由所对应的频率可得样本中日平均生产件数不足60件的工人中，25周岁以上、下组工人的人数分别为3，2，由古典概型的概率公式可得答案；（2）由频率分布直方图可得“25周岁以上组”中的生产能手的人数，以及“25周岁以下组”中的生产能手的人数，据此可得2×2列联表，可得k2≈1.79，由1.79＜2.706，可得结论．【解答】解：（1）由已知可得，样本中有25周岁以上组工人100×=60名，25周岁以下组工人100×=40名，所以样本中日平均生产件数不足60件的工人中，25周岁以上组工人有60×0.05=3（人），25周岁以下组工人有40×0.05=2（人），故从中随机抽取2名工人所有可能的结果共=10种，其中至少1名“25周岁以下组”工人的结果共?+=7种，故所求的概率为：；（2）由频率分布直方图可知：在抽取的100名工人中，“25周岁以上组”中的生产能手有60×0.25=15（人），“25周岁以下组”中的生产能手有40×0.375=15（人），据此可得2×2列联表如下：

生产能手非生产能手合计25周岁以上组15456025周岁以下组152540合计3070100所以可得k2=≈1.79，因为1.79＜2.706，所以没有90%的把握认为“生产能手与工人所在的年龄组有关”．【点评】本题考查独立性检验，涉及频率分布直方图，以及古典概型的概率公式，属中档题．22.已知函数f（x）=﹣ax2+（1+a）x﹣lnx（a∈R）．（Ⅰ）当a＞0时，求函数f（x）的单调递减区间；（Ⅱ）当a=0时，设函数g（x）=xf（x）．若存在区间[m，n]?[，+∞），使得函数g（x）在[m，n]上的值域为[k（m+2）﹣2，k（n+2）﹣2]，求实数k的取值范围．参考答案：【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值．【专题】分类讨论；分析法；导数的综合应用．【分析】（Ⅰ）对f（x）进行求导，讨论a=1，a＞1.0＜a＜1，利用导数为负，求函数的减区间；（Ⅱ）要求存在区间，使f（x）在[m，n]上的值域是[k（m+2）﹣2，k（n+2）﹣2]，将其转化为g（x）=k（x+2）﹣2在[，+∞）上至少有两个不同的正根，再利用导数求出k的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）当a＞0时，函数f（x）=﹣ax2+（1+a）x﹣lnx的导数为f′（x）=﹣ax+1+a﹣=﹣，（x＞0），当a=1时，f′（x）≤0，f（x）递减；当a＞1时，1＞，f′（x）＜0，可得x＞1或0＜x＜；当0＜a＜1时，1＜，f′（x）＜0，可得0＜x＜1或x＞．综上可得，a=1时，f（x）的减区间为（0，+∞）；a＞1时，f（x）的减区间为（1，+∞），（0，）；0＜a＜1时，f（x）的减区间为（，+∞），（0，1）；（Ⅱ）当a=0时，设函数g（x）=xf（x）=x2﹣xlnx，令g′（x）=2x﹣lnx+1（x＞0），则g′（x）=2﹣=，（x＞0），当x≥时，g′（x）≥0，g（x）为增函数；g（x）在区间[m，n]?[，+∞）递增，∵g（x）在[m，n]上的值域是[k（m+2）﹣2，k（n+2）﹣2]，所以g（m）=k（m+2）﹣2，g（n）=k（n+2）﹣2，≤m＜n，则g（x）=k（x+2）﹣2在[，+∞）上至少有两个不同的正根，k=，令F（